AKLTモデル

凝縮系物理学において、アフレック・ケネディ・リーブ・タサキ（AKLT）モデルは、1次元量子ハイゼンベルクスピンモデルの拡張である。イアン・アフレック、エリオット・H・リーブ、トム・ケネディ、ハル・タサキによるこのモデルの提案と厳密な解[ 1 ]は、スピン1ハイゼンベルク鎖の物理に重要な洞察をもたらした。[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]また、価電子結合固体秩序、対称性保護位相秩序[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 、行列積状態波動関数などの概念の有用な例としても役立っている。

背景

AKLTモデルの主要な動機は、マジュムダール・ゴーシュ連鎖でした。マジュムダール・ゴーシュ基底状態における3つの隣接するスピンのうち2つは、シングレット、つまり価電子結合を形成するため、3つのスピンが一緒になってスピン3/2状態になることは決してありません。実際、マジュムダール・ゴーシュ・ハミルトニアンは、3つの隣接するスピンを3/2状態に投影するすべての射影の総和に他なりません。

AKLT論文の主な洞察は、この構成を一般化することで、スピンサイズが1/2以外の場合においても厳密に解けるモデルが得られるという点です。価電子結合の一方の端がスピン1/2であるのと同様に、2つの価電子結合の端を結合してスピン1に、3つを結合してスピン3/2に、といった具合に、スピン1とスピン3/2の結合が可能です。

意味

アフレックらは、すべてのサイト対の間に価電子結合を持つ1次元状態の構築に関心を寄せていました。これはすべてのサイトに2つのスピン1/2をもたらすため、結果はスピン1系の 波動関数となるはずです。

スピン1の隣接するペアごとに、構成する4つのスピン1/2のうち2つが合計スピン0の状態に固定されている。したがって、各スピン1のペアは、複合スピン2状態になることが禁じられている。この条件を、スピン1のペアのスピン2状態を支持する射影子の和として表すことで、AKLTは次のハミルトニアンに到達した。

H^＝∑⟨私j⟩P⟨私j⟩（2）〜∑jS→j⋅S→j+1+13（S→j⋅S→j+1）2{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{\langle ij\rangle }{\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}\sim \sum _{j}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1})^{2}}

定数まで、ここで はスピン 1 演算子であり、隣接するスピンのペアのスピン 2 状態を優先するローカル 2 点プロジェクターです。 S私→{\textstyle {\vec {S_{i}}}}P⟨私j⟩（2）{\textstyle {\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}}

このハミルトニアンは、スピン 1 の 1 次元量子ハイゼンベルク スピン モデルに似ていますが、追加の「双二次」スピン相互作用項があります。

基底状態

AKLTハミルトニアンの基底状態は、構成上、すべての隣接するサイト対を単一の原子価結合で結ぶ原子価結合固体である。これは図式的に次のように表される。

ここで、実点はスピン1/2を表し、これらはシングレット状態に置かれます。スピン1/2を結ぶ線は、シングレットのパターンを示す価電子結合です。楕円は、2つのスピン1/2を1つのスピン1に「結びつける」射影演算子です。この射影演算子は、スピン0またはシングレット部分空間を射影し、スピン1またはトリプレット部分空間のみを保持します。記号「+」、「0」、「-」は、標準的なスピン1基底状態（演算子の固有状態）を表します。[ 10 ]Sz{\displaystyle S^{z}}

スピン1/2エッジ状態

スピンがリング状に配置された場合（周期境界条件）、AKLT構成は唯一の基底状態をもたらします。しかし、開鎖の場合、最初と最後のスピン1は隣接するスピンが1つしかなく、それらを構成するスピン1/2の1つは対になっていません。その結果、系全体がスピン1のみで構成されているにもかかわらず、鎖の両端は自由スピン1/2モーメントのように振る舞います。

AKLT鎖のスピン1/2エッジ状態は、いくつかの方法で観測できます。短い鎖の場合、エッジ状態はシングレットまたはトリプレットに混合され、一意の基底状態または基底状態の3倍の多重項になります。長い鎖の場合、エッジ状態は鎖の長さの関数として指数関数的に急速に分離し、4倍縮退した基底状態マニホールドになります。[ 11 ] DMRGなどの数値的方法を使用して鎖に沿った局所磁化を測定することにより、エッジ状態を直接確認し、実際のスピン1/2を末端に配置することでエッジ状態を除去できることを示すこともできます。[ 12 ]鎖を有限のセグメントに分割する役割を果たす少量の不純物を含む準1D磁性化合物の測定で、スピン1/2エッジ状態を検出できることも証明されています。[ 13 ] 2021年には、スピン1多環芳香族炭化水素であるトリアンギュレンから構築された孤立した量子スピン鎖において、スピン1/2エッジ状態の直接的な分光的特徴が発見された。[ 14 ]

