地球の重力

NASAのGRACEミッションによって測定された地球の重力。理想的な滑らかな地球、いわゆる地球楕円体の理論的な重力からの偏差を示している。赤は滑らかな標準値よりも重力が強い領域を示し、青は重力が弱い領域を示している。[ 1 ]

gで表される地球の重力は、重力（地球内部の質量分布による）と遠心力（地球の自転による）の複合効果によって物体に与えられる正味の加速度です。 [ 2 ] [ 3 ] これはベクトル量であり、その方向は下げ振りと一致し、強さまたは大きさはノルムで与えられます。 グラム＝‖グラム‖{\displaystyle g=\|{\mathit {\mathbf {g} }}\|}

SI単位では、この加速度はメートル毎秒の2乗（記号ではm / s 2またはm·s −2）またはニュートン毎キログラム（N/kgまたはN·kg −1）で表されます。地球表面付近では、重力加速度は有効数字2桁の精度で9.8 m/s 2（32 ft/s 2 ）です。これは、空気抵抗の影響を無視すると、自由落下する物体の速度の垂直成分が毎秒約9.8メートル毎秒（32 ft/s）ずつ下向きに増加することを意味します。

地球の重力の正確な強さは場所によって異なります。標準重力の一般的な値は9.806 65  m⋅s −2 ‍ [4 ]定義により、1901年にCGPMによって最初に採用されました。 [ 5 ] : 159 この量はg n、g e、g 0、または単にg（変数のローカル値にも使用される）など、さまざまに表記されます。

地球表面上の物体の重さは、その物体に働く下向きの力であり、ニュートンの運動の第二法則、すなわちF = m a (力 = 質量 × 加速度) によって表されます。重力加速度は全体の重力加速度に寄与しますが、地球の自転など他の要因も寄与し、物体の重さに影響を与えます。通常、重力には月と太陽の引力は含まれません。 これらは潮汐力として考慮されます。

大きさの変化

均一な質量密度を持つ、あるいは密度が中心からの距離のみによって変化する（球対称）非回転の完全な球体は、その表面上のあらゆる点で均一な大きさの重力場を作り出す。地球は自転しており、球対称ではない。むしろ、極ではわずかに平らで、赤道では膨らんでいる、つまり扁平回転楕円体である。そのため、表面全体で重力の大きさにわずかな偏差が生じる。

地球表面の重力は、ペルーのネバド・ワスカラン山の9.7639 m/s 2から北極海の表面の9.8337 m/s 2まで、約0.7%変化します。[ 6 ]大都市では、クアラルンプール、メキシコシティ、シンガポールの9.7806 m/s 2 [ 7 ]から、オスロとヘルシンキの9.825 m/s 2までの範囲です。

慣習的な価値

1901年、第3回国際度量衡総会は、地球表面の標準重力加速度をg n  = 9.80665 m/s 2と定義しました。これは1888年にパリ近郊のブルトゥイユ館で行われた測定に基づいており、海面緯度45度に変換するための理論的補正が加えられています。[ 8 ]この定義は特定の場所の値でも、綿密に算出された平均値でもなく、より適切な実際の地域値が不明または重要でない場合に使用する値についての合意です。[ 9 ]これは、キログラム重やポンド重という単位の定義にも使用されます。

緯度

南極大陸の周囲における地球の重力の違い。

地球の表面は自転しているため、慣性系ではありません。赤道に近い緯度では、地球の自転によって生じる外向きの遠心力は、極緯度よりも大きくなります。これにより、地球の重力はわずかに（赤道では最大0.3%）相殺され、落下物体の見かけ上の下向きの加速度が減少します。

緯度によって重力が異なる2つ目の主な理由は、地球の赤道の隆起（これも自転による遠心力によって生じます）により、赤道上の物体は極にある物体よりも地球の中心から遠く離れていることです。2つの質量（地球の一部と計量対象の物体）の間に働く重力による力は、それらの間の距離の2乗に反比例して変化します。質量の分布も、赤道上の物体と極上の物体の真下で異なります。結果として、赤道上の物体は、極にある物体よりも重力の影響が弱くなります。

