密度行列繰り込み群

密度行列繰り込み群（DMRG ）は、量子多体系の低エネルギー物理を高精度に求めるために考案された数値変分法である。DMRGアルゴリズムは、ハミルトニアンの最低エネルギー行列積状態波動関数を求める。これは1992年にSteven R. White [ 1 ] [ 2 ]によって発明され、現在では1次元系に対する最も効率的な手法となっている。[ 3 ]

歴史

DMRG の最初の応用は、Steven R. WhiteとReinhard Noackによるもので、1D タイトバインディング モデルのスペクトルを求めることだった。これは、箱の中の 1D 粒子の離散格子バージョンである。このモデルは、あらゆる新しい繰り込み群法のテストとしてKenneth G. Wilsonによって提案されたもので、それまでのあらゆる手法がこの単純な問題でたまたま失敗していたからである。[ 4 ] DMRG は、各ステップでブロックに単一のサイトを追加するのではなく、2 つのブロックを中央の 2 つのサイトで接続し、またエネルギー固有値ではなく密度行列の固有値を使用して各ステップの最後に保持される最も重要な状態を識別することで、以前の繰り込み群法の問題点を克服した。このおもちゃのモデルで成功した後、DMRG 法は量子ハイゼンベルク モデルで試され、成功した。[ 5 ]

原理

量子多体物理学の主な問題は、ヒルベルト空間がサイズとともに指数関数的に増大するという事実です。言い換えれば、格子の各サイトに 次元のヒルベルト空間を持つ格子を考えると、全体のヒルベルト空間は 次元になります。ここでは格子上のサイトの数です。例えば、長さLのスピン1/2鎖には 2 Lの自由度があります。DMRGは、有効な自由度を目標状態にとって最も重要な自由度にまで削減する、反復的な 変分法です。最も頻繁に注目される状態は基底状態です。 d{\displaystyle d}d北{\displaystyle d^{N}}北{\displaystyle N}

ウォームアップサイクルの後、この手法はシステムを2つのサブシステム（ブロック）に分割します。これらのサブシステムは必ずしも同じサイズである必要はなく、その間に2つのサイトが存在します。ウォームアップ中に、ブロックの代表的な状態セットが選択されます。この左ブロック + 2つのサイト + 右ブロックのセットは、スーパーブロックと呼ばれます。これで、スーパーブロックの基底状態の候補、つまり完全なシステムの縮小版が見つかるかもしれません。精度はやや低いかもしれませんが、この手法は反復的であり、以下の手順で改善されます。

DMRG に従ってシステムを左ブロックと右ブロックに分解します。

発見された候補基底状態は、密度行列を用いて各ブロックのヒルベルト部分空間に投影されます（これがこの名前の由来です）。これにより、各ブロックの関連する状態が更新されます。

一方のブロックがもう一方のブロックを犠牲にして成長し、この手順が繰り返されます。成長中のブロックが最大サイズに達すると、もう一方のブロックがその場所に成長し始めます。元の状態（等しいサイズ）に戻るたびに、スイープが完了したとみなします。通常、1次元格子の場合、10 10分の1の精度を得るには、数回のスイープで十分です。

DMRGスイープ。

実装ガイド

DMRGアルゴリズムの実用的な実装は長い作業です。主な計算上のトリックは次のとおりです。

  • 繰り込みハミルトニアンのサイズは通常数万から数万のオーダーであるのに対し、求める固有状態は基底状態そのものであるため、スーパーブロックの基底状態は、行列対角化のランチョス法などの反復アルゴリズムによって得られる。もう一つの選択肢は、特に非エルミート行列を扱う場合のアーノルディ法である。
  • ランチョス法は通常、解の最良の推定値から開始します。推定値が得られない場合は、ランダムベクトルが選択されます。DMRGでは、あるDMRGステップで得られた基底状態を適切に変換することで妥当な推定値が得られ、次のDMRGステップでランダムな開始ベクトルを選択するよりもはるかに優れた性能を発揮します。
  • 対称性を持つ系では、ハイゼンベルク模型における全スピンのように、量子数が保存されることがあります。ヒルベルト空間を分割した各セクター内で基底状態を見つけるのは便利です。

アプリケーション

DMRGは、スピン鎖の低エネルギー特性の解明に効果的に応用されてきました。例えば、横磁場中のイジング模型、ハイゼンベルク模型など、ハバード模型などのフェルミオン系、近藤効果などの不純物問題、ボソン系、量子細線に結合した量子ドットの物理などです。また、ツリーグラフにも拡張され、デンドリマーの研究にも応用されています。一方の次元が他方の次元よりもはるかに大きい2次元系においても、DMRGは正確であり、ラダーの研究に有用であることが証明されています。

