アルバネーゼ多様体

数学において、アルバネーゼ多様体はジャコモ・アルバネーゼにちなんで名付けられ、曲線の ヤコビ多様体の一般化ですA（V）{\displaystyle A(V)}

正確な記述

滑らかな射影代数多様体のアルバネーゼ多様体は、アーベル多様体と、アーベル多様体からアーベル多様体への任意の射がこの射を一意に因数分解するような射を合わせたものです。複素多様体の場合、アンドレ・ブランシャール（ 1956）は同様の方法でアルバネーゼ多様体を、複素トーラスから複素トーラスへの任意の射がこの写像を一意に因数分解するような射として定義しました。（この場合、 複素トーラスは代数的である必要はありません。）V{\displaystyle V}アルブ⁡（V）{\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}V→アルブ⁡（V）{\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}V{\displaystyle V}V{\displaystyle V}アルブ⁡（V）{\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}アルブ⁡（V）{\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}

性質

コンパクト・ケーラー多様体の場合、アルバネーゼ多様体の次元はホッジ数 であり、これは上の第一種微分空間の次元であり、曲面の場合、曲面の不規則性と呼ばれます。微分形式の観点から見ると、 上の任意の正則1-形式は、アルバネーゼ多様体上の並進不変1-形式の引き戻しであり、 の正則余接空間の恒等元から来ています。曲線の場合と同様に、上の基点（そこから「積分」する）を選択することで、アルバネーゼ射がh1、0{\displaystyle h^{1,0}}V{\displaystyle V}V{\displaystyle V}アルブ⁡（V）{\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}V{\displaystyle V}

V→アルブ⁡（V）{\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}

が定義され、それに沿って1-形式が引き戻されます。この射は、アルバネーゼ多様体上の変換を除いて一意です。正標数の体上の多様体の場合、アルバネーゼ多様体の次元はホッジ数と（必ずしも等しいとは限らない）よりも小さくなることがあります。前者を確認するには、アルバネーゼ多様体はピカール多様体 の双対であることに留意してください。ピカール多様体の恒等式における接空間は で与えられます。これは参考文献にある 井草純一氏の成果です。h1、0{\displaystyle h^{1,0}}h0、1{\displaystyle h^{0,1}}H1（X、OX）。{\displaystyle H^{1}(X,O_{X}).}暗⁡アルブ⁡（X）≤h1、0{\displaystyle \dim \operatorname {Alb} (X)\leq h^{1,0}}

ロイトマンの定理

基底体kが代数的に閉じている場合、アルバネーゼ写像は群準同型（アルバネーゼ写像とも呼ばれる） 上で因数分解できることが示されるV→アルブ⁡（V）{\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}

CH0（V）→アルブ⁡（V）（k）{\displaystyle CH_{0}(V)\to \operatorname {Alb} (V)(k)}

V上の 0 次元サイクルのChow 群からの有理点の群へ。 はアーベル多様体なので、これはアーベル群です。 アルブ⁡（V）{\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}アルブ⁡（V）{\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}

AA Rojtman ( 1980 )によって導入されたRoitman の定理は、 l がchar( k ) に対して素数である場合、アルバネーゼ写像はl -ねじれ部分群に同型を誘導することを主張している。[ 1 ] [ 2 ] ねじれの順序が基本体の標数に対して素数であるという制約は、その後まもなく Milne [ 3 ]によって取り除かれた 。つまり、のねじれ部分群 とXのアルバネーゼ多様体のk -値点のねじれ部分群は一致する。 CH0⁡（X）{\displaystyle \operatorname {CH} _{0}(X)}

モチーフコホモロジー の導入後、チョウ群をスースリン・ヴォヴォツキー代数特異ホモロジーに置き換えることで、ロイトマンの定理が得られ、モチーフの枠組みで再定式化された。例えば、非特異な準射影多様体に対しても同様の結果が成り立つ。[ 4 ]ロイトマンの定理のさらなるバージョンは、正規スキームに対して利用可能である。[ 5 ]実際、ロイトマンの定理の最も一般的な定式化（すなわち、ホモロジー的、コホモロジー的、およびボレル・ムーア的）は、モチーフアルバネーゼ複体を含んでおり、ルカ・バルビエリ＝ヴィアーレとブルーノ・カーンによって証明されている（参考文献III.13を参照）。 LAlb⁡（V）{\displaystyle \operatorname {LAlb} (V)}

ピカール多様体との関連

アルバネーゼ多様体はピカール多様体（V上の可逆層を分類するピカール方式の零点の連結成分） の双対である。

アルブ⁡V＝（ピク0⁡V）∨。{\displaystyle \operatorname {Alb} V=(\operatorname {Pic} _{0}V)^{\vee}.}

代数曲線の場合、アーベル・ヤコビの定理はアルバネーゼ多様体とピカール多様体が同型であることを意味します。

参照

注釈と参考文献

  1. ^ Rojtman, AA (1980). 「有理数同値性を法とする0サイクル群の捩れ」Annals of Mathematics . Second Series. 111 (3): 553–569 . doi : 10.2307/1971109 . ISSN  0003-486X . JSTOR  1971109. MR  0577137
  2. ^ブロッホ、スペンサー(1979). 「捩れ代数サイクルとロイトマンの定理」 .コンポジシオ・マセマティカ. 39 (1). MR 0539002 . 
  3. ^ Milne, JS (1982). 「非零特性の代数多様体上の零サイクル：ロイトマンの定理」 . Compositio Mathematica . 47 (3): 271– 287.
  4. ^シュピース、マイケル;シャムエリ、タマス (2003)。 「滑らかな準射影多様体のアルバニア地図上」。数学アンナレン。325 : 1–17 . arXiv : math/0009017。土井：10.1007/s00208-002-0359-8。S2CID 14014858。 
  5. ^ Geisser, Thomas (2015). 「正規スキームに対するRojtmanの定理」. Mathematical Research Letters . 22 (4): 1129– 1144. arXiv : 1402.1831 . doi : 10.4310/MRL.2015.v22.n4.a8 . S2CID 59423465 . 
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