赤道の隆起と自転による地表の遠心力の影響により、海面重力は赤道で約9.780 m/s 2から極で約9.832 m/s 2に増加するため、物体の重さは赤道よりも極で約0.5%重くなります。[ 2 ] [ 10 ]

高度

物体の重力は、その物体からの距離に反比例します。このグラフは、距離が地表（0 km）から30000 kmまで変化するにつれて、この関係を示しています。
地球の重力と地表からの距離3万 キロ
高度における地球と火星と月の重力

重力は、高度が上昇するにつれて地球の中心からの距離が長くなるため、地表から高度が上昇するにつれて減少します。他の条件が同じであれば、海面から高度9,000メートル（30,000フィート）に上昇すると、重量は約0.29%減少します。見かけの重量に影響を与えるもう1つの要因は、高度における空気密度の低下で、これにより物体の浮力が減少します。[ 11 ]これにより、高度9,000メートルにおける人の見かけの重量は約0.08%増加します。

軌道上の宇宙飛行士は地球の重力から逃れられるほど高度を飛行しているため無重力状態にあるという誤解がよくあります。実際には、国際宇宙ステーション（ISS）の典型的な軌道に相当する高度400キロメートル（250マイル）でも、重力は地表の約90%の強さです。無重力状態は、実際には軌道上の物体が自由落下しているために発生します。[ 12 ]

地面の高度の影響は、地面の密度によって異なります（「地質」を参照）。海抜9,100メートル（30,000フィート）の山の上を飛行している人は、同じ高度でも海上を飛行している人よりも強い重力を感じます。一方、地球の表面に立っている人は、高度が高いほど重力を感じにくくなります。

次の式は、高度による地球の重力の変化を近似します。

電卓
R e6,371.00877 km
g 09.80665 m/s 2
h0キロ
g h9.80665メートル/秒2
g h ⁄ g 01.00000

グラムh＝グラム0（ReRe+h）2{\displaystyle g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}}

どこ

この式では、地球を放射状に対称な質量分布を持つ完全な球体として扱っています。より正確な数学的処理については以下で説明します。

深さ

地球の異なる内部層における重力（1 = 大陸地殻、2 = 海洋地殻、3 = 上部マントル、4 = 下部マントル、5+6 = 核、A = 地殻マントル境界）
予備的参照地球モデル（PREM）による地球の半径方向の密度分布。[ 13 ]
予備的基準地球モデル（PREM）による地球の重力。[ 13 ]比較のために、球対称の地球の2つのモデルが示されている。濃い緑色の直線は、地球の平均密度に等しい一定の密度を表している。薄い緑色の曲線は、中心から表面に向かって密度が直線的に減少する密度を表している。中心の密度はPREMと同じだが、表面密度は球体の質量が実際の地球の質量と等しくなるように選ばれている。

地球の中心から距離rにおける重力のおおよその値は、地球の密度が球対称であると仮定することで得られる。半径rにおける重力の力は、その半径の球面内部の質量のみに依存する。重力の反二乗則により、外部からの寄与はすべて打ち消される。もう一つの帰結として、重力はすべての質量が中心に集中しているのと同じになる。したがって、この半径における重力加速度は[ 14 ]である。

グラム（r）＝−GMr2。{\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}

ここで、Gは重力定数、Mは半径rに含まれる全質量である。この結果は殻定理として知られている。アイザック・ニュートンはこの結果を証明するのに20年を要し、重力に関する研究を遅らせた。[ 15 ] : 13

もし地球の密度ρが一定であれば、質量はM ( r ) = (4/3) πρr 3となり、重力の深さ依存性は

グラム（r）＝4π3Gρr。{\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.}

深さdにおける重力g′は、 g′ = g (1 − d / R )で与えられます。ここで、 gは地球表面における重力加速度、dは深さ、Rは地球の半径です。密度が半径の増加とともに、中心の密度ρ 0から表面の密度ρ 1まで直線的に減少するとすると、 ρ ( r ) = ρ 0 − ( ρ 0 − ρ 1 ) r / Rとなり、依存性は次のようになります。