この方法は、2D での平衡統計物理学の研究と、1D での非平衡現象の解析に拡張されました。

DMRG は、強相関系の研究のために 量子化学の分野にも応用されています。

例: 量子ハイゼンベルクモデル

反強磁性量子ハイゼンベルク鎖に対する「無限」DMRGアルゴリズムを考えてみましょう。この方法は、並進不変な1次元格子すべてに適用できます。 S＝1{\displaystyle S=1}

DMRG は、1 次元量子システムの ヒルベルト空間の効率的な切り捨てを提供するため、繰り込み群手法です。

出発点

無限連鎖をシミュレートするには、まず4つのサイトから始めます。最初のサイトはブロックサイト、最後のサイトはユニバースブロックサイト 、残りのサイトは追加サイトです。右側のサイトはユニバースブロックサイトに追加され、左側のサイトはブロックサイトに追加されます。

単一サイトのヒルベルト空間はを基底とする。この基底に対して、スピン演算子は 、であり、単一サイトのスピン演算子は である。すべてのブロック、2つのブロック、2つのサイトに対して、それ自身のヒルベルト空間、その基底( )、そしてそれ自身の演算子が存在する。ここで H{\displaystyle {\mathfrak {H}}}{|S、Sz⟩}≡{|1、1⟩、|1、0⟩、|1、−1⟩}{\displaystyle \{|S,S_{z}\rangle \}\equiv \{|1,1\rangle ,|1,0\rangle ,|1,-1\rangle \}}S×{\displaystyle S_{x}}Sy{\displaystyle S_{y}}Sz{\displaystyle S_{z}}Hb{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{b}}{|わ私⟩}{\displaystyle \{|w_{i}\rangle \}}私:1…薄暗い⁡（Hb）{\displaystyle i:1\dots \dim({\mathfrak {H}}_{b})}おb:Hb→Hb{\displaystyle O_{b}:{\mathfrak {H}}_{b}\rightarrow {\mathfrak {H}}_{b}}

  • ブロック：、、、、、HB{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{B}}{|あなた私⟩}{\displaystyle \{|u_{i}\rangle \}}HB{\displaystyle H_{B}}S×B{\displaystyle S_{x_{B}}}SyB{\displaystyle S_{y_{B}}}SzB{\displaystyle S_{z_{B}}}
  • 左サイト: 、、、、、​Hl{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{l}}{|t私⟩}{\displaystyle \{|t_{i}\rangle \}}S×l{\displaystyle S_{x_{l}}}Syl{\displaystyle S_{y_{l}}}Szl{\displaystyle S_{z_{l}}}
  • 右サイト: 、、、、、​Hr{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{r}}{|s私⟩}{\displaystyle \{|s_{i}\rangle \}}S×r{\displaystyle S_{x_{r}}}Syr{\displaystyle S_{y_{r}}}Szr{\displaystyle S_{z_{r}}}
  • 宇宙：、、、、、Hあなた{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{U}}{|r私⟩}{\displaystyle \{|r_{i}\rangle \}}Hあなた{\displaystyle H_{U}}S×あなた{\displaystyle S_{x_{U}}}Syあなた{\displaystyle S_{y_{U}}}Szあなた{\displaystyle S_{z_{U}}}

開始点では、4つのヒルベルト空間はすべて に等しく、すべてのスピン演算子は、およびに等しくなります。以降の反復では、これは左サイトと右サイトに対してのみ当てはまります。 H{\displaystyle {\mathfrak {H}}}S×{\displaystyle S_{x}}Sy{\displaystyle S_{y}}Sz{\displaystyle S_{z}}HB＝Hあなた＝0{\displaystyle H_{B}=H_{U}=0}

ステップ1: スーパーブロックのハミルトン行列を形成する

構成要素は、4つのブロック演算子と4つの宇宙ブロック演算子（最初の反復では行列）と、3つの左サイトスピン演算子と3つの右サイトスピン演算子（常に行列）です。これらの演算子によって、最初の反復では4つのサイトしか持たないスーパーブロック（チェーン）のハミルトニアン行列 が形成されます。ハイゼンベルクの反強磁性S=1モデルでは、ハミルトニアンは次のようになります 。3×3{\displaystyle 3\times 3}3×3{\displaystyle 3\times 3}

HSB＝−J∑⟨私、j⟩S×私S×j+Sy私Syj+Sz私Szj{\displaystyle \mathbf {H} _{SB}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}}

