エルミート多様体

数学、より具体的には微分幾何学 において、エルミート多様体はリーマン多様体の複素類似体です。より正確には、エルミート多様体は、各（正則）接空間上で滑らかに変化するエルミート内積を持つ複素多様体です。また、エルミート多様体は、 複素構造を保存するリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできます

複素構造は本質的に、積分可能条件を満たす概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（U(n)構造）をもたらす。この条件を捨てることで、概エルミート多様体が得られる。

任意の概エルミート多様体上に、選択された計量と概複素構造のみに依存する基本2次元形式（またはコシンプレクティック構造）を導入できます。この形式は常に非退化です。この形式が閉じている（すなわちシンプレクティック形式である）という追加の積分可能条件を加えると、概ケーラー構造が得られます。概複素構造と基本形式の両方が積分可能である場合、ケーラー構造が得られます。

正式な定義

滑らかな多様体上の複素ベクトル束上のエルミート計量は、各ファイバー上の滑らかに変化する正定値エルミート形式である。 ^{[ 1 ]}このような計量は、ベクトル束の滑らかな大域切断と見なすことができ、内の任意の点に対して、ファイバー内のすべての に対して、 内のすべて の 非零に対して となる ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (E\otimes {\overline {E}})^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\eta ,{\bar {\zeta }}\right)}}={\overline {h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\eta }}\right)}}}}}$$ ${\displaystyle \zeta}$ ${\displaystyle \eta}$ ${\displaystyle E_{p}}$ $${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)}}>0}$$ ${\displaystyle \zeta}$ ${\displaystyle E_{p}}$

エルミート多様体とは、その正則接束上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体とは、その正則接束上にエルミート計量を持つ 概複素多様体である。

エルミート多様体では、計量は局所正則座標で と表すことができます。 ここで、は正定値エルミート行列の成分です。 ${\displaystyle (z^{\alpha })}$ $${\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }}$$ ${\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}}$

リーマン計量とそれに伴う形式

（ほぼ）複素多様体M上のエルミート計量hは、その基となる滑らかな多様体上のリーマン計量gを定義する。計量gはhの実部として定義される。 $${\displaystyle g={1 \over 2}\left(h+{\bar {h}}\right).}$$

gはTM ^C上の対称双線型形式、すなわち複素接束である。gはその共役に等しいので、TM上の実形式の複素化である。gのTM上における対称性と正定値は、hの対応する性質から導かれる。局所正則座標において、計量gは次のように書ける。 $${\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,\left(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }\right).}$$

hには次数 (1,1) の複素微分形式 ω を関連付けることもできる。ω はhの虚数部を引いたものとして定義される。 $${\displaystyle \omega ={i \over 2}\left(h-{\bar {h}}\right).}$$

ωは共役なTM上の実形式の複素化である。ω は、随伴(1,1)形式、基本形式、エルミート形式など、様々な呼び方がある。局所正則座標において、ω は次 のように書ける。 $${\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta },}$$ ${\displaystyle dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }=dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }-d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }.}$

座標表現から、h、g、ωの3つの形式のいずれかが他の2つを一意に決定することが明らかである。リーマン計量gとそれに伴う(1,1)形式ωは 、すべての複素接ベクトルuとvに対して、概複素構造Jによって次のように 関連付けられる。エルミート計量h は、gとωから次の恒等式によって 復元できる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v)\\g(u,v)&=\omega (u,Jv)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle h=g-i\omega .}$$

h、g、ωの3つの形式はすべて、ほぼ複素構造Jを保存します。つまり、 すべての複素接ベクトルuとvに対してです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}}$$

（ほぼ）複素多様体M上のエルミート構造は、以下のどちらかで指定できる。

1. 上記のエルミート計量h 、
2. ほぼ複素構造Jを保存するリーマン計量g、または
3. Jを保存し、すべての非ゼロ実接ベクトルuに対してω ( u , Ju ) > 0 の意味で正定値である非退化2形式ω。

多くの著者がg自体をエルミート計量と呼んでいることに注意してください。

性質

すべての（ほぼ）複素多様体はエルミート計量を許容する。^{[ 2 ]}これは、リーマン計量についての同様の記述から直接導かれる。ほぼ複素多様体M上の任意のリーマン計量gが与えられれば、ほぼ複素構造Jと両立する新しい計量g ′を明白な方法で 構成することができる$${\displaystyle g'(u,v)={1 \over 2}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).}$$

概複素多様体M上のエルミート計量を選択することは、 M上のU( n )-構造を選択することと同値である。すなわち、Mの標構束の構造群をGL( n , C )からユニタリ群U( n ) に縮約する。概エルミート多様体上のユニタリ標構は、エルミート計量に関して直交する複素線型標構である。Mのユニタリ標構束は、すべてのユニタリ標構の主 U( n )-束である。

ほぼエルミート多様体M はいずれも標準体積形式を持ち、これはgによって決定されるリーマン体積形式そのものである。この形式は、付随する (1,1)-形式ωを用いて次のように与えられる。ここで 、ω ⁿはωとそれ自身とのn回の楔積である。したがって、この体積形式はM上の実 ( n , n )-形式となる。局所正則座標系において、この体積形式は次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)}$$ $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det \left(h_{\alpha {\bar {\beta }}}\right)\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \dotsb \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}.}$$

正則ベクトル束上のエルミート計量を考えることもできます。

ケーラー多様体

エルミート多様体の中で最も重要なクラスはケーラー多様体です。これらは、エルミート形式ωが閉じているエルミート多様体です。 この場合、形式ωはケーラー形式と呼ばれます。ケーラー形式はシンプレクティック形式であるため、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体です $${\displaystyle d\omega =0\,.}$$

付随する(1,1)-形式が閉じている概エルミート多様体は、当然のことながら概ケーラー多様体と呼ばれる。任意のシンプレクティック多様体は、適合する概複素構造を許容し、概ケーラー多様体となる。

積分可能性

ケーラー多様体は、積分可能性条件を満たすほぼエルミート多様体です。これはいくつかの同値な方法で述べることができます

( M , g , ω, J )を実次元2 nのほぼエルミート多様体とし、∇ をgのレヴィ・チヴィタ接続とする。以下はMがケーラーとなるための同値な条件である。

• ωは閉じており、 Jは積分可能である。
• ∇ J = 0 ,
• ∇ω = 0 ,
• ∇のホロノミー群はJに付随するユニタリ群U( n )に含まれる。

これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「 3 のうち 2 」の特性に対応します。

特に、Mがエルミート多様体である場合、条件dω = 0は、明らかにはるかに強い条件∇ ω = ∇ J = 0と同値となる。ケーラー理論の豊かさは、これらの性質に一部起因している。

文献

• グリフィス、フィリップ、ジョセフ・ハリス (1994) [1978].代数幾何学の原理. ワイリー・クラシックス・ライブラリー. ニューヨーク: ワイリー・インターサイエンス. ISBN 0-471-05059-8。
• 小林昭七、野水勝己 (1996) [1963].微分幾何学の基礎 第2巻. Wiley Classics Library. ニューヨーク: Wiley Interscience . ISBN 0-471-15732-5。
• 小平邦彦 (1986).複素多様体と複素構造の変形. 数学の古典. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 3-540-22614-1。
• ダニエル・ヒュイブレヒト（2004年11月18日）『複素幾何学：入門』 Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904。

参考文献

1. Huybrechts 04, 定義4.1.1
2. ハイブレヒト 04、命題 4.1.4