代数的独立性

抽象代数において、体の部分集合が部分体上で代数的に独立であるとは、体の元が係数を持つ非自明な多項式方程式を満たさないことを意味する ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

特に、一元集合が上で代数的に独立である場合、かつ が上で超越的である場合に限ります。一般に、上の代数的に独立な集合のすべての元は、上で必然的に超越的であり、の残りの元によって生成される 上のすべての体拡大上でも超越的です。 ${\displaystyle \{\alpha \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

例

実数とは超越数である。つまり、係数が有理数であるような非自明な多項式の根ではない。したがって、集合と はどちらも有理数に関して代数的に独立である。 ${\displaystyle {\sqrt {\pi}}}$ ${\displaystyle 2\pi +1}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$ ${\displaystyle \{2\pi +1\}}$

しかし、この集合は有理数上では代数的に独立ではない。なぜなら、非自明な多項式 ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi}},2\pi +1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

およびのとき、 はゼロになります。 ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle y=2\pi +1}$

既知の定数の代数的独立性

πとeは超越数であるが、が に対して代数的に独立であるかどうかはわかっていない。^{[ 1 ]}実際には、が無理数であるかどうかさえわかっていない。^{[ 2 ]}ネステレンコは1996年に次のことを証明した。 ${\displaystyle \{\pi ,e\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi +e}$

• 、、および（ガンマ関数）は、上で代数的に独立である。^{[ 3 ]}${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 数、および は代数的に独立である${\displaystyle \pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• 全ての正の整数nに対して、数と数は^{[ 4 ]}で代数的に独立である。${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

結果と未解決の問題

リンデマン・ワイエルシュトラスの定理は、いくつかの集合が 上で代数的に独立であることを証明するためによく用いられます。これは、が上で線型独立な代数的数であるとき、も 上で代数的に独立であるということを述べています。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle e^{\alpha_{1}},\ldots,e^{\alpha_{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

シャヌエル予想は、 πやeを含む多くの数の代数的独立性を証明するが、未だ証明されていない。

を 上で線型独立な任意の複素数集合とする。体拡大は上で少なくとも超越次数を持つ。${\displaystyle \{z_{1},...,z_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb{Q} (z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

代数的マトロイド

代数的ではない体拡大 が与えられた場合、ツォルンの補題を用いて、上の の極大代数的独立部分集合が常に存在することを示すことができます。さらに、すべての極大代数的独立部分集合は同じ濃度 を持ち、これは拡大の 超越次数として知られています${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

の任意の有限要素集合 に対して、 の代数的に独立な部分集合は、マトロイドの独立集合を定義する公理を満たす。このマトロイドにおいて、要素集合の階数はその超越次数であり、要素集合によって生成される平坦部は体 と の交差である。このようにして生成されるマトロイドは代数マトロイドと呼ばれる。代数マトロイドの適切な特徴づけは知られていないが、ある種のマトロイドは非代数的であることが知られている。最小のものはヴァーモスマトロイドである。^{[ 5 ]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K[T]}$

多くの有限マトロイドは、体上の行列で表現できます。この場合、マトロイド要素は行列の列に対応し、対応する列の集合が線形独立であれば、要素の集合は独立です。このタイプの線形表現を持つマトロイドはすべて、行列の各行に不定値を選択し、各列内の行列係数を使用して各マトロイド要素にこれらの超越量の線形結合を割り当てることで、代数マトロイドとして表現できます。逆は偽です。すべての代数マトロイドが線形表現を持つわけではありません。^{[ 6 ]}${\displaystyle K}$

参照

• 線形独立性
• 超越数
• リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理
• シャヌエル予想

参考文献

1. パトリック・モランディ (1996).体とガロア理論. シュプリンガー. p. 174. ISBN 978-0-387-94753-22008年4月11日閲覧
2. グリーン、ベン（2008）「III.41 無理数と超越数」、ガワーズ、ティモシー（編）『プリンストン数学コンパニオン』、プリンストン大学出版、222ページ
3. マニン, Yu. I. ; パンチシュキン, AA (2007).現代数論入門. 数学百科事典. 第49巻（第2版）. p. 61. ISBN 978-3-540-20364-3 . ISSN  0938-0396 . Zbl  1079.11002
4. ネステレンコ、ユーリ 5 世(1996)。 「モジュラー関数と超越問題」。Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、Série I。322 (10): 909–914。
5. イングルトン, AW; メイン, RA (1975)、「非代数的マトロイドの存在」、ロンドン数学会誌、7 (2): 144– 146、doi : 10.1112/blms/7.2.144、MR 0369110 .
6. Joshi, KD (1997)、「応用離散構造」、ニューエイジインターナショナル、p.909、ISBN 9788122408263.

外部リンク

• チェン、ジョニー. 「代数的に独立」 . MathWorld