ハイパーキューブ

次の透視投影では、立方体は 3 立方体、テッセラクト (tesseract)は 4 立方体です。

幾何学において、超立方体（ハイパーキューブ）は、正方形（n = 2）と立方体（n = 3 ）のn次元類似体です。n = 4の特殊なケースは、テッセラクト（立方体）と呼ばれます。超立方体は、閉じたコンパクトな凸図形で、その 1 次元の骨格は、空間の各次元に揃い、互いに垂直で長さが同じ、反対向きの平行線分のグループで構成されます。単位超立方体のn次元における最長の対角線は です。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

n次元超立方体は、一般的にはn立方体、あるいはn次元立方体と呼ばれることもあります。^{[ 1 ] [ 2 ]}測度多面体という用語（Elte, 1912に由来）^{[ 3 ]}も使用され、特にHSM Coxeterの研究では、超立方体をγn多面体と呼んでいます。^{[ 4 ]}

超立方体は、超長方形( n 直交体とも呼ばれる) の特殊なケースです。

単位超立方体とは、辺の長さが1単位である超立方体です。多くの場合、R ⁿ内の2 ⁿ個の点（各座標が0または1）を頂点とする超立方体は単位超立方体と呼ばれます。

工事

次元数によって

点から四次元体を作成する方法を示すアニメーション。

ハイパーキューブは、図形の次元数を増やすことで定義できます。

0 – 点は次元 0 の超立方体です。

1 – この点を 1 単位の長さだけ移動すると、線分が作成され、それが 1 次元の単位超立方体になります。

2 – この線分をその長さだけ垂直方向に移動すると、2 次元の正方形が形成されます。

3 – 正方形を、それが置かれている平面に対して垂直な方向に 1 単位の長さだけ移動すると、3 次元の立方体が生成されます。

4 – 立方体を 1 単位長さだけ 4 次元に移動すると、4 次元単位超立方体 (単位四次元立方体) が生成されます。

これは任意の次元数に一般化できます。この体積を掃き出すプロセスは、数学的にはミンコフスキー和として形式化できます。d次元超立方体は、互いに直交するd本の単位長さの線分のミンコフスキー和であり、したがってゾノトープの例です。

ハイパーキューブの1スケルトンはハイパーキューブ グラフです。

頂点座標

回転する四次元立方体の投影。

次元の単位超立方体は、直交座標がそれぞれ または に等しい点すべての凸包である。これらの点はその頂点である。これらの座標を持つ超立方体は、単位区間のコピーの直積でもある。周囲空間の原点を中心とする別の単位超立方体は、この超立方体から を平行移動させることで得られる。これは、直交座標のベクトルが である点 の凸包である。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!.}$

ここで、記号 は各座標が と等しいか と等しいことを意味します。この単位超立方体は の直積でもあります。任意の単位超立方体の辺の長さは で、次元の体積はです。 ${\displaystyle \pm}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle -1/2}$ ${\displaystyle [-1/2,1/2]^{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

座標 を持つ点の凸包として得られる -次元超立方体、あるいはそれと同義の直積として得られる -次元超立方体は、頂点座標がより単純な形であることから、しばしば考慮される。その辺の長さは、-次元の体積は である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}$ ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

顔

あらゆる超立方体は、その境界に含まれるより低次元の超立方体を面として持つことができる。次元の超立方体は、次元の面、すなわち面を持つことができる。すなわち、（次元）線分には端点があり、（次元）正方形には辺があり、次元立方体には正方形の面があり、（次元）四次元立方体は面として三次元立方体を持つ。次元の超立方体の頂点の数は（例えば、通常の次元立方体には頂点がある）。 ^{[ 5 ]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2^{3}=8}$

-次元超立方体の境界に含まれる -次元超立方体（以下、単に -立方体と呼ぶ）の数は ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{m,n}=2^{nm}{n \choose m}}$ , ^{[ 6 ]}     ここで、は の階乗を表す。${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(nm)!}}}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

例えば、立方体（）の境界には、立方体（）、正方形（）、線分（）、頂点（）が含まれます。この同一性は、単純な組み合わせ論的議論によって証明できます。すなわち、超立方体の各頂点に対して、その頂点に接する辺の集合を選択する方法があります。これらの集合のそれぞれは、対象とする頂点に接する 次元面の1つを定義します。これを超立方体のすべての頂点に対して行うと、超立方体の 次元面のそれぞれは、その頂点の数だけ数えられ、その数で割る必要があります。 ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$

超立方体の面の数を使用して、その境界の - 次元体積を計算できます。その体積は- 次元超立方体の体積の倍です。つまり、 は超立方体の辺の長さです。 ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2ns^{n-1}}$ ${\displaystyle s}$

これらの数値は線形再帰関係によって生成することもできます。

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$ 、 、および、、または の場合。${\displaystyle E_{0,0}=1}$ ${\displaystyle E_{m,n}=0}$ ${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle m<0}$

