振幅減衰チャネル

量子通信理論において、振幅減衰チャネルとは、自然放出などの物理過程をモデル化した量子チャネルである。このチャネルが実現可能な自然な過程の一つはスピン鎖であり、時間に依存しないハミルトニアンで結合された複数のスピン状態を用いて、量子状態をある場所から別の場所へ送信することができる。結果として得られる量子チャネルは振幅減衰チャネルと同一であり、量子容量、古典容量、そしてエンタングルメント支援による古典容量を評価できる。

量子ビットチャネル

ここでは、単一量子ビットの場合の振幅減衰チャネルを検討します。

任意の量子チャネルは、複数の同等の方法で定義できます。たとえば、Stinespringの膨張定理により、チャネルは等長変換 によってとして表すことができ、この場合、は のStinespring表現であると言えます。^{[ 1 ]}特に、単一量子ビット振幅減衰チャネルのStinespring表現はで与えられます。別の同等の表現は、Kraus演算子によって与えられます。これは、 となる演算子の集合に対して、チャネルの作用を の形で表すことを意味します。振幅減衰チャネルの場合、そのような表現の1つの選択肢は で表されます。より明示的には、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\rho )=\operatorname {tr} _{2}[V\rho V^{\dagger }]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V|0\rangle =|0,0\rangle ,\qquad V|1\rangle ={\sqrt {1-p}}|0,1\rangle +{\sqrt {p}}|1,0\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=\sum _{j}K_{j}\rho K_{j}^{\dagger }}$$ ${\displaystyle K_{j}}$ ${\displaystyle \sum _{j}K_{j}^{\dagger }K_{j}=I}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=K_{0}\rho K_{0}^{\dagger }+K_{1}\rho K_{1}^{\dagger }}$$ $${\displaystyle K_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {1-p}}\end{pmatrix}},\qquad K_{1}={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {p}}\\0&0\end{pmatrix}}\;.}$$

${\displaystyle {\cal {N}}_{p}\left[{\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}\rho _{00}+p\rho _{11}&{\sqrt {1-p}}\rho _{01}\\{\sqrt {1-p}}\rho _{10}&(1-p)\rho _{11}\end{pmatrix}}\;.}$

スピン鎖量子チャネルのモデル

スピン チェーン相関に基づく量子チャネルの主な構成は、N 個の結合スピンのコレクションを持つことです。量子チャネルの両側には 2 つのスピン グループがあり、これらを量子レジスタ A および B と呼びます。メッセージは、メッセージの送信者がレジスタ A に何らかの情報をエンコードし、それをある時間 t にわたって伝播させた後、受信者が後でレジスタ B からそれを取得することによって送信されます。状態は、最初に A のスピンをチェーンの残りの部分のスピンから分離することによって A 上に準備されます。準備後、は、最初は状態 を持つチェーンの残りの部分の状態と相互作用できるようになります。時間の経過に伴うスピン チェーンの状態は、 によって記述できます。この関係から、チェーンの他のすべての状態をトレースすることにより、レジスタ B に属するスピンの状態を取得できます。 ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle R(t)=U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)}$

${\displaystyle \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]}$

これにより、以下のマッピングが得られます。これは、A の状態が量子チャネルを介して B に送信されるときに、時間の関数としてどのように変換されるかを示しています。U(t) は、システムの進化を時間の関数として説明する 単なるユニタリ行列です。

${\displaystyle \rho _{A}\rightarrow {\mathcal {M}}(\rho _{A})\equiv \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]}$

しかし、量子チャネルのこの記述にはいくつかの問題があります。このようなチャネルを使用する際の前提の一つは、チェーンの状態が乱されないと期待することです。チェーンを乱すことなくAに状態をエンコードすることは可能かもしれませんが、Bからの状態の読み取りは、スピンチェーンの残りの部分の状態に影響を与えます。したがって、レジスタAとBを繰り返し操作すると、量子チャネルに未知の影響が及ぶことになります。この事実を考慮すると、このマッピングの容量を解くことは、チェーンの複数のコピーが並列に動作している場合にのみ適用されるため、一般的には有用ではありません。これらの容量に意味のある値を計算するには、以下の単純なモデルを使用して、容量を正確に解くことができます。

解けるモデル

スピン鎖は、強磁性ハイゼンベルク相互作用を介して結合したスピン1/2の粒子の鎖で構成され、ハミルトニアンで記述されます。 ${\displaystyle H=-\sum _{\langle i,j\rangle }\hbar J_{ij}\left({\sigma }_{x}^{i}{\sigma }_{x}^{j}+{\sigma }_{y}^{i}{\sigma }_{y}^{j}+\gamma {\sigma }_{z}^{i}{\sigma }_{z}^{j}\right)-\sum _{i=1}^{N}\hbar B_{i}\sigma _{z}^{i}}$