グラム（r）＝4π3Gρ0r−πG（ρ0−ρ1）r2R。{\displaystyle g(r)={\frac {4\pi}{3}}G\rho_{0}r-\pi G\left(\rho_{0}-\rho_{1}\right){\frac {r^{2}}{R}}.}

地震の伝播時間から推定される密度と重力の実際の深さ依存性（アダムス・ウィリアムソンの式を参照）は、以下のグラフに示されています。

地元の地形と地質

地形（山の存在など）、地質（付近の岩石の密度など）、およびより深い地殻構造における地域的な違いにより、地球の重力場には地域的および局所的な違いが生じ、重力異常として知られています。[ 16 ]これらの異常の中には非常に広範囲に及ぶものもあり、海面の隆起や振り子時計の同期のずれを引き起こします。

これらの異常の研究は、重力地球物理学の基礎を形成しています。変動は高感度重力計で測定され、地形やその他の既知の要因の影響が差し引かれ、得られたデータから結論が導き出されます。このような手法は現在、石油や鉱床の探査に利用されています。密度の高い岩石（多くの場合、鉱石を含む）は、地球表面に通常よりも高い局所的な重力場を引き起こします。密度の低い堆積岩は、その逆の作用を引き起こします。

最近の火山活動と尾根拡大の地図。NASAのGRACE衛星が理論上の重力よりも強い重力を測定した地域は、火山活動と尾根拡大の位置と強い相関関係にある。

NASA GRACE による地球の重力導出マップと最近の火山活動、海嶺拡大、火山の位置との間には強い相関関係があり、これらの地域では理論予測よりも強い重力があります。

その他の要因

空気中または水中では、物体は浮力の影響を受け、重力の見かけの強さ（物体の重さで測定）が減少します。この影響の大きさは、それぞれ空気の密度（つまり気圧）または水の密度に依存します。詳細については 「見かけの重さ」を参照してください。

月と太陽の重力の影響（潮汐の原因でもある）は、それらの相対的な位置に応じて、地球の重力の見かけの強さに非常に小さな影響を与えます。典型的な変動は、 1日で 2 μm/s 2 (0.2 mGal ) です。

方向

下げ振りは局所的な垂直方向を決定する

重力加速度はベクトル量であり、大きさに加えて方向も持ちます。球対称の地球では、重力は球の中心に直接向かいます。地球の形状がわずかに平坦であるため、重力の方向には大きな偏差が生じます。これは基本的に測地緯度と地心緯度の差に相当します。より小さな偏差は鉛直偏差と呼ばれ、山などの局所的な質量異常によって引き起こされます。

世界の比較価値

世界中の様々な都市の重力の強さを計算するツールが存在します。[ 17 ]緯度の影響は、高緯度都市の重力に明確に表れています。アンカレッジ（9.826 m/s 2）、ヘルシンキ（9.825 m/s 2 ）は、赤道に近い都市のクアラルンプール（9.776 m/s 2 ）よりも約0.5％大きくなっています。高度の影響はメキシコシティ（9.776 m/s 2、標高2,240メートル（7,350フィート））や、北緯39度付近にあるデンバー（9.798 m/s 2、1,616メートル（5,302フィート））とワシントンD.C.（9.801 m/s 2、30メートル（98フィート））を比較することで確認できます。測定値は、TM YarwoodとF. Castle著『Physical and Mathematical Tables』（マクミラン社、1970年改訂版）から取得できます。[ 18 ]

