顔（幾何学）
立方体（黒）の面（赤）。

立体幾何学において、面とは、立体の境界の一部を形成する平面（平面領域）を指します。例えば、立方体にはこの意味で6つの面があります。

多面体や高次元多面体の幾何学に関するより現代的な扱いでは、「面」は任意の次元を持つように定義されます。多面体の頂点、辺、そして（2次元の）面はすべて、このより一般的な意味での面です。[ 1 ]

多角形の面

初等幾何学では、多面体は頂点（点）、辺（線分）、面（多角形）のシステムによって定義される形状としてさまざまな方法で定義され、これらの定義のすべてではありませんが、多くの場合、立体を囲む表面を形成するために必要とされます。面はこれらの定義の2次元多角形です。[ a ] [ 1 ] [ 2 ]多角形面の他の名前には、多面体の側面やユークリッド平面タイルなどがあります。

例えば、立方体を囲む6つの正方形はいずれも立方体の面です。「面」は、4次元多面体の2次元的な特徴を指す場合もあります。この意味では、4次元四次元方陣は24個の正方形面を持ち、各面は8つの立方体セルのうち2つを共有しています。

Schläfli シンボルによる通常の例
多面体星型多面体ユークリッドタイル双曲タイル張り4次元多面体
{4,3}{5/2,5}{4,4}{4,5}{4,3,3}
立方体には頂点ごとに3 つの正方形の面があります。 小さな星型十二面体には、頂点ごとに 5 つの五芒星の面があります。ユークリッド平面の正方形のタイルには、頂点ごとに 4 つの正方形の面があります。 次数5 の正方形タイリングでは、頂点ごとに 5 つの正方形面があります。テッセラクトには、辺ごとに3 つの正方形の面があります。

多面体の多角形面の数

任意の凸多面体の表面はオイラー特性を持つ

V−E+F＝2、{\displaystyle V-E+F=2,}

ここで、Vは頂点の数、Eは辺の数、Fは面の数です。この式はオイラーの多面体公式として知られています。したがって、面の数は、辺の数から頂点の数を差し引いた数より 2 多くなります。例えば、立方体には 12 の辺と 8 つの頂点があり、したがって 6 つの面があります。

k面

高次元幾何学では、多面体の面はすべての次元の特徴である。[ 3 ] [ 4 ] k次元の面はk面と呼ばれることもある。例えば、通常の多面体の多角形の面は2面である。「面」という言葉は、数学の分野によって定義が異なる。例えば、多くの著者は多面体自体と空集合を多面体の面として認めているが、空集合は一貫性を保つために「次元」が-1であるとされている。任意のn次元多面体について、面の次元は である。 け{\displaystyle k}−1≤け≤n{\displaystyle -1\leq k\leq n}

たとえば、この意味において、立方体の面は、立方体自体 (3 面)、その (正方形の)ファセット(2 面)、その (線分の) エッジ (1 面)、その (点の) 頂点 (0 面)、および空の集合で構成されます。

多面体組合せ論などの数学の分野では、多面体は定義により凸多面体である。この設定では、厳密な定義が存在する。ユークリッド空間における多面体Pの面とは、境界がPの相対内部と交わらない任意の閉半空間とPの交差である。[ 5 ]この定義によれば、多面体の面の集合には、多面体自体と空集合が含まれる。[ 3 ] [ 4 ]凸多面体の場合、この定義は以下に示す凸集合の面の一般的な定義と同等である。 Rn{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}

数学の他の分野、例えば抽象多面体や星型多面体理論などでは、凸性の要件は緩和されています。初期の多面体のいくつかの種類を一般化する精密な組合せ論的概念の一つに、単体複体の概念があります。より一般的には、多面体複体の概念があります。

n + 1 個の頂点で定義される n次元単体（線分（ n = 1 ）、三角形（ n = 2 ）、四面体（ n = 3 ）など）は、空集合からすべての頂点の集合まで、頂点の各部分集合に対して面を持ちます。特に、面の数は合計で2 n + 1個あります。 k ∈ {−1, 0, ..., n }に対して、k面の数は二項係数です。 （n+1け+1）{\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}

kの値、および場合によってはkが多面体の次元nにどれだけ近いかに応じて、 k面に特定の名前が付けられます。

頂点または0面

頂点は0 面の一般的な名前です。

エッジまたは1面

エッジは 1 面の一般的な名前です。

顔または両面

特定のkがkフェイスを意味するものの、明示的に指定されていないコンテキストでのfaceの使用は、通常 2 フェイスです。

セルまたは3面

セルとは、4次元多面体または3次元モザイク、あるいはそれ以上の次元の多面体要素（3面）です。4次元多面体および3次元ハニカムの場合、 セルは面です。

例:

Schläfli シンボルによる通常の例
4次元多面体 3つのハニカム
{4,3,3}{5,3,3}{4,3,4}{5,3,4}
テッセラクトには、辺ごとに 3 つの立方体セル (3 面) があります。 120セルには、エッジごとに3 つの正十二面体セル (3 面) があります。 立方体ハニカムは、ユークリッド 3 次元空間を立方体で埋め、辺ごとに 4 つのセル (3 つの面) があります。 4 次正十二面体ハニカムは、1 辺あたり 4 つのセル (3 面) を持つ 12 面体で 3 次元双曲空間を埋めます。

ファセットまたは( n −1)面

高次元幾何学では、n多面体の面は( n −1 )面（多面体自体より1次元小さい面）である。[ 6 ]多面体はその面によって囲まれる。

例えば：

尾根または( n −2)面

関連用語では、n-多面体の( n −2 )面は尾根（または部分面）と呼ばれます。[ 7 ]尾根は、多面体またはハニカムのちょうど2つの面の間の境界として見られます。