例えば、正方形を4つの頂点で延長すると、頂点ごとに1つの線分（辺）が追加されます。反対側の正方形を追加して立方体を形成すると、線分が追加されます。 ${\displaystyle E_{1,3}=12}$

n立方体の拡張f ベクトルは、（簡潔には (2,1) ⁿ ）を展開し、結果として得られる多項式の係数を読み取ることでも計算できます。例えば、四次元立方体の要素は (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1) です。 ${\displaystyle (2x+1)^{n}}$

次元超立方体の次元面の 数（OEISのシーケンスA038207） ${\displaystyle E_{m,n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

			メートル	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n立方体	名前	シュレーフリ・コクセター	頂点0面	エッジ1面	フェイスツーフェイス	セル3面	4面	5面	6面	7面	8面	9面	10面
0	0キューブ	ポイント・モノン	（）	1
1	1キューブ	線分ディオン[ 7 ]	{}	2	1
2	2キューブ	正方形四角形	{4}	4	4	1
3	3キューブ	立方体六面体	{4,3}	8	12	6	1
4	4キューブ	テッセラクト・オクタコロン	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5キューブ	ペンテラクトデカ5トープ	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6キューブ	ヘキセラクトドデカ-6-トープ	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7キューブ	ヘプテラクトテトラデカ-7-トープ	{4,3,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8キューブ	オクタラクトヘキサデカ8トープ	{4,3,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9キューブ	エネラクトオクタデカ-9-トープ	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10キューブ	デケラクトイコサ 10 トープ	{4、3、3、3、3、3、3、3、3、3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

グラフ

n立方体は、斜め直交投影によって通常の 2 n角形内に投影できます。ここでは、線分から 15 立方体への投影を示しています。

ペトリー多角形正投影図

線分	四角	キューブ	テッセラクト
5キューブ	6キューブ	7キューブ	8キューブ
9キューブ	10キューブ	11キューブ	12キューブ
13キューブ	14キューブ	15キューブ

関連する多面体族

超立方体は、任意の次元数で表現できる数少ない正多面体族の1つである。 ^{[ 8 ]}

超立方体族は、コクセターによってγ _nと名付けられた3つの正多面体族の1つです。他の2つは、超立方体双対族、交差多面体（β _{n ）、}単体（ α n _）です。4つ目の族は、超立方体の無限モザイク化（ δ _{n ）}です。

半正則多面体および一様多面体のもう 1 つの関連ファミリーは半超立方体です。これは、交互の頂点が削除され、ギャップに単体面が追加された超立方体で構成され、 hγ _nとラベル付けされています。

n立方体はその双対多面体（交差多面体） と組み合わせて複合多面体を形成できます。

• 2次元では、八芒星図形{8/2}が得られる。
• 3次元では立方体と八面体の複合体が得られる。
• 4 次元では、四次元体と 16 セルの複合体が得られます。

( n −1)-単体との関係

n超立方体の辺のグラフは、( n −1)単体の面格子のハッセ図と同型である。これは、 n超立方体を、それぞれ ( n −1) 単体自身とヌル多面体に対応する2つの反対の頂点が垂直になるように配置することで確認できる。最上部の頂点に接続する各頂点は、( n −1 ) 単体の面（n −2 面）の1つに一意にマッピングされ、それらの頂点に接続する各頂点は単体のn −3 面の1つにマッピングされ、以下同様に、最下部の頂点に接続する頂点は単体の頂点にマッピングされる。

この関係は、一般多面体に適用可能な面格子列挙アルゴリズムは計算コストが高いため、 ( n −1)単体の面格子を効率的に生成するために使用できます。

一般化ハイパーキューブ

複素ヒルベルト空間では、一般化超立方体と呼ばれる正則複素多面体が定義され、γ^p _n= _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂、または..実解はp = 2、すなわちγで存在する。² _n= γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}。p > 2 の場合、それらは に存在する。面は一般化( n −1)-立方体であり、頂点図形は正単体である。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

これらの直交投影図に見られる正多角形の周囲は、ペトリー多角形と呼ばれます。一般化された正方形（n = 2）は、赤と青が交互に並ぶp辺で縁取りされ、 nが2以上の立方体は黒のp辺で縁取りされて描かれます。

