非可換環

数学において、非可換環とは、その乗法が可換でない環、すなわち環内にaとb が存在し、 abとbaが異なる環のことである。同様に、非可換環とは、可換環ではない環のことである。

非可換代数は、可換環にも適用される性質を含む、非可換環の性質の研究に特化した 環論の一部です。

必ずしも可換ではない、したがって可換である可能性のある、不特定の環を指すために、環の代わりに非可換環という用語が用いられることがあります。一般的に、これは研究対象の性質が可換環に限定されないことを強調するためであり、多くの文脈において、環は可換環の略語として用いられます。

著者によっては環が乗法単位元を持つことを想定していない人もいますが、この記事では特に断りのない限りその想定をします。

例

非可換環の例:

• 実数上のn行n列の行列環（n > 1）
• ハミルトンの四元数
• アーベル群ではない群から構成される任意の群環

一般的には可換ではない環の例（ただし単純な場合には可換となる場合もある）:

• 有限集合によって生成される自由環 。2つの等しくない要素の例である。${\displaystyle \mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$ ${\displaystyle 2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}}$
• ワイル代数 は 、アフィン空間上で定義された多項式微分作用素の環である。例えば は、イデアルが交換子に対応する。${\displaystyle A_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)}$
• 商環は量子平面と呼ばれ、${\displaystyle \mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})}$ ${\displaystyle q_{ij}\in \mathbb {C} }$
• 任意のクリフォード代数は、代数表現を用いて明示的に記述することができる。二次形式 を持つn次元の-ベクトル空間が与えられたとき、関連するクリフォード代数は の任意の基底に対して、表現を持つ。${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q:V\otimes V\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i},e_{j}))}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle V}$
• 超代数は非可換環のもう一つの例であり、次のように表される。${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})}$
• 有限な非可換環が存在する。例えば、有限体上のn行n列の行列（ n > 1 ）などである。最小の非可換環は、体上の2元上三角行列の環である。この環は8元を持ち、8元を持つすべての非可換環は、この環またはその逆環と同型である。^{[ 1 ]}

歴史

幾何学から生じた可換環に端を発する非可換環の研究は、現代代数学の主要分野へと発展しました。非可換環の理論と解説は、19世紀と20世紀に多くの研究者によって拡張・洗練されました。その貢献者の不完全なリストとしては、E. Artin、Richard Brauer、P.M. Cohn、WR Hamilton、IN Herstein、N. Jacobson、K. Morita、E. Noether、Ø. Ore、J. Wedderburnなどが挙げられます。

可換代数と非可換代数の違い

科学的に興味深い非可換環は可換環よりも複雑であるため、その構造、特性、挙動は十分に理解されていません。可換環のいくつかの結果を非可換環に一般化する研究は数多く行われてきました。可換環と非可換環の大きな違いは、右イデアルと左イデアルを別々に考慮する必要があることです。非可換環論者は、これらのタイプのイデアルの一方に条件を課し、反対側にはその条件が成立することを要求しないことがよくあります。可換環には、左と右の区別はありません。

重要なクラス

分割リング

除算環（しゃくりょうかん、英: division ring）は、非零元aが乗法逆元を持つ非零環^{[ 2 ]}であり、つまりa · x = x · a = 1を満たす元xが存在する環である。言い換えれば、環が除算環であるための必要十分条件は、その単位群がすべての非零元の集合となることである。

除算環は、その乗法が可換である必要がないという点においてのみ体と異なります。しかし、ウェダーバーンの小定理によれば、すべての有限除算環は可換であり、したがって有限体です。歴史的には、除算環は体と呼ばれることがあり、体は「可換体」と呼ばれていました。

半単純リング

単位元を持つ（必ずしも可換ではない）環上のモジュールは、単純（既約）なサブモジュールの直和である場合、半単純（または完全既約）であると言われます。

環が（左）半単純であるとは、それ自身の左加群として半単純であることを意味する。驚くべきことに、左半単純環は右半単純でもあり、その逆もまた真である。したがって、左/右の区別は不要である。

半原始リング

半原始環、ヤコブソン半単純環、またはJ-半単純環は、ヤコブソン根号が0である環です。これは半単純環よりも一般的な環の一種ですが、単純な加群によって環に関する十分な情報が得られます。整数環などの環は半原始環であり、アルティン半原始環は単なる半単純環です。半原始環は、ヤコブソン密度定理によって記述される原始環の部分直積として理解できます。

シンプルなリング

単純環とは、零イデアルとそれ自身以外に両側イデアルを持たない零でない環である。単純環は常に単純代数とみなすことができる。環としては単純だが加群としては単純ではない環も存在する。体上の完全行列環には非自明なイデアルは存在しない（M( n , R )の任意のイデアルはM( n , I )の形をとり、 IはRのイデアルであるため）。しかし、非自明な左イデアル（つまり、固定された零列を持つ行列の集合）は存在する。

