体上の代数

数学において、体上の代数（しばしば単に代数と呼ばれる）は、双線型積を備えたベクトル空間である。したがって、代数とは、体の元による乗算、加算、スカラー乗算の演算を含む集合から成り、「ベクトル空間」および「双線型」によって暗示される公理を満たす代数構造である。 ^[¹^]

代数における乗算演算は結合的である場合もそうでない場合もあり、このことから、乗算の結合性が仮定される結合的代数と、結合性が仮定されない（ただし、除外されるわけでもない）非結合的代数という概念が生じる。整数 $n$ を考えると、行列乗算は結合的であるため、位数 n の実 $正方$ 行列の環は、行列の加算と行列の乗算のもとで実数体上の結合的代数の例である。ベクトル積によって乗算が与えられる3 次元ユークリッド空間は、ベクトル積が非結合的であり、代わりにヤコビ恒等式を満たすため、実数体上の非結合的代数の例である。

代数は、乗法に関して単位元を持つ場合、単位元またはユニタリーである。n次の実正方行列の環は、 $n次$ $の$ 単位行列が行列の乗法に関して単位元となるため、単位元代数を形成する。これは、（単位元）環でありながらベクトル空間でもある、単位元結合代数の一例である。

多くの著者は、代数という用語を、結合代数、単位結合代数、または代数幾何学などの一部の主題では単位結合可換代数の意味で使用します。

スカラー体を可換環に置き換えると、より一般的な環上の代数の概念が得られる。代数は、内積空間のような双線型形式を備えたベクトル空間と混同してはならない。なぜなら、そのような空間では、積の結果は空間内ではなく、係数体に存在するからである。

定義と動機

動機付けの例


代数	ベクトル空間	双線形演算子	結合性	可換性
複素数	$\mathbb {R} ^{2}$	複素数の積 $\left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)$	はい	はい
3Dベクトルの外積	$\mathbb {R} ^{3}$	外積 ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$	いいえ	いいえ（反可換）
四元数	$\mathbb {R} ^{4}$	ハミルトン製品 $(a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})$	はい	いいえ
多項式	$\mathbb {R} [X]$	多項式乗算	はい	はい
正方行列	$\mathbb {R} ^{n\times n}$	行列乗算	はい	いいえ

意味

$K$ を体とし、 A を K 上のベクトル空間とし $、$ $ここ$ で·と表記される $A$ $\times$ $A$ $から$ A $へ$ の二項演算が追加されるとします（つまり、 $x$ と $yが$ $A$ の任意の2つの要素である場合、 $x$ $\cdot$ $y$ $はA$ の要素であり、 $x$ と $y$ の積と呼ばれます）。このとき、 $A$ のすべての要素 $x$ $、$ $y$ $、$ $z$ と、 K のすべての要素（しばしばスカラーと呼ばれる） $a$ と $b$ に対して次の恒等式が成り立つとき、 $A$ は $K$ 上の代数 $です$ 。

右分配法則 $：($ x $+$ $y$ $)$ $\cdot$ $z$ $=$ $x$ $\cdot$ $z$ $+$ $y \cdot z$
左分配法則: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
スカラーとの互換性: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ 。

これら3つの条件は、二項演算が双線型であることを言い換えたものです。K $上$ の代数は $K$ 代数とも呼ばれ、 $Kは$ $A$ の基底体と呼ばれます。二項演算はしばしば $A$ における乗算と呼ばれます。本稿では、代数の元の乗算は必ずしも結合的ではないとしています。ただし、一部の著者は結合的代数を指すために「代数」という用語を使用しています。

ベクトル空間上の二項演算が可換な場合、左分配法則と右分配法則は同値であり、この場合、証明が必要となる分配法則は片方のみである。一般に、非可換演算の場合、左分配法則と右分配法則は同値ではなく、それぞれ別の証明が必要となる。

基本概念

代数準同型

$K-$ 代数 $A$ と $B$ が与えられたとき、 $K-$ 代数の準同型写像、あるいは $K-$ 代数準同型写像とは、 $K-$ 線型写像 $f$ $:$ $A$ $\to$ $Bであって、$ $A$ の任意の $x$ $,$ $yに対して$ $f$ $($ $xy$ $) =$ $f$ $($ $x$ $)$ $f$ $($ $y$ $)$ が成り立つ写像のことである。A と B が単位写像ならば $、$ $f$ ( 1 A ) = 1 B を満たす準同型写像 $は$ $単位$ $写像$ $準$ $同型$ 写像と呼ばれる。Aと $Bの間のすべての$ $K-$ 代数準同型写像の空間は、 $しばしば$ 次のように表記される。