例えば：

ピークまたは( n −3)面

n -多面体の( n − 3 )面はピークと呼ばれます。ピークは、正多面体またはハニカムにおける面と尾根の回転軸を含みます。

例えば：

凸集合の面

区別された2点は、凸集合の端点でありながら露出点ではない例である。したがって、凸集合のすべての面が露出面であるわけではない。

面の概念は、凸多面体からすべての凸集合へと以下のように一般化できる。実ベクトル空間上の凸集合を とする。の面は凸部分集合であり、内の点がとの2点の間に厳密に存在するときはいつでも、 と の両方がに含まれていなければならない。同様に、 と が に含まれる任意の実数 に対して、がに含まれ、がに含まれていなければならない。[ 8 ]C{\displaystyle C}V{\displaystyle V}C{\displaystyle C}F⊆C{\displaystyle F\subseteq C}p∈F{\displaystyle p\in F}×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}C{\displaystyle C}×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}F{\displaystyle F}×、y∈C{\displaystyle x,y\in C}0<θ<1{\displaystyle 0<\theta <1}θ×+（1−θ）y{\displaystyle \theta x+(1-\theta )y}F{\displaystyle F}×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}F{\displaystyle F}

この定義によれば、自体と空集合は の面であり、これらはの自明な面と呼ばれることもあります。 C{\displaystyle C}C{\displaystyle C}C{\displaystyle C}

の極点とは、が の面となるような点である。[ 8 ]つまり、 が2点 の間にある場合、 となる。 C{\displaystyle C}p∈C{\displaystyle p\in C}{p}{\displaystyle \{p\}}C{\displaystyle C}p{\displaystyle p}×、y∈C{\displaystyle x,y\in C}×＝y＝p{\displaystyle x=y=p}

例えば：

  • 平面上の三角形（内部領域を含む）は凸集合である。その非自明な面は、 3つの頂点と3つの辺である。（したがって、端点は3つの頂点のみである。）
  • 閉じた単位円 の唯一の非自明な面はその端点、つまり単位円上の点です。{（×、y）∈R2:×2+y2≤1}{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R}^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}S1＝{（×、y）∈R2:×2+y2＝1}{\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}

をコンパクト（または同義的に、閉じていて有界）な凸集合とする。すると、はその端点の凸包となる。 [ 9 ]より一般的には、局所凸位相ベクトル空間の各コンパクト凸集合は、その端点の閉じた凸包となる（クライン・ミルマンの定理）。 C{\displaystyle C}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}C{\displaystyle C}

の露出面とは、の点の集合のうち、線形汎関数が 上で最小値をとる部分集合のことである。したがって、が 上の線形汎関数であり が であるとき、 はの露出面である。 C{\displaystyle C}C{\displaystyle C}C{\displaystyle C}f{\displaystyle f}V{\displaystyle V}α＝無限大{f（c） :c∈C}>−∞{\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }{c∈C :f（c）＝α}{\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}C{\displaystyle C}

の露出点とは、が の露出面であるような点である 。つまり、すべての に対して である。露出していない端点の例については、図を参照のこと。 C{\displaystyle C}p∈C{\displaystyle p\in C}{p}{\displaystyle \{p\}}C{\displaystyle C}f（p）>f（c）{\displaystyle f(p)>f(c)}c∈C∖{p}{\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}

競合する定義

著者によっては、 および/または をの面として含めない。著者によっては、面が閉部分集合であることを要求するが、これは有限次元のベクトル空間内のコンパクト凸集合では自動的に行われるが、無限次元では行われない。[ 10 ]無限次元では、関数は通常、与えられたベクトル位相で連続であると仮定される。 C{\displaystyle C}∅{\displaystyle \varnothing }C{\displaystyle C}C{\displaystyle C}f{\displaystyle f}

プロパティ

凸集合の露出面は面である。特に、それは凸部分集合である。

が凸集合 の面である場合、 の部分集合 がの面となるのは、が の面である場合に限ります。 F{\displaystyle F}C{\displaystyle C}E⊆F{\displaystyle E\subseteq F}F{\displaystyle F}E{\displaystyle E}C{\displaystyle C}

参照

注記

  1. ^面ではない他の多角形も、多面体やタイリングに用いられることが考えられています。これらには、ペトリー多角形、頂点図形、ファセット（多面体の同じ面にない同一平面上の頂点によって形成される平面多角形）が含まれます。

参考文献

  1. ^ a bマトウシェク 2002、86ページ。
  2. ^クロムウェル、ピーター・R.（1999）、多面体、ケンブリッジ大学出版局、p.13、ISBN 9780521664059。
  3. ^ a b Grünbaum 2003、p. 17。
  4. ^ a bジーグラー 1995、51ページ。
  5. ^ Matoušek (2002) と Ziegler (1995) は若干異なるが同等の定義を使用しており、これはP をPの内部から分離した超平面または空間全体と交差させることに相当します。
  6. ^マトウシェク (2002)、p. 87;グリュンバウム (2003)、p. 27;ジーグラー (1995)、p. 17.
  7. ^マトウシェク (2002)、p. 87;ジーグラー (1995)、p. 71.
  8. ^ a bロッカフェラー 1997年、162ページ。
  9. ^ロッカフェラー 1997年、166ページ。
  10. ^サイモン、バリー（2011年）『凸性：分析的視点』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、123頁。ISBN 978-1-107-00731-4. MR  2814377 .

参考文献

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