行列積状態表現

AKLT基底状態は単純であるため、行列積状態として簡潔に表現することができる。これは、次のような波動関数である。

|Ψ⟩＝∑{s}Tr⁡[あs1あs2…あs北]|s1s2…s北⟩。{\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}

ここで、A は によってラベル付けされた 3 つの行列のセットであり、トレースは周期境界条件を仮定して得られます。 sj{\displaystyle s_{j}}

AKLT基底状態波動関数は次の選択に対応する：[ 10 ]

あ+＝+23 σ+{\displaystyle A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}}
あ0＝−13 σz{\displaystyle A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}}
あ−＝−23 σ−{\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}

ここではパウリ行列です。 σ{\displaystyle \sigma }

一般化と拡張

AKLT模型は高次元格子上で解かれており[ 1 ] [ 15 ] 、準結晶においても解けている。また、この模型はSU( n )、[ 16 ] [ 17 ] SO( n )、[ 18 ] Sp(n) [ 19 ]などの高次元リー代数に対しても構築されており、量子群SUq( n )にも拡張されている[ 20 ] 。

参考文献

  1. ^ a bイアン・アフレック、トム・ケネディ、エリオット・H・リーブ、ハル・タサキ (1987). 「反強磁性体の価電子結合基底状態に関する厳密な結果」. Physical Review Letters . 59 (7): 799– 802. Bibcode : 1987PhRvL..59..799A . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.799 . PMID 10035874 . 
  2. ^ Haldane, FDM (1983). 「大スピン・ハイゼンベルグ反強磁性体の非線形場理論：1次元容易軸ネール状態の半古典的量子化ソリトン」 . Phys. Rev. Lett . 50 (15): 1153. Bibcode : 1983PhRvL..50.1153H . doi : 10.1103/physrevlett.50.1153 .
  3. ^ Haldane, FDM (1983). 「1次元ハイゼンベルグ反強磁性体の連続体ダイナミクス：O(3)非線形シグマモデルとの同定」. Phys. Lett. A. 93 ( 9): 464. Bibcode : 1983PhLA...93..464H . doi : 10.1016/0375-9601(83)90631-x .
  4. ^ Affleck, I.; Haldane, FDM (1987). 「量子スピン鎖の臨界理論」. Phys. Rev. B. 36 ( 10): 5291– 5300. Bibcode : 1987PhRvB..36.5291A . doi : 10.1103/physrevb.36.5291 . PMID 9942166 . 
  5. ^ Affleck, I. (1989). 「量子スピン鎖とハルデンギャップ」. J. Phys.: Condens. Matter . 1 (19): 3047. Bibcode : 1989JPCM....1.3047A . doi : 10.1088/0953-8984/1/19/001 . S2CID 250850599 . 
  6. ^ Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2009). 「テンソルエンタングルメントフィルタリング再正規化アプローチと対称性保護されたトポロジカル秩序」. Phys. Rev. B . 80 (15) 155131. arXiv : 0903.1069 . Bibcode : 2009PhRvB..80o5131G . doi : 10.1103/physrevb.80.155131 . S2CID 15114579 . 
  7. ^ Pollmann, F.; Berg, E.; Turner, Ari M.; Oshikawa, Masaki (2012). 「1次元量子スピン系におけるトポロジカル相の対称性保護」(PDF) . Phys. Rev. B . 85 (7) 075125. arXiv : 0909.4059 . Bibcode : 2012PhRvB..85g5125P . doi : 10.1103/PhysRevB.85.075125 . S2CID 53135907 . 
  8. ^ Chen, Xie; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2011). 「1次元スピン系におけるギャップ対称相の分類」. Phys. Rev. B . 83 (3) 035107. arXiv : 1008.3745 . Bibcode : 2011PhRvB..83c5107C . doi : 10.1103/physrevb.83.035107 . S2CID 9139955 . 
  9. ^ Chen, Xie; Liu, Zheng-Xin; Wen, Xiao-Gang (2011). 「2次元対称性保護トポロジカル秩序とそれらの保護ギャップレスエッジ励起」. Phys. Rev. B . 84 (23) 235141. arXiv : 1106.4752 . Bibcode : 2011PhRvB..84w5141C . doi : 10.1103/physrevb.84.235141 . S2CID 55330505 . 