これらの演算子はスーパーブロック状態空間に存在します: 、基数は です。例えば: (慣例): HSB＝HB⊗Hl⊗Hr⊗Hあなた{\displaystyle {\mathfrak {H}}_{SB}={\mathfrak {H}}_{B}\otimes {\mathfrak {H}}_{l}\otimes {\mathfrak {H}}_{r}\otimes {\mathfrak {H}}_{U}}{|f⟩＝|あなた⟩⊗|t⟩⊗|s⟩⊗|r⟩}{\displaystyle \{|f\rangle =|u\rangle \otimes |t\rangle \otimes |s\rangle \otimes |r\rangle \}}

|1000…0⟩≡|f1⟩＝|あなた1、t1、s1、r1⟩≡|100、100、100、100⟩{\displaystyle |1000\dots 0\rangle \equiv |f_{1}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{1}\rangle \equiv |100,100,100,100\rangle }

|0100…0⟩≡|f2⟩＝|あなた1、t1、s1、r2⟩≡|100、100、100、010⟩{\displaystyle |0100\dots 0\rangle \equiv |f_{2}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{2}\rangle \equiv |100,100,100,010\rangle }

DMRG形式のハミルトニアンは（ と設定します）です。 J＝−1{\displaystyle J=-1}

HSB＝HB+Hあなた+∑⟨私、j⟩S×私S×j+Sy私Syj+Sz私Szj{\displaystyle \mathbf {H} _{SB}=\mathbf {H} _{B}+\mathbf {H} _{U}+\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}}

演算子は行列です。例: (d∗3∗3∗d)×(d∗3∗3∗d){\displaystyle (d*3*3*d)\times (d*3*3*d)}d=dim⁡(HB)≡dim⁡(HU){\displaystyle d=\dim({\mathfrak {H}}_{B})\equiv \dim({\mathfrak {H}}_{U})}

⟨f|HB|f′⟩≡⟨u,t,s,r|HB⊗I⊗I⊗I|u′,t′,s′,r′⟩{\displaystyle \langle f|\mathbf {H} _{B}|f'\rangle \equiv \langle u,t,s,r|H_{B}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} |u',t',s',r'\rangle }

SxBSxl=SxBI⊗ISxl⊗II⊗II=SxB⊗Sxl⊗I⊗I{\displaystyle \mathbf {S} _{x_{B}}\mathbf {S} _{x_{l}}=S_{x_{B}}\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \mathbb {I} =S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} }

ステップ2: スーパーブロックハミルトニアンの対角化

この時点で、観測量が計算されるハミルトニアンの固有状態、つまり目標状態を選択する必要があります。最初に基底状態を選択し、それを求めるための高度なアルゴリズムを用いることもできます。その一つは以下で説明されています。

このステップは、アルゴリズムの中で最も時間のかかる部分です。

が目標状態である場合、この時点では を使用してさまざまな演算子の期待値を測定できます。 |Ψ⟩=∑Ψi,j,k,w|ui,tj,sk,rw⟩{\displaystyle |\Psi \rangle =\sum \Psi _{i,j,k,w}|u_{i},t_{j},s_{k},r_{w}\rangle }|Ψ⟩{\displaystyle |\Psi \rangle }

ステップ3: 密度行列を縮小する

最初の2つのブロック系、すなわちブロックと左辺の縮約密度行列を作成します。定義により、それは次の行列です。ρ{\displaystyle \rho }(d∗3)×(d∗3){\displaystyle (d*3)\times (d*3)}ρi,j;i′,j′≡∑k,wΨi,j,k,wΨi′,j′,k,w∗{\displaystyle \rho _{i,j;i',j'}\equiv \sum _{k,w}\Psi _{i,j,k,w}\Psi _{i',j',k,w}^{*}}

対角化して 行列を形成します。 この行はの最大固有値に関連付けられた固有ベクトルです。したがって、は縮約密度行列の最も重要な固有状態によって形成されます。パラメータ に注目して選択します。ρ{\displaystyle \rho }m×(d∗3){\displaystyle m\times (d*3)}T{\displaystyle T}m{\displaystyle m}m{\displaystyle m}eα{\displaystyle e_{\alpha }}ρ{\displaystyle \rho }T{\displaystyle T}m{\displaystyle m}Pm≡∑α=1meα{\displaystyle P_{m}\equiv \sum _{\alpha =1}^{m}e_{\alpha }}1−Pm≅0{\displaystyle 1-P_{m}\cong 0}

