アベル・ヤコビ写像

数学において、アーベル・ヤコビ写像は代数幾何学における構成であり、代数曲線とそのヤコビ多様体を関連付ける。リーマン幾何学においては、より一般的な多様体をそのヤコビ・トーラスに写す構成である。この名称は、2つの実効因子が線型的に同値であることと、それらがアーベル・ヤコビ写像の下で区別不可能であることの双方が等しい というアーベルとヤコビの定理に由来する。

地図の構築

複素代数幾何学では、曲線Cのヤコビアン（ヤコビアン）は経路積分を用いて構成される。つまり、Cの種数がgであるとすると、位相的には

${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}.}$

幾何学的には、このホモロジー群はCの閉路（のホモロジー類）、つまり閉ループから構成されます。したがって、この群を生成する 2 つのg個のループを選択できます。一方、Cの種数がgである ことをより代数幾何学的に表現すると、${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}}$

${\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}$

ここで、KはC上の標準バンドルです。

定義により、これはC上の大域的に定義された正則微分形式の空間なので、 g個の線型独立な形式を選ぶことができる。形式と閉ループが与えられれば積分でき、 2g個のベクトル を定義する。${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{g}}$

${\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}.}$

リーマンの双線型関係から、 は非退化格子（つまり の実基底）を生成し、ヤコビアンが次のように定義されることが わかる。${\displaystyle \Omega _{j}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}}$

${\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda .}$

アーベル・ヤコビ写像は次のように定義される。ある基点を選び、ほぼ定義を模倣して写像を定義する。 ${\displaystyle p_{0}\in C}$ ${\displaystyle \Lambda ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}}$

これは一見、からへの経路に依存しているように見えますが、そのような経路はいずれも における閉ループを定義し、したがって の要素は を積分すると の要素が得られます。したがって、による商への経路において、差は消去されます。基点を変更すると写像は変化しますが、それはトーラスの移動によってのみ変化します。 ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle \Lambda .}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle p_{0}}$

リーマン多様体のアーベル・ヤコビ写像

を滑らかなコンパクト多様体とする。をその基本群とする。をそのアーベル化写像とする。を の捩れ部分群とする。を捩れによる商とする。を曲面とするとき、は と非標準同型であり、ここで は種数である。より一般的には、は と非標準同型であり、ここでは最初のベッチ数である。を合成準同型とする。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}}$ ${\displaystyle \operatorname {tor} =\operatorname {tor} (\pi ^{ab})}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}}$ ${\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varphi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}$

定義。部分群に対応する多様体の被覆は、普遍的（または最大）自由アーベル被覆と呼ばれる。 ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ker(\varphi )\subset \pi }$

ここで、 がリーマン計量を持つと仮定する。を 上の調和1-形式空間とし、双対 を と正準的に同一視する。 基点 から の経路に沿って調和1-形式を積分すると、円 への写像が得られる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x_{0}\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

同様に、コホモロジーの基底を選択せず​​に写像を定義するために、次のように議論する。を の普遍被覆内の点とする。したがって、は の点と、からへの経路によって表される。経路 に沿って積分すると、 上の線型形式が得られる。 ${\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle h\to \int _{c}h.}$

これにより地図が作成される

${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} ),}$

さらに、地図に降りてくる

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\\c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right)\end{cases}}}$

普遍自由アーベル被覆は どこにありますか。${\displaystyle {\overline {M}}}$

定義。ヤコビ多様体（ヤコビ・トーラス）は、 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.}$

定義。アベル・ヤコビ写像

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

上記のマップから商を渡すことで取得されます。

アーベル・ヤコビ写像は、ヤコビ・トーラスの平行移動を除けば一意である。この写像はシストリック幾何学に応用されている。リーマン多様体のアーベル・ヤコビ写像は、周期多様体上の熱核の大時間漸近解析に現れる（Kotani & Sunada (2000)およびSunada (2012)）。

ほぼ同じように、アーベル・ヤコビ写像のグラフ理論的類似物を、有限グラフから平坦トーラス（または有限アーベル群に関連付けられたケーリーグラフ）への区分線形写像として定義することができます。これは、結晶格子上のランダムウォークの漸近的動作に密接に関連しており、結晶構造の設計に使用できます。