さまざまな都市における重力加速度
位置メートル/秒2フィート/秒2位置メートル/秒2フィート/秒2位置メートル/秒2フィート/秒2位置メートル/秒2フィート/秒2
アンカレッジ9.826 32.24 ヘルシンキ9.825 32.23 オスロ9.825 32.23 コペンハーゲン9.821 32.22
ストックホルム9.818 32.21 マンチェスター9.818 32.21 アムステルダム9.817 32.21 小田切9.817 32.21
バーミンガム9.817 32.21 ロンドン9.816 32.20 ブリュッセル9.815 32.20 フランクフルト9.814 32.20
シアトル9.811 32.19 パリ9.809 32.18 モントリオール9.809 32.18 バンクーバー9.809 32.18
イスタンブール9.808 32.18 トロント9.807 32.18 チューリッヒ9.807 32.18 オタワ9.806 32.17
スコピエ9.804 32.17 シカゴ9.804 32.17 ローマ9.803 32.16 ウェリントン9.803 32.16
ニューヨーク市9.802 32.16 リスボン9.801 32.16 ワシントンD.C.9.801 32.16 アテネ9.800 32.15
マドリード9.800 32.15 メルボルン9.800 32.15 オークランド9.799 32.15 デンバー9.798 32.15
東京9.798 32.15 ブエノスアイレス9.797 32.14 シドニー9.797 32.14 ニコシア9.797 32.14
ロサンゼルス9.796 32.14 ケープタウン9.796 32.14 パース9.794 32.13 クウェート市9.792 32.13
台北9.790 32.12 リオデジャネイロ9.788 32.11 ハバナ9.786 32.11 コルカタ9.785 32.10
香港9.785 32.10 バンコク9.780 32.09 マニラ9.780 32.09 ジャカルタ9.777 32.08
クアラルンプール9.776 32.07 シンガポール9.776 32.07 メキシコシティ9.776 32.07 ムルシア9.780 32.09

数学モデル

地形が海面にある場合、1980 年の測地基準系では、緯度における加速度を次のように推定できます。 グラム{ϕ}{\displaystyle g\{\phi \}}ϕ{\displaystyle \phi }

グラム{ϕ}＝9.780327メートル⋅s−2（1+0.0053024罪2⁡ϕ−0.0000058罪2⁡2ϕ）、＝9.780327メートル⋅s−2（1+0.0052792罪2⁡ϕ+0.0000232罪4⁡ϕ）、＝9.780327メートル⋅s−2（1.0053024−0.0053256コス2⁡ϕ+0.0000232コス4⁡ϕ）、＝9.780327メートル⋅s−2（1.0026454−0.0026512コス⁡2ϕ+0.0000058コス2⁡2ϕ）{\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0053024\,\sin ^{2}\phi -0.0000058\,\sin ^{2}2\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0052792\,\sin ^{2}\phi +0.0000232\,\sin ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0053024-0.0053256\,\cos ^{2}\phi +0.0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0026454-0.0026512\,\cos 2\phi +0.0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}}

これは1967年の国際重力公式、1967年の測地基準系公式、ヘルメルトの式、またはクレローの公式である。[ 19 ]

緯度の関数としてのgの別の公式はWGS（世界測地系）84楕円体重力公式である：[ 20 ]

g{ϕ}=Ge[1+ksin2⁡ϕ1−e2sin2⁡ϕ],{\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{\text{e}}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],}

どこ

  • a,b{\displaystyle a,\,b}それぞれ赤道半軸と極半軸です。
  • e2=1−(b/a)2{\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}}回転楕円体の離心率の二乗です。
  • Ge,Gp{\displaystyle \mathbb {G} _{\text{e}},\,\mathbb {G} _{\text{p}}\,}それぞれ赤道と極で定義された重力です。
  • k=bGp−aGeaGe{\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{\text{p}}-a\,\mathbb {G} _{\text{e}}}{a\,\mathbb {G} _{\text{e}}}}}（数式定数）

すると、[ 20 ]Gp=9.8321849378m⋅s−2{\displaystyle \mathbb {G} _{\text{p}}=9.8321849378\,\,\mathrm {m{\cdot }s} ^{-2}}

g{ϕ}=9.7803253359m⋅s−2[1+0.001931852652sin2⁡ϕ1−0.0066943799901sin2⁡ϕ]{\displaystyle g\{\phi \}=9.7803253359\,\,\mathrm {m{\cdot }s} ^{-2}\left[{\frac {1+0.001931852652\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0.0066943799901\,\sin ^{2}\phi }}}\right]}