ステップ4: 新しいブロックとユニバースブロック演算子

ブロックと左サイトのシステム複合体、および右サイトとユニバースブロックのシステム複合体の演算子の行列表現を作成します。例: (d∗3)×(d∗3){\displaystyle (d*3)\times (d*3)}

HB−l=HB⊗I+SxB⊗Sxl+SyB⊗Syl+SzB⊗Szl{\displaystyle H_{B-l}=H_{B}\otimes \mathbb {I} +S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}+S_{y_{B}}\otimes S_{y_{l}}+S_{z_{B}}\otimes S_{z_{l}}}

SxB−l=I⊗Sxl{\displaystyle S_{x_{B-l}}=\mathbb {I} \otimes S_{x_{l}}}

Hr−U=I⊗HU+Sxr⊗SxU+Syr⊗SyU+Szr⊗SzU{\displaystyle H_{r-U}=\mathbb {I} \otimes H_{U}+S_{x_{r}}\otimes S_{x_{U}}+S_{y_{r}}\otimes S_{y_{U}}+S_{z_{r}}\otimes S_{z_{U}}}

Sxr−U=Sxr⊗I{\displaystyle S_{x_{r-U}}=S_{x_{r}}\otimes \mathbb {I} }

ここで、新しいブロック演算子とユニバースブロック演算子の行列表現を形成し、変換を使用して基底を変更することで新しいブロックを形成します。たとえば、この時点で反復は終了し、アルゴリズムはステップ 1 に戻ります。 m×m{\displaystyle m\times m}T{\displaystyle T}HB=THB−lT†SxB=TSxB−lT†{\displaystyle {\begin{matrix}&H_{B}=TH_{B-l}T^{\dagger }&S_{x_{B}}=TS_{x_{B-l}}T^{\dagger }\end{matrix}}}

観測可能な値が特定の値に収束すると、アルゴリズムは正常に停止します。

行列積仮説

1次元システムにおけるDMRGの成功は、それが行列積状態（MPS）空間内の変分法であるという事実に関係している。[ 6 ]これらは、次のような形式の状態である。

|Ψ⟩=∑s1⋯sNTr⁡(As1⋯AsN)|s1⋯sN⟩{\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{s_{1}\cdots s_{N}}\operatorname {Tr} (A^{s_{1}}\cdots A^{s_{N}})|s_{1}\cdots s_{N}\rangle }

ここで、スピン鎖におけるスピンの例えばz成分の値、A s iは任意次元 mの行列である。m → ∞のとき 、表現は正確になる。 s1⋯sN{\displaystyle s_{1}\cdots s_{N}}

量子化学応用において、は、単一の軌道を占有できる2つの電子のスピン量子数の射影の4つの可能性を表します。つまり であり、これらのケットの1番目（2番目）のエントリは、スピンアップ（ダウン）電子に対応します。量子化学では、（与えられた に対して）および（与えられた に対して）は、伝統的にそれぞれ行行列と列行列として選択されます。これにより、 の結果はスカラー値となり、トレース演算は不要になります。は、シミュレーションで使用されるサイト（基本的には軌道）の数です。 si{\displaystyle s_{i}}si=|00⟩,|10⟩,|01⟩,|11⟩{\displaystyle s_{i}=|00\rangle ,|10\rangle ,|01\rangle ,|11\rangle }As1{\displaystyle A^{s_{1}}}si{\displaystyle s_{i}}AsN{\displaystyle A^{s_{N}}}sN{\displaystyle s_{N}}As1…AsN{\displaystyle A^{s_{1}}\ldots A^{s_{N}}}N{\displaystyle N}

MPS仮説における行列は一意ではない。例えば、の中央にを挿入し、と を定義しても状態は変化しない。このようなゲージ自由度は、行列を標準形に変換するために用いられる。標準形には3つの種類がある。(1) 左正規化形式、すなわち B−1B{\displaystyle B^{-1}B}AsiAsi+1{\displaystyle A^{s_{i}}A^{s_{i+1}}}A~si=AsiB−1{\displaystyle {\tilde {A}}^{s_{i}}=A^{s_{i}}B^{-1}}A~si+1=BAsi+1{\displaystyle {\tilde {A}}^{s_{i+1}}=BA^{s_{i+1}}}

∑si(A~si)†A~si=I{\displaystyle \sum _{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }{\tilde {A}}^{s_{i}}=I}

すべての に対して、（２）右正規化形式、 i{\displaystyle i}

∑siA~si(A~si)†=I{\displaystyle \sum _{s_{i}}{\tilde {A}}^{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }=I}

