解析接続

数学の一分野である複素解析において、解析接続とは、与えられた解析関数の定義域を拡張する手法である。解析接続は、例えば、関数を当初定義した無限級数表現が発散するような新たな領域において、関数の更なる値を定義することにしばしば成功する。

しかしながら、段階的接続法は困難に直面する可能性がある。これらの困難は本質的に位相的な性質を持ち、矛盾（複数の値の定義）につながる可能性がある。あるいは、特異点の存在に関係している可能性もある。複素変数が複数ある場合は事情が異なり、特異点は必ずしも孤立点である必要はない。その研究は層コホモロジーの発展の大きな理由となった。

最初の議論

自然対数の解析接続（虚数部）

f が複素平面の空でない開部分集合U上で定義された解析関数であるとする。Vがのより大きな開部分集合でU を含み、FがV上で定義された解析関数であって、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

すると、Fはfの解析接続と呼ばれます。言い換えれば、FのUへの制限は、最初に考えた 関数fです。

解析接続は次の意味で一意である：Vが2つの解析関数F ₁とF _2の連結な定義域であり、UがVに含まれ、 Uに含まれるすべてのzに対して

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

それから

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

V全体にわたって が成り立つ。これは、F ₁  −  F _2がfの開連結領域U上では零となる解析関数であり、したがって f の領域全体でも零となるからである。これは正則関数の恒等定理から直接導かれる。

アプリケーション

複素解析で関数を定義する一般的な方法は、まず小さな領域でのみ関数を指定し、次に解析接続によって関数を拡張するというものです。

実際には、この接続は、まず小さな領域上で何らかの関数方程式を確立し、次にその方程式を用いて領域を拡張することによって行われることが多い。例としては、リーマンゼータ関数やガンマ関数が挙げられる。

普遍被覆の概念は、解析関数の解析接続の自然な定義域を定義するために最初に発展しました。関数の最大解析接続を見つけるという考えは、リーマン面の概念の発展につながりました。

解析接続は、リーマン多様体において、アインシュタイン方程式の解の文脈で用いられる。例えば、シュワルツシルト座標はクラスカル・シェケレス座標に解析接続することができる。^{[ 1 ]}

実例

U（1を中心とする）からV（a=(3+i)/2を中心とする）への解析接続

特定の解析関数 から始める。この場合、 はを中心とするべき級数で与えられる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=1}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}。}$$

コーシー・アダマールの定理によれば、その収束半径は1である。つまり、は定義されており、境界 を持つ開集合上で解析的である。実際、この級数は で発散する。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$ ${\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}$ ${\displaystyle z=0\in \partial U}$

それを知らないふりをして、別のポイントで冪級数を中心に戻すことに焦点を当てます。 ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle a\in U}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(za)^{k}.}$$

を計算し、この新しい冪級数がに含まれない開集合に収束するかどうかを判定します。収束する場合、よりも確実に大きい領域まで解析的に進むことになります。 ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle U}$

からまでの距離は です。を の周りの半径の円板とし、をその境界とします。すると となります。コーシーの微分公式を用いて新しい係数を計算すると、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$ ${\displaystyle 0<r<\rho }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}r^{m-k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(m-k)\theta }d\theta \\\end{aligned}}}$$

積分は のときは必ずゼロになる。したがって、和に影響を与えずに仮定することができ、${\displaystyle m\neq k}$ ${\displaystyle m=k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(1-a)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}}$$

最後の合計は等比級数のk次微分から得られ、次の式を与える。 $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

はの周りで収束半径を持ちます。と を選択した場合、 はの部分集合ではなく、 の面積は よりも大きくなります。プロットは の結果を示しています。${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle |a|>1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

このプロセスを続けることができます。 を選択し、 で冪級数を中央に置き、新しい冪級数が収束する場所を決定します。領域に に含まれない点が含まれている場合、さらに解析的に継続することができます。この特定の処理は、穴あき複素平面全体に解析的に継続できます。${\displaystyle b\in U\cup V}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

この特定のケースでは、連続する中心の虚部が正であるか負であるかにかかわらず、得られる の値は同一です。ただし、これは常に当てはまるとは限りません。特に、上記の関数の 不定積分である複素対数の場合は当てはまりません。${\displaystyle f(-1)}$