アルティン・ウェダーバーン定理によれば、左アルティン的または右アルティン的であるすべての単純環は、分環上の行列環である。特に、実数上の有限次元ベクトル空間となる単純環は、実数、複素数、または四元数上の行列環のみである。

環を極大イデアルで割った任意の商は単純環である。特に、体は単純環である。環Rが単純であることと、その反対環R ^oが単純であることは同値である。

分割環上の行列環ではない単純環の例としては、ワイル代数があります。

重要な定理

ウェダーバーンの小定理

ウェダーバーンの小定理は、すべての有限整域は体であるということを述べています。言い換えれば、有限環については、整域、整環、体の間に区別はありません。

アルティン・ツォルンの定理は、定理を交代環に一般化したもので、すべての有限単純交代環は体である。^{[ 3 ]}

アルティン・ウェダーバーン定理

アルティン・ウェダーバーン定理は、半単純環と半単純代数の分類定理である。この定理は、（アルティン）^{[ 4 ]}半単純環Rは、ある整数n _iに対して、有限個のn i _× n i_行列環の分環D _i上の積に同型であり、どちらの分環も添え字iの順列を除いて一意に定まることを述べている。特に、任意の単純左または右アルティン環は、nとDが一意に定まる分環D上のn × n行列環に同型である。 ^{[ 5 ]}

直接的な系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は、有限次元の分環（単純代数）上の単純環はすべて行列環となることを意味する。これはジョセフ・ウェダーバーンの最初の結果である。 エミール・アルティンは後にこれをアルティン環の場合に一般化した。

ヤコブソン密度定理

ヤコブソン密度定理は環R上の単純加群に関する定理である。^{[ 6 ]}

この定理は、任意の原始環がベクトル空間の線型変換環の「稠密」部分環として見ることができることを示すために適用できます。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}この定理が文献に初めて登場したのは、1945 年にネイサン・ジェイコブソンの有名な論文「有限性仮定のない単純環の構造理論」です。^{[ 9 ]}これは、単純アルティン環の構造に関するアルティン-ウェダーバーンの定理の結論の一種の一般化として見ることができます。

より正式には、この定理は次のように述べることができます。

ヤコブソン密度定理。Uを単純右R加群、D = End( U _R )、X ⊂ Uを有限かつD -線型独立集合とする。AがU上のD -線型変換であるとき、 Xの任意のxに対してA ( x ) = x · rとなるようなr ∈ Rが存在する。^{[ 10 ]}

中山の補題

J( R )をRのヤコブソン根基とする。Uが環R上の右加群であり、I がRの右イデアルであるとき、U · Iをu · iの形式をとる元の（有限）和全体の集合と定義する。ここで·は単にRのUへの作用である。必然的に、U · IはUの部分加群となる。

VがUの最大部分加群であれば、U / Vは単純である。したがって、 J( R )の定義と、U / Vが単純であるという事実により、 U ·J( R ) は必然的にVのサブセットとなる。^{[ 11 ]}したがって、U に少なくとも 1 つの（適切な）最大部分加群が含まれる場合、U ·J( R ) はUの適切な部分加群となる。しかし、これはR上の任意の加群Uに対して成立する必要はない。なぜなら、 U は最大部分加群を含む必要がないからである。^{[ 12 ]}当然、Uがネーター加群であれば、これは成立する。Rがネーターであり、U が有限生成であれば、UはR上のネーター加群となり、結論は満たされる。^{[ 13 ]}いくぶん注目すべきは、より弱い仮定、すなわち、UがR加群として有限生成であること（およびRに対する有限性仮定がない）が、結論を保証するのに十分であるということこれは本質的には中山の補題の主張である。^{[ 14 ]}

具体的には次のようになります。

中山の補題：Uを環R上の有限生成右加群とする。Uが非零加群ならば、 U · J( R )はUの真部分加群である。^{[ 14 ]}

この補題の別のバージョンは、非可換ユニタリ環R上の右加群に対しても成立する。この定理は、ヤコブソン・アズマヤ定理と呼ばれることもある。^{[ 15 ]}

非可換局所化

局所化は環に乗法逆を加える体系的な方法で、通常は可換環に適用されます。環Rと部分集合Sが与えられたとき、 Sの像がR * の単位（可逆な元）で構成されるような環R * とRからR *への環準同型を構築したいとします。さらに、R * がこれを行うための「最善」または「最も一般的な」方法であることが望まれます。通常のやり方では、これは普遍的性質によって表現されるはずです。 RのSによる局所化は通常S  ⁻¹ Rと表されますが、重要な特殊な場合には他の表記法が使用されます。S が整域の非ゼロ元の集合である場合、局所化は分数の体であるため、通常は Frac( R ) と表されます。

非可換環の局所化はより困難である。局所化は、すべての見込み単位の集合Sに対して存在するわけではない。局所化が存在することを保証する条件の一つは、Ore条件である。

非可換環において局所化が明確な関心を引く例の一つは、微分作用素環である。局所化は、例えば、微分作用素Dに対して形式的な逆元D ^{−1を付加するという解釈を持つ。これは}微分方程式の解法において多くの文脈で行われている。現在、これに関する大規模な数学理論「ミクロ局所化」が存在し、他の多くの分野と関連している。「ミクロ」というタグは、特に フーリエ理論との関連に関係している。

