抽象微分方程式

数学において、抽象微分方程式とは、未知の関数とその導関数が、ある一般的な抽象空間（ヒルベルト空間、バナッハ空間など）において値を取る微分方程式のことである。この種の方程式は、例えば偏微分方程式の研究において現れる。変数の1つに特権的な位置（例えば、熱方程式や波動方程式における時間）を与え、他のすべての変数をまとめると、その変数に関する通常の「微分」方程式が得られる。境界条件を追加することは、多くの場合、いくつかの便利な関数空間における解を考えるという観点から解釈できる。

最も頻繁に遭遇する古典的な抽象微分方程式は、次の式である^{[ 1 ]。}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f}$

ここで、未知関数は何らかの関数空間に属し、はこの空間に作用する作用素（通常は線型作用素）である。定数作用素を伴う同次（ ）の場合の網羅的な扱いは、 C ₀半群の理論によって与えられている。他の抽象微分方程式の研究は、多くの場合、（例えば、一階の方程式への還元によって）この方程式の研究に帰着する。 ${\displaystyle u=u(t)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq T\leq \infty }$ ${\displaystyle A:X\to X}$ ${\displaystyle f=0}$

抽象微分方程式の理論は、アイナー・ヒレによっていくつかの論文と著書『関数解析と半群』によって確立されました。その他の主要な貢献者としては、^{[ 2 ]}吉田耕作、ラルフ・フィリップス、宮寺功、セリム・グリゴリエヴィチ・クラインが挙げられます。^{[ 3 ]}

抽象コーシー問題

意味

とを、定義域がとであり、バナッハ空間に作用する2つの線型作用素とする。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}関数が点で強微分（またはフレシェ微分可能、あるいは単に微分可能）であるとは、次を 満たす元が存在することを意味する。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle D(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u(t):[0,T]\to X}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left\|{\frac {u(t_{0}+h)-u(t_{0})}{h}}-y\right\|=0}$

そしてその導関数は です。 ${\displaystyle u'(t_{0})=y}$

方程式 の解

${\displaystyle B{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au}$

は次のような関数です。 ${\displaystyle u(t):[0,\infty )\to D(A)\cap D(B)}$

• ${\displaystyle (Bu)(t)\in C([0,\infty );X),}$
• 任意の に対して強微分が存在し、${\displaystyle u'(t)}$ ${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle u'(t)\in D(B)}$ ${\displaystyle t}$
• 前の等式が成り立ちます。${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$

コーシー問題は、初期条件を満たす方程式の解を見つけることです。 ${\displaystyle u(0)=u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$

ポーズの整え方

アダマールの適切問題の定義によれば、コーシー問題は、次の場合、適切（または正しい）問題であると言われます。 ${\displaystyle [0,\infty )}$

• いずれの場合も、一意の解決策があり、${\displaystyle u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$
• この解は、 （）ならば、すべての対応する解に対して、初期データに連続的に依存する。${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$ ${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$ ${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty ).}$

適切コーシー問題は、各有限区間 において一様であることを意味する場合、一様適切であると言われます。 ${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$ ${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,T]}$

コーシー問題に関連する作用素の半群

抽象的なコーシー問題には、演算子の半群、すなわち、パラメータ（） に依存する有界線型演算子の族を関連付けることができる。${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0<t<\infty }$

${\displaystyle U(t_{1}+t_{2})=U(t_{1})U(t_{2})\quad (0<t_{1},t_{2})$

時刻 におけるコーシー問題 ( ) の解の値を要素 に割り当てる演算子を考えます。コーシー問題が整定されている場合、演算子は上で定義され、半群を形成します。 ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$ ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle u(0)=u_{0}}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$

さらに、がにおいて稠密である場合、この作用素は空間 全体にわたって定義される有界線型作用素に拡張できます。この場合、任意の に対して、任意のに関数を関連付けることができます。このような関数は、コーシー問題の 一般化解と呼ばれます。${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle U(t)x_{0}}$ ${\displaystyle t>0}$