細菌の正式な定義

以下に定義される冪級数は、芽の概念によって一般化される。解析接続の一般理論とその一般化は、層理論として知られている。

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

円板D _r ( z ₀ )に収束するべき級数、r > 0で定義され、

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}}$ 。

ここでも以下でも、一般性を失うことなく、たとえrが∞であっても、常にそのような極大rが選ばれたと仮定する。また、これはある小さな開集合上に定義された解析関数から始めることと等価であることにも注意されたい。ベクトル

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

はfの芽である。gの基底g ₀はz ₀、gの幹は (α ₀ , α ₁ , α ₂ , ...)、gの頂点g ₁は α_{​​ 0である。} gの頂点はfのz ₀における値である。

任意のベクトルg = ( z ₀ , α ₀ , α ₁ , ...) は、収束半径r > 0 を持つz ₀の周りの解析関数のべき級数を表す場合、細菌です。したがって、細菌の集合について安全に話すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

細菌集合の位相

gとhを芽とする。もしr がgの収束半径であり、gとhで定義されるべき級数が2つの領域の共通部分で同一の関数を指定する場合、hは g によって生成される（またはgと両立する）といい、 g ≥ hと書きます。この両立条件は推移的でも対称的でも反対称的でもない。推移性によって関係を拡張すると対称関係が得られ、したがってこれは芽 上の同値関係でもある（順序付けではない）。推移性 によるこの拡張は解析接続の1つの定義である。同値関係は と表記される。 ${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$ ${\displaystyle \cong }$

上に位相を定義することができる。r > 0とし、 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

集合U _r ( g ) は、すべてのr > 0に対して、上の位相の開集合の基底を定義します。 ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

の連結成分（すなわち同値類）は層と呼ばれる。また、 によって定義される写像（rはgの収束半径）は図表であることにも留意されたい。このような図表の集合はの地図帳を形成し、したがって はリーマン面である。は普遍解析関数と呼ばれることもある。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

解析接続の例

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

はz = 1付近の自然対数に対応するべき級数である。このべき級数は胚芽に変換することができる。

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

この芽の収束半径は1なので、これに対応する層Sが存在します。これが対数関数の層です。

解析関数の一意性定理は、解析関数の層にも拡張されます。解析関数の層が零芽（つまり、層が近傍において一様に零である）を含む場合、層全体は零になります。この結果を踏まえると、上述のように対数関数の層Sの任意の芽gを取り、それを冪級数f ( z ) に変換すると、この関数は exp( f ( z )) = zという性質を持つことがわかります。逆関数定理の解析関数への適用を決めた場合、指数写像の多様な逆写像を構築できますが、それらはすべてSの何らかの芽によって表されることがわかります。その意味で、Sは指数写像の「唯一の真の逆写像」です。

古い文献では、解析関数の層は多価関数と呼ばれていました。一般的な概念については 層を参照してください。

自然境界

冪級数の収束半径がrで、その円板内部に解析関数fを定義すると仮定する。収束円上の点を考える。fが解析拡大を持つ近傍が存在するような点は正則であり、そうでない場合は特異である。円は、そのすべての点が特異である場合に自然境界となる。

より一般的には、 fが解析的である任意の開連結領域に定義を適用し、領域の境界の点を正則または特異として分類することができます。すべての点が特異であれば、領域境界は自然境界であり、その場合、領域は正則領域です。

例I: ゼロに自然境界を持つ関数（素数ゼータ関数）

いわゆるプライムゼータ関数を次のように 定義する。${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s):=\sum _{p\ {\text{ prime}}}p^{-s}.}$

この関数は、リーマンゼータ関数の総和形式に類似しており、これは と同じ総和関数であるが、すべての正の自然数について総和をとるのではなく、添え字が素数のみに制限されている点が異なる。素ゼータ関数は、 となるすべての複素数に解析接続を持ち、この事実は、 をリーマンゼータ関数の対数で表すことで次のように得られる。 ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)=\sum _{n\geq 1}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}.}$

は に単純で除去不可能な極を持つので、は に単純極を持つことがわかります。点集合は ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle s:=1}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle s:={\tfrac {1}{k}},\forall k\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Sing} _{P}:=\left\{k^{-1}:k\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}}$