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

K代数同型は $、$ 全単射の $K$ 代数準同型です。

部分代数とイデアル

体 $K$ 上の代数の部分代数は、その任意の2つの元の積がその部分空間に再び含まれるという性質を持つ線型部分空間です。言い換えれば、代数の部分代数は、加算、乗算、およびスカラー乗算に関して閉じた、空でない元の部分集合です。記号で言えば、 $K$ 代数 $A$ の部分集合 $L$ が部分代数であるとは、 $L$ の任意の $x$ 、 $y 、$ および $K$ の任意の $c$ に対して、 $x$ $\cdot$ $y$ 、 $x$ $+$ $y$ 、および $cx が$ すべて $L$ に含まれることを言います。

実数上の 2 次元代数として見た複素数の上記の例では、1 次元の実数直線は部分代数です。

$K$ 代数の左イデアルとは、その部分空間の任意の元を左で代数の任意の元に乗じると、その部分空間の元が得られるという性質を持つ線型部分空間である。記号で表現すると、 $K$ 代数 $A$ の部分集合 $L$ が左イデアルであるとは、 $L$ の任意の $x$ と $y$ 、 $A$ の任意の $z$ 、 $K$ の任意の $c$ に対して、次の3つの命題が成り立つことを言う。

$x + yは$ $L$ に含まれます（ $L$ は加法に関して閉じています）、
$cxは$ $L$ に属す（ $L$ はスカラー乗算に関して閉じている）、
$z \cdot xは$ $L$ に存在します( $L$ は任意の元による左乗算に対して閉じています)。

$(3) をx \cdot zが$ $L$ に含まれると置き換えると、右イデアルが定義されます。両側イデアルとは、左イデアルと右イデアルの両方である部分集合です。「イデアル」という用語自体は、通常、両側イデアルを意味します。もちろん、代数が可換である場合、これらのイデアルの概念はすべて同値です。条件 (1) と (2) を合わせると、 $L が$ $A$ の線型部分空間であることと同値になります。条件 (3) から、すべての左イデアルまたは右イデアルは部分代数であることが分かります。

この定義は環のイデアルの定義とは異なり、条件(2)が求められる。もちろん、代数がユニタルであれば、条件(3)は条件(2)を意味する。

スカラーの拡張

体拡大 $F / K$ 、つまり $K$ を含むより大きな体 $F$ がある場合、 $K$ 上の任意の代数から $F$ 上の代数を自然に構成することができます。これは、より大きな体上のベクトル空間を作成するのと同じ構成、つまりテンソル積 $V$ $F$ $:=$ $V$ $\otimes$ $K$ $Fです。したがって、$ $Aが$ $K$ 上の代数である場合、 $A$ $F$ $はF$ 上の代数です。

代数の種類と例

体上の代数には様々な種類があります。これらの種類は、乗算の交換性や結合性といった、代数の広義の定義では必須ではない公理を付加することで規定されます。異なる種類の代数に対応する理論は、しばしば大きく異なります。

単位代数

代数は、代数内のすべての $xに対して$ $Ix$ $=$ $x$ $=$ $xI$ となる単位元または単位元 $I$ を持つ場合、単位元またはユニタリ元と呼ばれます。

ゼロ代数

代数中のすべての $u$ , $v$ に対して $uv$ $= 0 となる代数は$ 零代数と呼ばれる^[²^]。ただし、元が1つの代数と混同しないように注意すること。零代数は本質的に非単位元（元が1つの場合を除く）、結合法則、可換法則を持つ。

単位零代数は、体 $K$ と $K$ ベクトル空間 $V$ の直和 $K \oplus V$ であり、ベクトル空間 (またはモジュール) 上で零となる唯一の乗算を備え、単位代数になります。

より正確には、代数のすべての元は k ∈ K かつ v ∈ V として k + v と一意に表すことができ $、$ $その$ $積$ は $V$ $の$ $任意$ の $v と w$ $に対して$ vw = $0$ と $なる$ $唯一$ $の$ 双線型演算である。したがって、 $k$ $1$ $,$ $k$ $2$ $\in$ $K$ かつ $v$ $1$ $,$ $v$ $2$ $\in$ $V$ ならば、 $(k_{1}+v_{1})(k_{2}+v_{2})=k_{1}k_{2}+(k_{1}v_{2}+k_{2}v_{1})。$