がで稠密であり、コーシー問題が一様整定である場合、関連付けられた半群は のC ₀半群です。 ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle X}$

逆に、 がC ₀半群の無限小生成元である場合、コーシー問題 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

は一様整定であり、解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(t)=U(t)u_{0}.}$

非同次問題

コーシー問題

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

の場合、 のとき非同次であるといわれる。次の定理は、解の存在のための十分な条件を与えている。 ${\displaystyle f:[0,\infty )\to X}$ ${\displaystyle f(t)\neq 0}$

定理。がC ₀半群の無限小生成元であり、連続的に微分可能である場合、関数 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(t)=T(t)u_{0}+\int _{0}^{t}T(ts)f(s)\,ds,\quad t\geq 0}$

は、（抽象的な）非同次コーシー問題に対する唯一の解です。

右側の積分はボッホナー積分として意図されている。

時間依存の問題

初期値問題の解を求める 問題^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A),}$

ここで、未知数は関数 であり、は与えられており、各 に対して、は与えられた、閉線形演算子で、定義域を持ち、 から独立しており、 で稠密である場合、これは時間依存のコーシー問題と呼ばれます。 ${\displaystyle u:[0,T]\to X}$ ${\displaystyle f:[0,T]\to X}$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D[A(t)]=D}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$

（からまでのすべての有界線型作用素の空間）に値を持ち、に対してで定義され、かつ で強連続である作用素値関数は、次の条件を満たすとき、時間依存問題の 基本解と呼ばれます。${\displaystyle U(t,\tau )}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t,\tau }$ ${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$

• 偏微分はの強位相に存在し、 に対して に属し、に対して で強連続である。${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$
• の範囲はです。${\displaystyle U(t,\tau )}$ ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}+A(t)U(t,\tau )=0,\quad 0\leq \tau \leq t\leq T,}$ そして
• ${\displaystyle U(\tau ,\tau )=I}$ 。

${\displaystyle U(\tau ,\tau )}$ は、進化演算子、伝播演算子、解演算子、またはグリーン関数とも呼ばれます。

関数が積分表現を許容する場合、それは時間依存問題の 穏やかな解と呼ばれる。${\displaystyle u:[0,T]\to X}$

${\displaystyle u(t)=U(t,0)u_{0}+\int _{0}^{t}U(t,s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0.}$

発展作用素 が存在するための十分な条件はいくつか知られています。文献で扱われる実質的にすべてのケースにおいて、 は上のC ₀半群の無限小生成元であると仮定されています。大まかに言えば、が縮約半群の無限小生成元である場合、方程式は双曲型であると言われ、が解析半群の無限小生成元である場合、方程式は放物型であると言われます。 ${\displaystyle U(t,\tau )}$ ${\displaystyle -A(t)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -A(t)}$ ${\displaystyle -A(t)}$

非線形問題

どちらかの解決策を見つける 問題^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad u(0)=u_{0}\in X}$

が与えられている場合、または ${\displaystyle f:[0,T]\times X\to X}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

ここでは定義域 を持つ非線形演算子であり、非線形コーシー問題と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(A)\in X}$

参照

• コーシー問題
• C0半群

参考文献

1. Dezin, AA 「微分方程式、抽象」数学百科事典。
2. ザイドマン、サミュエル (1979).抽象微分方程式. ピットマン・アドバンスト・パブリッシング・プログラム.
3. Hille, Einar (1948).関数解析と半群. アメリカ数学会.
4. Krein, Selim Grigorievich (1972).バナッハ空間における線型微分方程式. アメリカ数学会.
5. Zaidman, Samuel (1994).抽象微分方程式のトピックス. Longman Scientific & Technical.
6. ザイドマン、サミュエル (1999).抽象空間における関数解析と微分方程式. チャップマン＆ホール/CRC. ISBN 1-58488-011-2。
7. Ladas, GE; Lakshmikantham, V. (1972).抽象空間における微分方程式.