算術微分

数論において、ラガリアスの算術微分または数微分は、数学的分析で使用される関数の微分に対する積の規則からの類推により、素因数分解に基づいて整数に対して定義された関数です。

「算術微分」には、この記事で説明したもの（ラガリアスの算術微分）をはじめ、伊原の算術微分やブイウムの算術微分など、多くのバージョンがあります。

初期の歴史

算術微分は1911年にスペインの数学者ホセ・ミンゴ・シェリーによって導入されました。^{[ 1 ] [ 2 ]}算術微分は1950年のパトナムコンペティションでも登場しました。^{[ 3 ]}

意味

自然数nに対して算術微分D ( n ) ^{[注1 ]}は次のように定義される。

• 任意の素数pに対してD ( p )=1となる。
• 任意の（ライプニッツ則）に対して、 D ( mn )= D ( m ) n + mD ( n )。${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$

自然数を超えた拡張

エドワード・J・バーボーは、D (− n ) = − D ( n )という選択が一意に整数に定義域を拡張し、積の公式と整合することを示し、定義域をすべての整数に拡張した。バーボーはさらにこれを有理数 に拡張し、よく知られた商の法則がの明確な導関数を与えることを示した。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle D\!\left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {D(m)n-mD(n)}{n^{2}}}.}$ ^{[ 4 ] [ 5 ]}

ヴィクトル・ウフナロフスキーとボー・オーランダーはこれを、任意の有理数乗の素数の積として表される無理数に拡張し、次のような式を計算できるようにした。^{[ 6 ]}${\displaystyle D({\sqrt {3}}\,)}$

算術微分は、ガウス整数やアイゼンシュタイン整数、およびそれに関連する分数体などの任意の一意因数分解領域（UFD）^{[ 6 ]}に拡張することもできます。UFDが多項式環である場合、算術微分はその多項式環上の微分と同じです。例えば、正則微分は、一変数実多項式および複素多項式関数と有理関数の環の算術微分であり、これは代数の基本定理を用いて証明できます。

算術微分はnを法とする整数環にも拡張されている。^{[ 7 ]}

基本的な性質

ライプニッツの定理によれば、D (0) = 0 ( m = n = 0とする)、D (1) = 0 ( m = n = 1とする)となる。

べき乗則は算術微分にも適用できる。任意の整数kおよびn ≥ 0に対して、

${\displaystyle D(k^{n})=nk^{n-1}D(k)。}$

これにより、整数の素因数分解から導関数を計算することができます（ここではxのp進値です）。 ${\textstyle x=\prod \limits _{p\in \mathbb {P} }p^{n_{p}}}$ ${\textstyle n_{p}=\nu _{p}(x)}$

${\displaystyle D(x)=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {x}{p^{n_{p}}}}n_{p}\,p^{n_{p}-1}D(p)=\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}n_{p}{\frac {x}{p}}D(p)=x\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {n_{p}}{p}}D(p)}$ 。

これは、すべての素数に対する導関数が分かれば、その導関数は完全に既知であることを示しています。実際、素数 に対する算術偏導関数の族は、を除くすべての素数に対して で定義され、任意の導関数を（不完全な）無限和として表すことができます（以下の例を参照）。この導関数については となることに注意してください。 ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(q)=0}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle q=p}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial p}}(p)=1}$ ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial p}}=n_{p}{\frac {x}{p}}}$

通常、すべての素数pに対して、 ${\textstyle D(p)=1}$

${\displaystyle D=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\partial }{\partial p}}{\text{、そして }}D(x)=x\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {n_{p}}{p}}}$ 。

この導関数を使用すると、たとえば次のようになります。

${\displaystyle D(60)=D(2^{2}\cdot 3\cdot 5)=60\cdot \left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)=92,}$

または

${\displaystyle D(81)=D(3^{4})=4\cdot 3^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.}$

そして、x = 0, 1, 2, …の数導関数のシーケンスが始まります ( OEISのシーケンスA003415 )。

${\displaystyle 0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\ldots }$

関連機能

対数微分は完全に加法的な関数である。${\displaystyle \operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x}}=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ld} (x\cdot y)=\operatorname {ld} (x)+\operatorname {ld} (y).}$

を素数とする。のに関する算術偏微分は次のように定義される。したがって、 の算術微分は次のように与えられる。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D_{p}(x)={\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}D_{p}(x).}$

を素数の空でない集合とする。のに関する算術部分微分は次のように定義される。がすべての素数からなる集合である 場合、通常の算術微分は となる。 の場合、算術偏微分は となる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{S}(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in S}}D_{p}(x).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D_{S}(x)=D(x),}$ ${\displaystyle S=\{p\}}$ ${\displaystyle D_{S}(x)=D_{p}(x),}$

算術関数がライプニッツ加法的であるとは、すべての正の整数およびに対してとなる全乗法関数が存在する場合である。この概念の根拠は、ライプニッツ加法的関数が算術微分 の一般化であるという事実である。つまり、は に対してライプニッツ加法的である。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h_{f}}$ ${\displaystyle f(mn)=f(m)h_{f}(n)+f(n)h_{f}(m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h_{D}(n)=n}$

Sandor と Atanassov の著書の第 3.5 節に示されている関数は、実際のところ、通常の算術微分とまったく同じです。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle D}$

不等式と境界

EJ Barbeauは算術微分^{[ 8 ]}の境界を調べ、

${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}}$

そして

${\displaystyle D(n)\geq \Omega (n)\,n^{\frac {\Omega (n)-1}{\Omega (n)}}}$

ここで、 Ω( n )は素オメガ関数であり、 nの素因数の数です。上記の両方の境界において、n が2 のべき乗である場合には常に等式が成立します。

ダール、オルソン、ロイコは、自然数の算術微分は^{[ 9 ]で制限されることを発見した。}

${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}}$

ここで、pはnの中で最も小さい素数であり、 nがpのべき乗のときに等式が成立します。

Alexander Loiko、Jonas OlssonおよびNiklas Dahl は、任意の 2 つの有理数の間に、任意の大きいまたは小さい導関数を持つ他の有理数が存在することを証明することによって、有理数に拡張された算術微分に対して同様の境界を見つけることは不可能であることを発見しました (これは算術微分がから への連続関数ではないことを意味することに注意してください)。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

平均の順序

我々は持っています

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)}$

そして

${\displaystyle \sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1}{2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })}$

任意のδ > 0に対して 、

${\displaystyle T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.}$

数論との関連性

ヴィクトル・ウフナロフスキーとボー・オーランダーは、この関数と、双子素数予想、素数三重予想、ゴールドバッハ予想といった著名な数論的予想との関連性を詳述した。例えば、ゴールドバッハ予想は、任意のk > 1に対して、 D ( n ) = 2 kとなるnが存在することを意味する。双子素数予想は、 D ² ( k ) = 1となるk が無限に存在することを意味する。^{[ 6 ]}

参照

• 算術関数
• 微分（微分代数）
• p導出

注記

1. 本稿では、 nの算術微分にオリバー・ヘヴィサイドの記法D ( n )を用いる。他にもn ′など様々な記法が可能である一般微分演算子についてはここで詳細な議論があり、算術微分もその一つと考えられる。ここでヘヴィサイドの記法を用いるのは、算術微分が整数上の関数であることを強調し、2階以上の算術微分については関数反復D ^kと記法的に整合性が取れるためである。

参考文献

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