入力レジスタAと出力レジスタBは、チェーンの最初のkスピンと最後のkスピンを占有し、チェーン上のすべてのスピンはz方向のスピンダウン状態になる準備ができていると仮定します。次に、各当事者はkスピン状態すべてを用いて、1つの量子ビットをエンコード/デコードします。この手法の目的は、もしすべてのkスピンを使用できるとするとk量子ビットチャネルとなり、完全に解析するには複雑すぎるためです。明らかに、より効率的なチャネルはすべてのkスピンを利用しますが、この非効率的な方法を用いることで、結果のマップを解析的に調べることができます。

利用可能な kビットを使用して 1 ビットのエンコードを実行するために、1 スピン アップ ベクトルが定義されます。このベクトルでは、j 番目のスピンのみがスピン アップ状態にあり、それ以外のすべてのスピンはスピン ダウン状態にあります。 ${\displaystyle |j\rangle }$

${\displaystyle |{j}\rangle \equiv \left|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \uparrow \downarrow \cdots \downarrow \right\rangle }$

送信者は次のように k 個の入力スピンのセットを準備します。

${\displaystyle |\Psi \rangle _{A}\equiv \alpha \left|\Downarrow \right\rangle _{A}+\beta |\phi _{1}\rangle _{A}}$

ここで、 はすべての位置がスピンダウン状態であり、 はすべての可能なスピンアップ状態の重ね合わせです。この入力を用いて、与えられた時刻tにおけるチェーン全体を記述する状態を見つけることができます。このような状態から、以前のモデルと同様に、レシーバーに属さないNk個のスピンをトレースすると、B上の状態は次のようになります。 ${\displaystyle \left|\Downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$

${\displaystyle \rho _{B}(t)=(|\alpha |^{2}+(1-\eta )|\beta |^{2})\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|+\eta |\beta |^{2}|\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha \beta ^{*}\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha ^{*}\beta |\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|}$

ここで、はチャネルの効率を定義する定数です。1つのスピンが上向きの状態を、すべてのスピンが下向きの状態をと表すと、これは振幅減衰チャネル を適用した結果として認識され、以下のクラウス演算子で特徴付けられます。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}}$

${\displaystyle A_{0}=|0\rangle \langle 0|+{\sqrt {\eta }}|1\rangle \langle 1|}$ ; ${\displaystyle A_{1}={\sqrt {1-\eta }}|0\rangle \langle 1|}$

明らかに、振幅減衰チャネルがスピン鎖を介した量子状態の伝達を記述するという事実は、系のハミルトニアンがエネルギーを保存するという事実に由来する。スピンアップ状態が鎖に沿って伝達されるにつれてエネルギーは拡散するが、ダウン状態にあるスピンが突然エネルギーを得てスピンアップ状態になることはあり得ない。

振幅減衰チャネルの容量

スピン鎖を振幅減衰チャネルとして記述することにより、チャネルに関連する様々な容量を計算することができます。これらの容量を求める際に用いられるこのチャネルの有用な特性の一つは、効率が と である2つの振幅減衰チャネルを連結できることです。このような連結により、効率が である新たなチャネルが得られます。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta '}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta '}$

量子容量

量子容量を計算するために、マップは次のように表されます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\eta }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\equiv {\mbox{Tr}}_{C}[V\left(\rho \otimes |0\rangle _{C}\langle 0|\right)V^{\dagger }]\;.}$

この写像の表現は、のヒルベルト空間に補助的なヒルベルト空間 を追加し、AとCに作用する演算子Vを導入することによって得られる。また、相補チャネル も定義され、ここではC上をトレースする代わりにA上をトレースする。AをCに変換するスワッピング演算Sが定義される。この演算と振幅減衰チャネルの連結規則を用いると、 に対して次式が成り立つことが示される。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }}$ ${\displaystyle \eta \geqslant 0.5}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }(\rho )=S{\mathcal {D}}_{(1-\eta )/\eta }\left({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\right)\;.}$

この関係は、チャネルが劣化可能であることを示し、チャネルの コヒーレント情報が加法的であることを保証します。これは、量子容量が単一のチャネル使用で達成されることを意味します。

振幅減衰マッピングは一般的な入力状態に適用され、このマッピングから出力の フォン ノイマン エントロピーは次のように求められます。

${\displaystyle S({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}\right)/2)\;,}$

ここで、状態とコヒーレンス項は共線性を表す。状態の純化を見ると、次のことがわかる。 ${\displaystyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\gamma |\leqslant {\sqrt {(1-p)p}}}$

${\displaystyle S(({\mathcal {D}}_{\eta }\otimes 1_{anc})(\Phi ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,(1-\eta )\,p)^{2}+4\,(1-\eta )\,|\gamma |^{2}}}\right)/2)}$

量子容量を最大化するために、エントロピーの凹性により、量子容量として次の値が得られることを選択します。 ${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle Q\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;}$