コンパクトリーマン面のアーベル・ヤコビ写像

コンパクト リーマン面上のアーベル ヤコビ マップの解析的構成を提供します。

が種数 のコンパクトリーマン面を表すものとします。が 上の標準ホモロジー基底、が の双対基底であり、正則微分形式 からなる - 次元複素ベクトル空間であるとします。双対基底とは、の場合を意味します。 の要素が のときである対称行列を形成できます。 が、のとき を要素とする行列の -列で生成される格子であるとします。この場合、のときとなります。のヤコビ多様体は、 がコンパクトで可換な- 次元複素リー群であるとします。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g>0}$ ${\displaystyle \{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\zeta _{1},...,\zeta _{g}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(M)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle \int _{b_{k}}\zeta _{j}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 2g}$ ${\displaystyle g\times 2g}$ ${\displaystyle \int _{c_{k}}\zeta _{j}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}}$ ${\displaystyle J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

点と、 階数1（最大階数）を持つ明確に定義された正則写像 を設定することで、写像を定義できます。そして、これを因子類の写像へと自然に拡張できます。${\displaystyle \varphi :M\to J(M)}$ ${\displaystyle P_{0}\in M}$ ${\displaystyle \varphi (P)=\left(\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{1},...,\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{g}\right).}$

の因子類群を表すとすると、次のように 写像を定義する。${\displaystyle \mathrm {Div} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :\mathrm {Div} (M)\to J(M)}$ ${\displaystyle \varphi (D)=\sum _{j=1}^{r}\varphi (P_{j})-\sum _{j=1}^{s}\varphi (Q_{j}),\quad D=P_{1}\cdots P_{r}/Q_{1}\cdots Q_{s}.}$

の場合、この写像は基点の選択に依存しないので、 の 0 次約数を表す基点に依存しない写像を定義できることに注意してください。 ${\displaystyle r=s}$ ${\displaystyle \varphi _{0}:\mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {Div} ^{(0)}(M)}$ ${\displaystyle M}$

下のアーベルの定理は、写像の核がまさに主因子群の部分群であることを示しています。ヤコビの逆問題と合わせて、 は主因子群の部分群を法として零次因子群に同型であると言えます。 ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle J(M)}$

アベル・ヤコビの定理

次の定理はアーベルによって証明された（アーベルの定理として知られる）。

${\displaystyle D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}}$

は因子（Cの点の形式的な整数線型結合を意味する）である。定義できる。

${\displaystyle u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})}$

となり、したがって因子上のアーベル・ヤコビ写像の値について語ることができる。定理は、DとEが2つの有効因子、つまり全て正の整数であるとき、 ${\displaystyle n_{i}}$

${\displaystyle u(D)=u(E)}$ が次と線型的に等価である場合に限り、これはアーベル・ヤコビ写像が、次数 0 の因子類の空間からヤコビ写像への (アーベル群の) 入射写像を誘導することを意味します。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E.}$

ヤコビは、この写像も射影的であることを証明しました (ヤコビの逆写像問題として知られています)。したがって、2 つのグループは自然に同型です。

アーベル・ヤコビの定理は、コンパクト複素曲線のアルバネーゼ多様体（周期を法とする正則1-形式の双対）が、そのヤコビ多様体（同値を法とする次数0の因子）と同型であることを意味する。高次元コンパクト射影多様体の場合、アルバネーゼ多様体とピカール多様体は双対であるが、必ずしも同型である必要はない。

参考文献

• E.アルバレロ。 M.コルナルバ; P.グリフィス; J. ハリス (1985)。 「1.3、アーベルの定理」。代数曲線の幾何学、Vol. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-0-387-90997-4。
• 小谷元子; 砂田敏一 (2000) 「アルバネーゼ写像と熱核の非対角長時間漸近線」, Comm. Math. Phys. , 209 (3): 633– 670, Bibcode : 2000CMaPh.209..633K , doi : 10.1007/s002200050033
• 砂田 敏一(2012)、「トポロジカル結晶学講義」、日本数学会誌、7 : 1– 39、doi : 10.1007/s11537-012-1144-4
• ファーカス、ハーシェル・M; クラ、アーウィン（1991年12月23日）『リーマン面』ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 978-0387977034