森田等価性

森田同値性は、環論的性質の多くを保存する環間に定義される関係です。1958年に同値性と双対性の概念を定義した日本の数学者、森田喜一にちなんで名付けられました。

二つの環RとS (結合的、1 を満たす) は、R上の (左) 加群の圏、R-Modと、 S上の (左) 加群の圏、 S-Modとの間に同値が存在するとき、(森田)同値であるという。左加群の圏R-ModとS-Mod が同値であることは、右加群の圏Mod-RとMod-Sが同値であることと同値であることに等しい。さらに、同値となるR-ModからS-Modへの任意の関数は自動的に加法的であることが示される。

ブラウアーグループ

体Kの Brauer 群は、その元がK上有限階数の中心単純代数の森田同値類であり、加法が代数のテンソル積によって誘導されるようなアーベル群である。これは体上の除算代数を分類する試みから生まれ、代数学者Richard Brauerにちなんで名付けられた。この群はガロアコホモロジーによって定義することもできる。より一般的には、スキームの Brauer 群はAzumaya 代数によって定義される。

鉱石の状態

オーレ条件は、オイステイン・オーレによって導入された条件であり、可換環を越えて分数体の構成、あるいはより一般的には環の局所化を拡張する問題に関連している。環Rの乗法部分集合Sに対する右オーレ条件は、 a∈Rおよびs∈Sに対して、交わりaS∩sR ≠∅が成立するという条件である。^{[ 16 ]}右オーレ条件を満たす領域は右オーレ領域と呼ばれる。左の場合も同様に定義される。

ゴールディの定理

数学において、ゴールディの定理は環論における基本的な構造的帰結であり、1950年代にアルフレッド・ゴールディによって証明されました。現在、右ゴールディ環と呼ばれるものは、有限一様次元（ 「有限階数」とも呼ばれる）を自身の右加群として持ち、Rの部分集合の右消滅子に関する昇順連鎖条件を満たす環 R です。

ゴールディの定理は、半素右ゴールディ環は、まさに半単純アルティン右古典商環を持つものであることを述べています。この商環の構造は、アルティン・ウェダーバーン定理によって完全に決定されます。

特に、ゴールディの定理は半素右ノイザン環に適用される。なぜなら、定義により右ノイザン環はすべての右イデアルに対して昇順連鎖条件を満たすからである。これは、右ノイザン環が右ゴールディであることを保証するのに十分である。逆は成立しない。すべての右オーレ整域は右ゴールディ整域であり、したがってすべての可換整域も右ゴールディ整域である。

ゴールディの定理の帰結として、これもまたゴールディによるものであるが、任意の半素主右イデアル環は素主右イデアル環の有限直和に同型である。任意の素主右イデアル環は、右オーレ整域上の行列環に同型である。

参照

• 導出代数幾何学
• 非可換幾何学
• 非可換代数幾何学
• 非可換調和解析
• 表現論（群論）

注記

1. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A127708 (1 を持つ非可換環の数)」 .オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
2. この記事では、リングは1です。
3. Shult, Ernest E. (2011).点と線. 古典幾何学の特徴. Universitext. ベルリン: Springer-Verlag . p. 123. ISBN 978-3-642-15626-7. Zbl  1213.51001 .
4. 半単純環は必然的にアルティン環となる。一部の研究者は「半単純」を、環が自明なヤコブソン根基を持つという意味で用いる。アルティン環の場合、この2つの概念は同義であるため、ここでは曖昧さを排除するために「アルティン環」を用いている。
5. John A. Beachy (1999). 『環と加群入門講義』 ケンブリッジ大学出版局. p.  156. ISBN 978-0-521-64407-5。
6. アイザックス、184ページ
7. このような線型変換の環は完全線型環とも呼ばれる。
8. アイザックス、系13.16、187ページ
9. ジェイコブソン 1945
10. アイザックス、定理 13.14、p. 185
11. アイザックス 1993、182ページ
12. アイザックス 1993、183ページ
13. アイザックス 1993、定理12.19、p. 172
14. アイザックス 1993、定理13.11、p. 183
15. 永田 1962 , §A2
16. Cohn, PM (1991). 「第9章 第1節」.代数学第3巻（第2版）. p. 351.

参考文献

• アイザックス、I.マーティン（1993）、代数学、大学院課程（第1版）、ブルックス/コール、ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, N. (1945)、「有限性仮定のない単純環の構造理論」、アメリカ数学会誌、57 (2): 228– 245、doi : 10.2307/1990204、JSTOR  1990204
• 永田正之（1962）「Local Rings」、Wiley-Interscience

さらに読む

• ハースタイン、IN（1968）、非可換環、アメリカ数学会、ISBN 0-88385-015-X
• ラム、TY（2001）、非可換環入門、シュプリンガー・フェアラーク