  10. ^ a b Schollwöck, Ulrich (2011). 「行列積状態の時代における密度行列再正規化群」Annals of Physics . 326 (1): 96– 192. arXiv : 1008.3477 . Bibcode : 2011AnPhy.326...96S . doi : 10.1016/j.aop.2010.09.012 . S2CID 118735367 . 
  11. ^ Kennedy, Tom (1990). 「スピン1開放鎖の正確な対角化」. J. Phys. Condens. Matter . 2 (26): 5737– 5745. Bibcode : 1990JPCM....2.5737K . doi : 10.1088/0953-8984/2/26/010 . S2CID 250748917 . 
  12. ^ White, Steven; Huse, David (1993). 「反強磁性S=1ハイゼンベルグ鎖の低位固有状態の数値的繰り込み群による研究」. Phys. Rev. B. 48 ( 6): 3844– 3852. Bibcode : 1993PhRvB..48.3844W . doi : 10.1103/PhysRevB.48.3844 . PMID 10008834 . 
  13. ^萩原 正之; 勝又 健; イアン・アフレック; ハルペリン BI; レナード JP (1990). 「S=1 線形鎖ハイゼンベルグ反強磁性体における S=1/2 自由度の観測」. Phys. Rev. Lett . 65 (25): 3181– 3184. Bibcode : 1990PhRvL..65.3181H . doi : 10.1103/PhysRevLett.65.3181 . PMID 10042802 . 
  14. ^ミシュラ、シャンタヌ;カタリナ、ゴンサロ。呉、富鵬。オルティス、リカルド。ジェイコブ、デイビッド。エイムレ、クリスチャン。マ、ジ。ピネドーリ、カルロ A.豊、新涼。ルフィー、パスカル。フェルナンデス＝ロシエ、ホアキン。ファセル、ローマ（2021年10月13日）。 「ナノグラフェンスピン鎖における部分エッジ励起の観察」。自然。598 (7880 ) : 287–292。arXiv : 2105.09102 。Bibcode : 2021Natur.598..287M。土井: 10.1038/s41586-021-03842-3。PMID 34645998 . S2CID 234777902 .  
  15. ^ Wei, T.-C.; Affleck, I.; Raussendorf, R. (2012). 「ハニカム格子上のAffleck-Kennedy-Lieb-Tasaki状態は普遍的な量子計算リソースである」. Phys . Rev. Lett . 106 (7) 070501. arXiv : 1009.2840 . Bibcode : 2011PhRvL.106g0501W . doi : 10.1103/PhysRevLett.106.070501 . PMID 21405505. S2CID 15546839 .  
  16. ^ Greiter, Martin; Rachel, Stephan; Schuricht, Dirk (2007). 「SU(3)スピン鎖の厳密な結果：三量体状態、価電子結合固体、そしてそれらの親ハミルトニアン」. Phys. Rev. B . 75 (6): 060401(R). arXiv : cond-mat/0701354 . Bibcode : 2007PhRvB..75f0401G . doi : 10.1103/PhysRevB.75.060401 . S2CID 119373252 . 
  17. ^ Greiter, Martin; Rachel, Stephan (2007). 「SU(n)スピン鎖の価数結合固体：厳密モデル、スピノン閉じ込め、そしてハルデンギャップ」. Phys. Rev. B. 75 ( 18) 184441. arXiv : cond-mat/0702443 . Bibcode : 2007PhRvB..75r4441G . doi : 10.1103/PhysRevB.75.184441 . S2CID 55917580 . 
  18. ^ Tu, Hong-Hao; Zhang, Guang-Ming; Xiang, Tao (2008). 「行列積基底状態を持つSO(n)対称スピン鎖の正確に解けるクラス」. Phys. Rev. B . 78 (9) 094404. arXiv : 0806.1839 . Bibcode : 2008PhRvB..78i4404T . doi : 10.1103/PhysRevB.78.094404 . S2CID 119200687 . 
  19. ^ Schuricht, Dirk; Rachel, Stephan (2008). 「シンプレクティック対称性を持つ価電子結合固体状態」. Phys. Rev. B. 78 ( 1) 014430. arXiv : 0805.3918 . Bibcode : 2008PhRvB..78a4430S . doi : 10.1103/PhysRevB.78.014430 . S2CID 118429445 . 
  20. ^ Santos, RA; Paraan, FNC; Korepin, VE; Klümper, A. (2012). 「q変形Affleck–Kennedy–Lieb–Tasaki模型のエンタングルメントスペクトルと行列積状態」EPL . 98 (3) 37005. arXiv : 1112.0517 . Bibcode : 2012EL.....9837005S . doi : 10.1209/0295-5075/98/37005 . ISSN 0295-5075 . S2CID 119733552 .  
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