の量子容量を求めるのは簡単です。なぜなら、量子容量は複製禁止定理の直接的な結果として消滅するからです。このようにチャネルを構成できるという事実は、チャネルの量子容量が の関数として増加するはずであることを意味します。 ${\displaystyle \eta <0.5}$ ${\displaystyle \eta }$

エンタングルメント支援による古典的容量

エンタングルメント支援容量を計算するには、量子相互情報量を最大化する必要があります。これは、メッセージの入力エントロピーを前節で導出したコヒーレント情報量に加えることで求められます。これは再び に対して最大化されます。したがって、エンタングルメント支援古典容量は次のように求められます 。${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle C_{E}\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(p)+H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;}$

古典的な容量

ここで、並列チャネル使用において非エンタングル符号化によって伝送可能な古典情報の最大量であるC1を計算します。この量は、古典情報容量Cの下限値として機能します。C1を求めるには、n=1において古典情報容量を最大化します。確率がそれぞれ であるメッセージの集合を考えます。Holevo情報量は次のように求められます。 ${\displaystyle \xi _{k}}$

${\displaystyle \chi \equiv H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}}{2}}\right)-\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\;}$

この式では、および は、前に定義したように、母集団とコヒーレンス項であり、および は、これらの平均値です。 ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma }$

C1を求めるには、まずC1の上限を求め、次にこの上限を満たす の集合を求めます。前述と同様に、Holevo情報量の第1項を最大化するために、 は0に設定されます。ここで、バイナリエントロピーがに関して減少するという事実と、 がzに関して 凸であるという事実を用いて、次の不等式を求めます。${\displaystyle p_{k},\gamma _{k},\xi _{k}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H_{2}(z)}$ ${\displaystyle |1/2+z|}$ ${\displaystyle H_{2}(1+{\sqrt {1-z^{2}}}/2)}$

${\displaystyle \sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\geqslant H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )(\sum _{k}\xi _{k}p_{k})^{2}}}}{2}}\right)}$

p のすべての選択肢を最大化することで、C1 の上限は次のようになります。

${\displaystyle C_{1}\leqslant \max _{p\in [0,1]}{\Big \{}H_{2}\left(\eta \,p\right)-H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )\,p^{2}}}}{2}}\right){\Big \}}\;}$

この上限は C1 の値であることが判明しており、この上限を実現するパラメータは、、、です。 ${\displaystyle \xi _{k}=1/d\,\!}$ ${\displaystyle p_{k}=p\,\!}$ ${\displaystyle \gamma _{k}=e^{2\pi ik/d}{\sqrt {(1-p)p}}}$

容量の数値解析

様々な容量の式から、数値解析を行うことができます。1のとき、3つの容量は最大化され、量子容量と古典容量はともに1、エンタングルメント支援による古典容量は2となります。前述のように、0.5未満のとき量子容量は0ですが、0のとき古典容量とエンタングルメント支援による古典容量は0になります。0.5未満のとき、量子情報が受信側に送信されるには、環境への情報があまりにも多く失われます。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$

スピン鎖の量子通信チャネルとしての有効性

振幅減衰チャネルの容量をチャネル効率の関数として計算することで、そのようなチャネルの有効性を符号化サイトと復号化サイト間の距離の関数として分析することが可能になります。ボーズは、効率が の関数として低下することを実証しました。ここで、rは復号化の位置、sは符号化の位置です。量子容量が0.5未満でゼロになるという事実から、これは量子情報を伝送するためには送信者と受信者の間の距離が非常に短くなければならないことを意味します。したがって、長いスピン鎖は量子情報の伝送には適していません。 ${\displaystyle |r-s|^{-2/3}}$ ${\displaystyle \eta }$

注記

1. ワトラス, ジョン (2018-04-26). 『量子情報理論』（第1版）. ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/9781316848142 . ISBN 978-1-316-84814-2。

外部リンク

• Giovannetti, V.; Fazio, R. (2005). 「スピン鎖相関の情報容量記述」. Physical Review A. 71 ( 3) 032314. arXiv : quant-ph/0405110 . Bibcode : 2005PhRvA..71c2314G . doi : 10.1103/PhysRevA.71.032314 . S2CID  118903641 .
• Bose, S. (2003). 「非変調スピン鎖を介した量子通信」. Physical Review Letters . 91 (20) 207901. arXiv : quant-ph/0212041 . Bibcode : 2003PhRvL..91t7901B . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.207901 . PMID  14683398. S2CID  31739795 .
• マイケル・A・ニールセン、アイザック・L・チュアン、「量子計算と量子情報」
• ワイルド、マーク・M.（2017）、量子情報理論、ケンブリッジ大学出版局、arXiv：1106.1445、Bibcode：2011arXiv1106.1445W、doi：10.1017/9781316809976.001、S2CID  2515538