アペール位相幾何学

数学の一分野である一般位相幾何学において、アントワーヌ・アペール（1934）にちなんで名付けられたアペール位相は、正の整数の集合X = {1, 2, 3, ... }上の位相である。^{[ 1 ]}アペール位相において、開集合とは1を含まない集合と、漸近的にほぼすべての正の整数を含む集合である。アペール位相を含む 空間Xはアペール空間と呼ばれる。^{[ 1 ]}

工事

Xの部分集合Sについて、Sの要素のうちn以下の要素の数をN( n , S )で表すとします。

${\displaystyle \mathrm {N} (n,S)=\#\{m\in S:m\leq n\}.}$

Sがアペール位相において開位相であるとは、1 を含まないか、漸近密度が1 に等しい場合、すなわち次 の式を満たす場合に定義される。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {{\text{N}}(n,S)}{n}}=1}$ 。

空集合は 1 を含まないので開集合であり、集合X全体はすべてのnに対してであるため開集合です 。 ${\displaystyle {\text{N}}(n,X)/n=1}$

関連するトポロジ

アペール位相は、1より大きい整数の集合に離散位相を与え、その空間の一点コンパクト化において点1を無限遠点としてとることから生じるフォート空間位相と密接な関係がある。 ^{[ 1 ]} アペール位相はフォート空間位相よりも細かく、Xの任意の有限部分集合の漸近密度は1に等しい。

プロパティ

• Xの閉部分集合Sは、1 を含むか、漸近密度が 0 である部分集合です。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {N} (n,S)/n=0}$
• Xの任意の点は閉開集合の局所基底を持つ。すなわち、Xは零次元空間である。^{[ 1 ]}証明: 1 のすべての開近傍は閉近傍でもある。任意の に対して、は閉かつ開である。${\displaystyle x\neq 1}$ ${\displaystyle \{x\}}$
• Xはハウスドルフかつ完全正規集合(T ₆ )である。証明：Xは T ₁である。任意の二つの互いに素な閉集合AとBが与えられたとき、少なくとも一方、例えばAは1 を含まない。 このときAは閉集合であり、 Aとその補集合はそれぞれAとBの互いに素な近傍である。これはXが正規集合かつハウスドルフ集合であることを示す。最後に、可算な T ₁空間内の任意の部分集合、特に任意の閉部分集合は G _δであるので、Xは完全正規集合である。
• Xは可算だが、第一可算ではない[ 1 ^{]。したがって}第二可算でも計量化もできない。
• Xの部分集合がコンパクトであるためには、それが有限集合である必要があります。特に、X は局所コンパクトではありません。なぜなら、X 1 のコンパクト近傍は存在しないからです。
• Xは可算コンパクトではない。^{[ 1 ]}証明：無限集合は漸近密度がゼロであるため、Xにおいて閉じている。その各点は孤立している。Xは無限閉離散部分集合を含むため、極限点コンパクトではなく、したがって可算コンパクトではない。${\displaystyle \{2^{n}:n\geq 1\}}$

参照

• 位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧

注記

1. スティーン＆シーバッハ 1995、pp. 117–118

参考文献

• Appert、Antoine (1934)、Propriétés des Espaces Abstraits les Plus Généraux、実際。科学。インディアナ州、ヘルマン、MR  3533016。
• Steen, LA; Seebach, JA (1995), Counterexamples in Topology , Dover, ISBN 0-486-68735-X。