ベクトル領域

3 次元幾何学およびベクトル計算では、面積ベクトルは面積量と方向を組み合わせたベクトルであり、3 次元の 方向付けられた領域を表します。

3次元におけるすべての境界面は、ベクトル面積と呼ばれる一意の面積ベクトルに関連付けられます。これは面法線の面積積分に等しく、通常の（スカラー）表面積とは異なります。

ベクトル面積は、2 次元の符号付き面積を 3 次元に一般化したものと考えることができます。

意味

スカラー面積Sと単位法線の有限平面の場合^nベクトル面積Sは面積でスケールされた単位法線として定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}S}$$

有向面Sが平坦な面領域の集合S _iから構成される場合、その面のベクトル面積は 次のように与えられる。$${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}{\hat {\mathbf {n} }}_{i}S_{i}}$$ ^n_iは領域S _iの単位法線ベクトルです。

十分に振る舞いの良い、有界で向きが定められた曲面の場合、ベクトル面積を定義することができます。まず、曲面を微小要素に分割します。各微小要素は実質的に平面です。面積の各微小要素には、同じく微小な面積ベクトルが存在します。 ここで$${\displaystyle d\mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}\ dS}$$ ^nはdSに垂直な局所単位ベクトルです。積分すると表面のベクトル面積が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$$

プロパティ

表面のベクトル面積は、その表面が最大となる平面における（符号付きの）投影面積または「影」として解釈できます。その方向はその平面の法線によって決まります。

曲面やファセット面（つまり非平面）の場合、ベクトル面積は実際の表面積よりも小さくなります。極端な例として、閉曲面は任意の大きさの面積を持つことができますが、そのベクトル面積は必ず0になります。^{[ 1 ]}境界を共有する曲面は面積が大きく異なる場合がありますが、ベクトル面積は同じである必要があります。つまり、ベクトル面積は境界によって完全に決定されます。これらはストークスの定理から導かれる結果です。

平行四辺形のベクトル面積は、その四辺形を張る2つのベクトルの外積で与えられ、同じベクトルで形成される三角形の（ベクトル）面積の2倍になります。一般に、境界が直線の列で構成される曲面（2次元の多角形に類似）のベクトル面積は、その曲面の三角形化に対応する一連の外積を用いて計算できます。これは、靴ひもの公式を3次元に一般化したものです。

適切に選択されたベクトル場に対してストークスの定理を適用すると、ベクトル面積の境界積分を導くことができる。 ここで、∂ SはSの境界、すなわち1つ以上の有向閉空間曲線である。これは、グリーンの定理を用いた2次元面積計算に類似している。 $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r} }$$

アプリケーション

面積ベクトルは、例えば表面を通るベクトル場のフラックスを求めるなど、面積積分の計算に用いられます。フラックスは、場と（無限小）面積ベクトルの内積の積分で与えられます。場が表面上で一定である場合、積分は場と表面のベクトル面積の内積に簡略化されます。

平面への面積の投影

平面への投影面積は、ベクトル面積Sと目標平面の単位法線との内積で与えられる。^メートル 例えば、xy平面に投影された面積はベクトル面積のz成分に等しく、また、 θが平面法線とy軸の間の角度である ときにも等しい 。 $${\displaystyle A_{\Parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}}$$ $${\displaystyle \mathbf {S} _{z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta }$$ ^nそしてz軸。

参照

• 任意の次元の有向領域を表す双ベクトル
• ベクトル面積の直交成分への分解に関するデ・グアの定理
• 外積
• 表面法線
• 表面積分

注記

1. シュピーゲル、マレー・R. (1959).ベクトル解析の理論と問題点. シャウムのアウトラインシリーズ. マグロウヒル. p. 25.