単位零代数の古典的な例としては、双対数の代数、すなわち 1 次元の実ベクトル空間から構築された単位零 $R代数があります。$

この定義は、「体」と「ベクトル空間」を「可換環」と「モジュール」に置き換えて、可換環上の単位零代数の定義にそのまま拡張されます。

単位零代数は、与えられた加群の部分加群の理論と単位代数のイデアルの理論の統一を可能にする。実際、加群 $Vの部分加群は、$ $V$ に含まれる $K \oplus V$ のイデアルと正確に一致する。

例えば、グレブナー基底の理論は、体上の多項式環 $R$ $=$ $K$ $[$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $]の$ イデアルに対して、ブルーノ・ブッフベルガーによって導入されました。自由 $R$ 加群上の単位零代数の構成により、この理論を自由加群の部分加群に対するグレブナー基底理論として拡張することが可能になります。この拡張により、部分加群のグレブナー基底を計算する際に、イデアルのグレブナー基底を計算するための任意のアルゴリズムとソフトウェアを、変更を加えることなく使用することができます。

同様に、単位零代数により、イデアルの元のラスカー・ノイザー定理から（可換環上の）モジュールのラスカー・ノイザー定理を直接的に演繹することができます。

結合代数

結合代数の例としては

体（または可換環） $K上のすべての$ $n$ 行 $n$ 列行列の代数。ここでの乗算は通常の行列乗算である。
群代数では、群はベクトル空間の基底として機能し、代数の乗算は群の乗算を拡張します。
$K$ 上のすべての多項式の可換代数 $K [x]$ （多項式環を参照）。
関数の代数、例えば区間 $[0, 1]$ 上で定義される実数値連続関数全体の $R$ 代数や、複素平面上のある固定された開集合上で定義される正則関数全体の $C$ 代数など。これらも可換である。
接続代数は、特定の半順序集合に基づいて構築されます。
線形作用素の代数、例えばヒルベルト空間上の代数。ここでは、代数の乗法は作用素の合成によって与えられる。これらの代数は位相も持ち、その多くは基底バナッハ空間上で定義され、それによってバナッハ代数となる。さらに反転が与えられれば、B*-代数とC*-代数が得られる。これらは関数解析で研究される。

非結合代数

体 $K$ 上の非結合的代数[ ^{3 ] （}または分配代数）は、 $K$ ベクトル空間Aに $K$ 双線型写像 $A$ $\times$ $A$ $\to$ $A$ が備わったものである。ここでの「非結合的」という語は、結合性が仮定されていないことを示しているが、結合性が禁じられているわけではない、つまり「必ずしも結合的ではない」という意味である。

メイン記事で詳しく説明されている例は次のとおりです。

代数と環

$単位元を持つ結合的K-$ 代数の定義は、しばしば別の方法で与えられる。この場合、体 $K$ 上の代数は環 $A$ と環準同型性を持つ。

\eta \colon K\to Z(A),

ここで、 $Z (A)は$ $A$ の中心である。η は環準同型なので $、$ $A$ が零環であるか、 $η$ が単射であるかのいずれかとなる。この定義は、スカラー乗法を用いた上記の定義と等価である。

K\times A\to A

与えられた

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

このような結合的単位 $K$ 代数 $A$ と $B$ が与えられたとき、単位 $K$ 代数準同型 $f : A \to Bは、$ $η$ によって定義されるスカラー乗法と可換な環準同型であり、次のように書くことができる。

f(ka)=kf(a)

$すべてのk \in K$ および $a \in A$ に対して成立する。言い換えれば、次の図は可換である。

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

構造係数

体上の代数においては、 $A \times Aから$ $A$ への双線型乗算は、 $A$ の基底元の乗算によって完全に決定される。逆に、 $A$ の基底が一旦選ばれれば、基底元の積は任意に設定でき、その後、一意に $A$ 上の双線型作用素、すなわちへと拡張することができる。したがって、結果として得られる乗算は代数法則を満たす。

したがって、体 $K$ が与えられれば、任意の有限次元代数は、その次元（例えば $n$ ）と、スカラーである $n$ $3 個$ の構造係数 $c$ $i$ $,$ $j$ $,$ $k$ を指定することにより、同型性まで指定できる。これらの構造係数は、以下の規則に従って $A$ における乗算を決定する。