すべての に対して、そして（3）上記のMPS仮説内の行列の中に左正規化行列と右正規化行列の両方が存在する場合は混合標準形 となる。 i{\displaystyle i}N{\displaystyle N}

DMRG計算の目的は、各行列の要素を解くことです。この目的のために、いわゆるワンサイトアルゴリズムとツーサイトアルゴリズムが考案されています。ワンサイトアルゴリズムでは、一度に1つの行列（1つのサイト）の要素のみが解かれます。ツーサイトアルゴリズムとは、まず2つの行列を1つの行列に縮約（乗算）し、次にその行列の要素を解くことを意味します。ツーサイトアルゴリズムが提案されたのは、ワンサイトアルゴリズムが局所最小値に陥りやすいためです。MPSを上記のいずれかの標準形にすることで、計算がより容易になるという利点があります。つまり、通常の固有値問題に繋がります。標準形にしないと、一般化固有値問題を扱うことになります。 Asi{\displaystyle A^{s_{i}}}

拡張機能

2004年には、行列積状態のリアルタイム発展を実装するために、時間発展ブロック間引き法が開発された。 [ 7 ]このアイデアは、量子コンピュータの古典的シミュレーションに基づいている。その後、ルンゲ・クッタに基づくDMRG形式論において、リアルタイム発展を計算するための新しい手法が考案された。[ 8 ]

近年、行列積状態の定義とDMRG法を2次元および3次元に拡張する提案がいくつか提出されている。[ 9 ]

さらに読む

  • 行列積ツールキット: C++で書かれた有限および無限行列積状態を操作するための無料のGPLツールセット
  • Uni10 : C++ で多数のテンソル ネットワーク アルゴリズム (DMRG、TEBD、MERA、PEPS ...) を実装するライブラリ
  • Powder with Power: Fortranで書かれた時間依存の DMRG コードの無料配布( 2017 年 12 月 4 日、 Wayback Machineにアーカイブ)
  • ALPSソフトウェア パッケージ:さまざまなモデルの正確な対角化、DMRG、量子モンテ カルロアルゴリズムを含む、相関システムをシミュレートするためのPythonコードの無料配布。
  • DMRG++ : C++で書かれたDMRGの無料実装
  • ITensor （インテリジェントテンソル）ライブラリ： C++とJuliaで書かれたテンソルと行列積状態に基づくDMRG計算を実行するための無料ライブラリ[ 10 ]
  • OpenMPS : Python/Fortran2003 で記述された Matrix Product States に基づくオープン ソースの DMRG 実装。
  • Snake : C++で書かれたオープンソースのDMRG、tDMRG、有限温度DMRGプログラム[ 11 ]
  • CheMPS2 : C++で書かれたオープンソース（GPL）のスピン適応型DMRGコード（第一原理量子化学）[ 12 ]
  • Block : C++で記述された量子化学およびモデルハミルトニアンのためのオープンソースDMRGフレームワーク。SU(2)対称性および一般的な非アーベル対称性をサポートします。
  • ブロック 2 :量子化学および Python で記述されたモデルのための DMRG、動的 DMRG、tdDMRG、有限温度 DMRG の効率的な並列実装。
  • TenPy : 量子多体系のシミュレーションのために作成された、テンソル積状態法のための効率的なPythonライブラリ。[ 13 ]

参照

参考文献

  1. ^ White, Steven R. (1992-11-09). 「量子再正規化群の密度行列定式化」 . Physical Review Letters . 69 (19): 2863– 2866. Bibcode : 1992PhRvL..69.2863W . doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2863 . PMID  10046608 .
  2. ^ White, Steven R. (1993-10-01). 「量子再正規化群のための密度行列アルゴリズム」 . Physical Review B. 48 ( 14): 10345–10356 . Bibcode : 1993PhRvB..4810345W . doi : 10.1103/PhysRevB.48.10345 . PMID 10007313 . 
  3. ^中谷直樹 (2018)、「行列積状態と密度行列再正規化群アルゴリズム」、化学、分子科学、化学工学のリファレンスモジュール、エルゼビア、doi : 10.1016/b978-0-12-409547-2.11473-8、ISBN 978-0-12-409547-2{{citation}}: CS1 maint: work parameter with ISBN (link)
  4. ^ White, SR; Noack, RM (1992-06-15). 「実空間量子再正規化群」 . Physical Review Letters . 68 (24): 3487– 3490. Bibcode : 1992PhRvL..68.3487W . doi : 10.1103/PhysRevLett.68.3487 . PMID 10045717 . 
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