に累積点0（ としての数列の極限）があることから、ゼロは の自然な境界を形成することがわかります。これは、ゼロから（またはゼロで）左のsについて が解析接続を持たないことを意味します。つまり、のとき、 への接続は不可能です。ちなみに、この事実は、例えば に対して、実部がゼロについて対称な区間で複素路積分を実行する場合（被積分関数が本質的に に依存する分母を持つ関数である場合）に問題になることがあります。 ${\displaystyle k\mapsto \infty }$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle 0\geq \Re (s)}$ ${\displaystyle I_{F}\subseteq \mathbb {C} \ {\text{such that}}\ \Re (s)\in (-C,C),\forall s\in I_{F}}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle P(s)}$

例 II: 典型的な空隙級数（単位円の部分集合としての自然境界）

整数に対して、 c次の空隙級数をべき級数展開によって 定義する。${\displaystyle c\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z):=\sum _{n\geq 1}z^{c^{n}},|z|<1.}$

明らかに、を満たす任意のzに対しての関数方程式が存在する。また、任意の整数 に対して、を満たす 別の関数方程式が存在することも容易に分かる。${\displaystyle c^{n+1}=c\cdot c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=z^{c}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c})}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{m-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{m}}),\forall |z|<1.}$

任意の正の自然数cに対して、空隙級数関数は で発散する。 を他の複素数zに解析接続する問題について考える。を見ればわかるように、任意の に対して、関数は1 の - 乗根で発散する。したがって、そのようなすべての根によって形成される集合は単位円の境界上で稠密であるため、係数が 1 を超える 複素数zに を解析接続することはできない。${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|>1.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

^{この事実の証明は、 [ 2 ]}の場合の標準的な議論から一般化される。つまり、整数に対して、 ${\displaystyle c:=2.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{c,n}:=\left\{z\in \mathbb {D} \cup \partial {\mathbb {D} }:z^{c^{n}}=1\right\},}$

ここで、 は複素平面上の単位開円板を表し、 、すなわち、となるような単位円上または単位円内に異なる複素数zが存在する。ここで、証明の鍵となる部分は、のとき の関数方程式を用いて、${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{c,n}|=c^{n}}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle z^{c^{n}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {R}}_{c,n},\qquad {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{n}})=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(1)=+\infty .}$

したがって、単位円の境界上の任意の弧に対して、その弧内には となる点zが無数に存在します。この条件は、 の任意の固定された選択に対して、円が関数の自然な境界を形成するということと同等です。したがって、これらの関数は単位円の内部を超えて解析接続しません。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\infty }$ ${\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} \quad c>1.}$

モノドロミー定理

モノドロミー定理は、直接的な解析接続（つまり、解析関数のより大きな集合上の解析関数への拡張） の存在に対する十分な条件を与えます。

が開集合であり、f がD上の解析関数であるとする。GがD を含む単連結な領域であり、f がD内の不動点aから始まるG内のあらゆる経路に沿って解析接続を持つならば、f はGに直接解析接続を持つ。 ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

上記の言語では、これは、G が単連結な領域であり、Sが基底点の集合にGが含まれる層である場合、 Sに属する芽を持つG上の解析関数f が存在することを意味します。

アダマールのギャップ定理

べき級数の場合

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

と

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

収束円は自然な境界である。このような冪級数は隙間定理と呼ばれる。この定理は、ウジェーヌ・ファブリ（ファブリの隙間定理を参照）とジョージ・ポリアによって実質的に一般化された。

ポリアの定理

させて

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

が冪級数であるとき、ε _k ∈ {−1, 1}が存在し、

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

自然境界として z _0の周りのfの収束円を持ちます。

この定理の証明にはアダマールのギャップ定理が利用されます。

参照

• ミッタク・レフラーのスター
• 正則関数計算
• 数値解析接続
• ポリアのシャイア定理

参考文献

1. Kruskal, MD (1960-09-01). 「シュワルツシルト計量の最大拡張」 . Physical Review . 119 (5): 1743– 1745. Bibcode : 1960PhRv..119.1743K . doi : 10.1103/PhysRev.119.1743 .
2. 自然境界については、 MathWorldページの例を参照してください。

• ラース・アルフォース(1979).複素解析（第3版）. マグロウヒル. pp. 172, 284.
• ルートヴィヒ・ビーバーバッハ (1955)。分析要項。スプリンガー・フェルラーク。
• P. ディーンズ (1957). 『テイラー級数：複素変数関数理論入門』 ニューヨーク: Dover Publications, Inc.書誌コード: 1957tsai.book.....D .

外部リンク

• 「解析接続」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• MathPagesにおける解析接続
• ワイスタイン、エリック W. 「解析的接続」。MathWorld 。