ここで、地球の半軸は次のようになります。

a=6378137.0m{\displaystyle a=6378137.0\,\,\mathrm {m} }
b=6356752.314245m{\displaystyle b=6356752.314245\,\,\mathrm {m} }

WGS-84式とヘルメルトの式の差は0.68 μm·s −2未満である。

重力異常を取得するために、さらなる削減が適用されます (重力異常 § 計算を参照)。

万有引力の法則からgを推定する

万有引力の法則によれば、地球の重力が物体に及ぼす力は次のように表される。

F=Gm1m2r2=(GM⊕r2)m{\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}\right)m}

ここで、rは地球の中心と物体の間の距離です (下記参照)。ここでは、を地球の質量、mを物体の質量とします。 M⊕{\displaystyle M_{\oplus }}

さらに、ニュートンの第二法則F = ma （ mは質量、aは加速度）は、次のことを示しています。

F=mg{\displaystyle F=mg}

2つの式を比較すると次のことがわかります。

g=GM⊕r2{\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}}

したがって、海面での重力加速度を求めるには、重力定数G、地球の質量（キログラム）、m 1、地球の半径（メートル）、rの値を代入してgの値を取得します。[ 21 ]

g=GM⊕r2=6.67×10−11 m3⋅kg−1⋅s−2×5.98×1024 kg(6.38×106 m)2≈9.8 m⋅s−2{\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}=6.67\times 10^{-11}\ \mathrm {{m}^{3}{\cdot }{kg}^{-1}{\cdot }{s}^{-2}} \times {\frac {5.98\times 10^{24}\ \mathrm {kg} }{(6.38\times 10^{6}\ \mathrm {m} )^{2}}}\approx 9.8\ \mathrm {{m}{\cdot }{s}^{-2}} }

この式は、均一な球体の重力は、その表面上または表面より上で測定すると、その質量全体が中心の一点に集中しているのと同じになるため成り立ちます。そのため、地球の半径をrとして使うことができます。

得られた値はgの測定値とほぼ一致しています。この差は、前述の「大きさの変動」で述べたいくつかの要因に起因すると考えられます。

  • 地球は均質ではない
  • 地球は完全な球体ではないので、その半径は平均値を用いる必要がある。
  • このgの計算値には、真の重力のみが含まれています。地球の自転による重力の減少として私たちが認識している拘束力の減少や、遠心力によって重力の一部が打ち消されることは含まれていません。

この計算で使用されるrとm 1の値には大きな不確実性があり、 Gの値も正確に測定するのはかなり困難です。

G、g、rが分かっていれば、逆算することで地球の質量を推定できます。この方法はヘンリー・キャベンディッシュによって用いられました。

測定

地球の重力を測定することを重力測定法といいます。

衛星測定

GRACEの重力異常マップ

現在、地球の静的および時間変動重力場パラメータは、GOCE、CHAMP、Swarm、GRACE、GRACE-FOなどの最新の衛星ミッションによって決定されています。[ 22 ] [ 23 ]地球の扁平率や地心移動などの最低次のパラメータは、衛星レーザー測距によって最もよく決定されます。[ 24 ]

大規模な重力異常は、衛星重力ミッションの副産物として、宇宙から検出されることがあります。これらの衛星ミッションは、地球の詳細な重力場モデルの作成を目的としており、通常は地球の重力ポテンシャルの球面調和展開の形で提示されますが、ジオイドの起伏や重力異常の地図など、代替的な表現方法も作成されます。

重力回復・気候実験（GRACE）は、地球全体の重力変化を検知した2機の衛星で構成されていました。これらの変化は、重力異常の時間変動として表現できます。重力回復・内部実験室（GRAIL）も、2015年に軌道から外れるまでの3年間、月を周回する2機の宇宙船で構成されていました。

参照

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