p一般化n立方体のm面要素の数は、pn^頂点とpn面である。^{[ 9 ]}${\displaystyle p^{nm}{n \choose m}}$

一般化ハイパーキューブ

	p =2		p =3	p =4	p =5	p =6	p =7	p =8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	γ^22= {4} =4つの頂点	${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	γ^32＝9つの頂点	γ^42＝16頂点	γ^52＝25頂点	γ^62＝36頂点	γ^72＝49頂点	γ^82＝64頂点
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	γ^23= {4,3} =8つの頂点	${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	γ^33＝27頂点	γ^43＝64頂点	γ^53＝125頂点	γ^63＝216頂点	γ^73＝343頂点	γ^83＝512頂点
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	γ^24= {4,3,3} =16頂点	${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	γ^34＝81頂点	γ^44＝256頂点	γ^54＝625頂点	γ^64＝1296頂点	γ^74＝2401頂点	γ^84＝4096頂点
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	γ^25= {4,3,3,3} =32頂点	${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	γ^35＝243頂点	γ^45＝1024頂点	γ^55＝3125頂点	γ^65＝7776頂点	γ^75＝16,807頂点	γ^85＝32,768 頂点
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	γ^26= {4,3,3,3,3} =64頂点	${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$	γ^36＝729頂点	γ^46＝4096頂点	γ^56＝15,625頂点	γ^66＝46,656頂点	γ^76＝117,649 頂点	γ^86＝262,144 頂点
${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$	γ^27= {4,3,3,3,3,3,3} =128頂点	${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$	γ^37＝2187頂点	γ^47＝16,384頂点	γ^57＝78,125頂点	γ^67＝279,936頂点	γ^77＝823,543 頂点	γ^87＝2,097,152 頂点
${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$	γ^28= {4,3,3,3,3,3,3,3} =256頂点	${\displaystyle \mathbb {C} ^{8}}$	γ^38＝6561頂点	γ^48＝65,536頂点	γ^58＝390,625 頂点	γ^68＝1,679,616頂点	γ^78＝5,764,801 頂点	γ^88＝16,777,216 頂点

指数関数との関係

任意の正の整数を別の正の整数で累乗すると、3番目の整数が生成されます。この3番目の整数は、指数に対応する次元数を持つn立方体に対応する特定の種類の図形数です。例えば、指数が2の場合、平方数または「完全平方」になります。これは、底と同じ辺の長さを持つ正方形に配置できます。同様に、指数が3の場合、完全立方体になります。これは、底と同じ辺の長さを持つ立方体に配置できる整数です。そのため、数を2または3に累乗する操作は、それぞれ「平方」および「立方」と呼ばれることがよくあります。ただし、高次の超立方体の名称は、高次の累乗では一般的に使用されていないようです。

参照

• コンピュータアーキテクチャのハイパーキューブ相互接続ネットワーク
• 超八面体群、超立方体の対称群
• ハイパースフィア
• シンプレックス
• 平行四辺形
• 磔刑（Corpus Hypercubus）は、展開された4つの立方体を描いたサルバドール・ダリの絵画である。

注記

1. Paul Dooren; Luc Ridder (1976). 「n次元立方体上の数値積分のための適応型アルゴリズム」 . Journal of Computational and Applied Mathematics . 2 (3): 207– 217. doi : 10.1016/0771-050X(76)90005-X .
2. Xiaofan Yang; Yuan Tang (2007年4月15日). 「n次元キューブネットワークにおける(4n − 9)/3診断アルゴリズム」 .情報科学. 177 (8): 1771– 1781. doi : 10.1016/j.ins.2006.10.002 .
3. Elte, EL (1912). 「IV, 5次元半正則多面体」.超空間の半正則多面体. オランダ:フローニンゲン大学. ISBN 141817968X。
4. Coxeter 1973 、pp. 122–123、§7.2 図7.2Cを参照。
5. ミロスラフ・ヴォジェホフスキー;ヤン・マシェク;ヤン・エリアシュ（2019年11月）。 「ハイパーキューブにおける距離ベースの最適サンプリング: N 体システムへの類似」。エンジニアリング ソフトウェアの進歩。137 102709. doi : 10.1016/j.advengsoft.2019.102709。ISSN 0965-9978。 
6. コクセター 1973、p.122、§7·25。
7. ジョンソン、ノーマン W.; Geometries and Transformations、ケンブリッジ大学出版局、2018年、224ページ。
8. Noga Alon (1992). 「n次元立方体における伝達」 .離散応用数学. 37–38 : 9–11 . doi : 10.1016/0166-218X(92)90121-P .
9. Coxeter, HSM (1974), Regular complex polytopes , ロンドン＆ニューヨーク: Cambridge University Press , p. 180, MR 0370328 。

参考文献

• Bowen, JP (1982年4月). 「ハイパーキューブ」 .実用コンピューティング. 5 (4): 97– 99. 2008年6月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年6月30日閲覧。
• Coxeter, HSM (1973). 「§7.2. 図7-2cを参照」. Regular Polytopes (第3版). Dover . pp.  122-123 . ISBN 0-486-61480-8。p. 296、表I (iii): 正多面体、n次元の3つの正多面体（n  ≥ 5）
• ヒル、フレデリック・J.、ジェラルド・R・ピーターソン (1974). 『スイッチング理論と論理設計入門：第2版』 ニューヨーク:ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-39882-9。第 7.1 章「ブール関数の立方体表現」を参照してください。ここでは、距離 1 のコード (グレイ コード) をハイパーキューブの頂点として示す手段として「ハイパーキューブ」の概念が導入され、頂点にラベルが付けられたハイパーキューブが 2 次元に圧縮されて、ヴィーチ図またはカルノー図が形成されます。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「ハイパーキューブ」。MathWorld 。
• Weisstein, Eric W. 「ハイパーキューブグラフ」 . MathWorld .
• Enrique Zeleny によるハイパーキューブの回転、 Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
• Rudy Rucker と Farideh Dormishian の Hypercube ダウンロード
• A001787 n次元超立方体の辺の数。OEISにて

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算