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

ここで $、e 1$ 、...、 $e n は$ $A$ の基底を形成します。

ただし、構造係数の複数の異なるセットによって同型代数が生じる可能性があることに注意してください。

数理物理学では、構造係数は一般に、座標変換における変換特性を区別するために、上付き添字と下付き添字で表記される。具体的には、下付き添字は共変添字であり、引き戻しによって変換されるのに対し、上付き添字は反変添字であり、押し出しによって変換される。したがって、構造係数はしばしば $c i, j k$ と表記され、その定義則はアインシュタイン記法を用いて次のように表される。

e i e j = c i 、 j k e k

。

これをインデックス表記のベクトルに適用すると、次のようになります。

（ xy ） k = c i 、 j k x i y j

。

$K$ が可換環のみで体でない場合、 $A$ が $K$ 上の自由加群であれば同じ処理が行えます。そうでない場合も、乗算は $A$ を張る集合への作用によって完全に決定されます。ただし、この場合、構造定数を任意に指定することはできず、構造定数のみを知っていても同型性までの代数を特定することはできません。

複素数上の低次元単位結合代数の分類

複素数体上の2次元、3次元、4次元の単位結合代数は、エドゥアルト・スタディによって同型性に至るまで完全に分類された。^{[ 4 ]}

このような2次元代数は2つ存在する。それぞれの代数は、2つの基底元 $1$ （単位元）と $aの$ （複素係数を持つ）線型結合から構成される。単位元の定義によれば、

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

指定する必要がある

\textstyle aa=1

最初の代数については、

\textstyle aa=0

2番目の代数について。

このような3次元代数は5つ存在する。それぞれの代数は、3つの基底元 $1$ （単位元）、 $a$ 、 $b$ の線型結合から構成される。単位元の定義を考慮すると、次のように定義すれば十分である。

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

最初の代数については、

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

2番目の代数については、

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

3番目の代数については、

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

4番目の代数については、

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

5番目の代数について。

これらの代数のうち 4 番目は非可換であり、その他は可換です。

一般化: 環上の代数

可換環論などの数学の分野では、より一般的な環上の代数の概念を考えることが一般的であり、この場合、可換環 $R は$ 体 $K$ に置き換えられます。定義が変わるのは、 $Aが$ $K$ ベクトル空間ではなく $R$ 加群であると仮定される点のみです。

環上の結合代数

環 $A$ は常にその中心上、および整数上の結合的代数となる。その中心上の代数の古典的な例としては、分割双四元数代数がある。これは、2つの四元数代数の直積である $H$ $\times$ $H$ と同型である。この環の中心は $R$ $\times$ $R$ であるため、環は中心上の代数（体ではない）の構造を持つ。分割双四元数代数は、自然に8次元 $R$ 代数でもあることに注意されたい。

可換代数において、 $A$ が可換環であれば、任意の単位環準同型 $R \to A は$ $A$ 上の $R$ 加群構造を定義し、これは $R$ 代数構造として知られている。^[⁵^] $そのため、環は自然なZ$ 加群構造を伴う。なぜなら、 $Z$ $\to$ $A$ という準同型を唯一つ取ることができるからである。^[⁶^]一方、すべての環に体上の代数構造を与えることができるわけではない（例えば整数）。すべての環に体上の代数のように振舞う構造を与えようとする試みについては、 1元体を参照のこと。

参照

注記

^ Hazewinkel、Gubareni & Kirichenko 2004、p. も参照。 3命題 1.1.1
^ Prolla, João B. (2011) [1977]. 「補題4.10」 .ベクトル値関数の近似. エルゼビア. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3。
^シェーファー、リチャード・D. (1996). 『非結合代数入門』クーリエ社. ISBN 0-486-68813-5。
^研究、E. (1890)、「Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen」、Monatshefte für Mathematik、1 (1): 283–354、doi : 10.1007/BF01692479、S2CID 121426669
^松村秀 (1989).可換環論. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第8巻. Reid, M. 訳 (第2版). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6。
^クンツ、エルンスト (1985).可換代数と代数幾何学入門. ビルクハウザー. ISBN 0-8176-3065-1。

参考文献

Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、ウラジミール V. (2004)。代数、環、加群。 Vol. 1.スプリンガー。ISBN 1-4020-2690-0。

[1] Hazewinkel、Gubareni & Kirichenko 2004、p. も参照。 3命題 1.1.1

[2] Prolla, João B. (2011) [1977]. 「補題4.10」 .ベクトル値関数の近似. エルゼビア. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3。

[Schafer-3] シェーファー、リチャード・D. (1996). 『非結合代数入門』クーリエ社. ISBN 0-486-68813-5。

[4] 研究、E. (1890)、「Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen」、Monatshefte für Mathematik、1 (1): 283–354、doi : 10.1007/BF01692479、S2CID 121426669

[5] 松村秀 (1989).可換環論. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第8巻. Reid, M. 訳 (第2版). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6。

[6] クンツ、エルンスト (1985).可換代数と代数幾何学入門. ビルクハウザー. ISBN 0-8176-3065-1。

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3 ] （

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