2つの力

2のべき乗は、 $2 n$ という形式の数です。ここで $n$ は整数、つまり、2を底とし、整数 $nを$ 指数とするべき乗の結果です。急増加階層では、 $2$ $n は$ と正確に等しくなります。ハーディ階層では、 $2$ $n は$ と正確に等しくなります。 $f_{1}^{n}(1)$ $H_{\omega {n}}(1)$

指数が負でない2の累乗は整数である: $20 = 1、2$ 1 $= 2 、$ そして $2 n$ は2を $n回$ 掛けたものである。^[¹^]^[²^] $n$ が負でない値の場合の2の最初の10の累乗は次の通りである:

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512 、… （ OEISのシーケンスA000079 ）

比較すると、負の指数を持つ2の累乗は分数です。正の整数 $n$ に対して、 $2 - n$ は1/2を $n$ 回掛け合わせたものです。したがって、2の最初の負の累乗は、⁠1/2⁠、⁠1/4⁠、⁠1/8⁠、⁠1/16⁠など。それぞれが2 の正の累乗の逆数であるため、これらは2 の逆累乗と呼ばれることもあります。

二進法の基盤

2は2進法の基数であるため、コンピュータサイエンスでは2の累乗が一般的です。2進法で表すと、2の累乗は常に100...000または0.00...001となり、これは10進法の10の累乗と同じです。

コンピュータサイエンス

2 の $n$ 乗 ( $2 n$ ) は、長さ $n$ のバイナリワードの各ビットに設定できる値の数です。各ビットは 2 つの値のいずれかになります。0 から始まる範囲の整数を表すと解釈されるワードは「符号なし整数」と呼ばれ、0 ( $000...000$ $2$ )から $2$ $n$ $- 1$ ( $111...111$ $2$ ) までの値を表すことができます。符号付き整数と呼ばれる別の表現方法では、正、負、および 0 の値をとることができます。符号付き数値表現を参照してください。いずれにしても、2 の累乗より 1 小さい値が、バイナリコンピュータにおける整数の上限となることがよくあります。結果として、この形式の数値はコンピュータソフトウェアで頻繁に使用されます。例えば、 8 ビットシステムで実行されるビデオゲームでは、プレイヤーが保持できるスコアやアイテムの数が 255 に制限される場合があります。これは、8 ビット長のバイトを使用して数値を格納することで、 $0$ から $2$ $8$ $- 1 = 255$ までの 256 の異なる値を表現できるためです。たとえば、オリジナルのゼルダの伝説では、主人公が一度に持ち運べるルピー (ゲーム内通貨) は 255 に制限されていました。また、ビデオゲーム「パックマン」では、レベル 256 でキルスクリーンが表示されることで有名です。

2の累乗は、コンピュータのメモリサイズを定量化する単位としてよく用いられます。現在、「バイト」は通常8ビット（オクテット）を指し、256通りの値（2の^8乗）が考えられます。（バイトという用語はかつて（そして場合によっては今でも）ハードウェアのコンテキストによって定義されるビットの集合を意味し、通常は5～32ビットであり、8ビット単位だけではありません。）接頭辞「キロ」は、コンピュータ科学者によって、バイトと組み合わせて、次のような意味として用いられてきました。1024（2 ¹⁰）。しかし、一般的には、国際単位系ではキロという用語は、1000 (10 ³ )。一連の二進接頭辞が標準化されており、その中にはキビ (Ki) の意味も含まれる。1024。ほぼすべてのプロセッサレジスタのサイズは 2 ビットの累乗で、8 ビット、16 ビット、32 ビット、または 64 ビットが非常に一般的で、非常に小型のプロセッサを除いて最後の 2 ビットが最も一般的です。

2の累乗は、他の様々な場面でも見られます。多くのディスクドライブでは、セクターサイズ、トラックあたりのセクター数、面あたりのトラック数のうち、少なくとも1つが2の累乗です。論理ブロックサイズは、ほぼ常に2の累乗です。

2の累乗に密接に関連する数値は、多くのコンピュータハードウェア設計に見られます。例えば、ビデオ画面の幅と高さのピクセル数は、多くの場合、2の累乗と小さな数の積で表されます。例えば、 $640 = 128 \times 5$ 、 $480 = 32 \times 15 です$ 。

メルセンヌ素数とフェルマー素数

2のべき乗より1小さい素数はメルセンヌ素数と呼ばれます。例えば、素数31は32（2 ⁵）より1小さいのでメルセンヌ素数です。同様に、2の正のべき乗より1大きい素数（257など）はフェルマー素数と呼ばれ、指数自体が2のべき乗です。分母が2のべき乗である分数は二項有理数と呼ばれます。連続する正の整数の和として表せる数はポライト数と呼ばれ、まさに2のべき乗ではない数です。

ユークリッドの原論、第9巻

等比数列1、2、4、8、16、32、... (または、2進記数法では、1、10、100、1000、10000、100000、...) は、数論において重要です。『原論』第 IX 巻、命題 36 は、この数列の最初の $n$ 項の和が素数 (したがって、前述のようにメルセンヌ素数) である場合、この和に $n$ 番目の項を掛けると完全数になることが証明されています。たとえば、数列 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ の最初の 5 項の和は素数です。31 に 16 (数列の 5 番目の項) を掛けた合計は 496 となり、完全数になります。

第 9 巻、命題 35 では、等比級数において、数列の 2 番目で最後の項から最初の項を減算すると、2 番目の項の超過分が最初の項に対して等しいのと同様に、最後の項の超過分もそれ以前のすべての項に対して等しいことが証明されています。 (これは、上記の等比級数の公式を言い換えたものです。) これを等比級数 31、62、124、248、496 (1、2、4、8、16 のすべての項に 31 を掛けたもの) に適用すると、62 から 31 を引くと 31 になり、496 から 31 を引くと 31、62、124、248 を足すと 31、62、124、248 になることがわかります。したがって、1、2、4、8、16、31、62、124、248 の数字を足すと 496 になり、さらに、これらはすべて496を割り切る数字です。たとえば、 $p$ が496 を割り切り、これらの数字の中にないとします。 $pq$ $が16 \times 31$ に等しい、つまり 31 と $qの比が$ $p$ と 16 の比と同じであると仮定します。ここでpは $16$ を割り切れません。つまり、 p は 1、2、4、8、16 のいずれかの数字になります。したがって、 31 は $q を$ 割り切れません。また、 31 は $q を$ 割り切れず、 $q の$ 大きさは 496 なので、算術の基本定理によれば、 $q は$ 16 を割り切れ、かつ 1、2、4、8、16 のいずれかの数字になります。 $q を$ 4 とすると、 $p は$ 124 になりますが、これは不可能です。なぜなら、仮定により $p$ は 1、2、4、8、16、31、62、124、248 のいずれかの数字には含まれないからです。

最初の64の2の累乗

（OEISの配列A000079）


$n$	$2 n$	$n$	$2 n$	$n$	$2 n$	$n$	$2 n$
0	1	16	65 536	32	4 294 967 296	48	281 474 976 710 656
1	2	17	131 072	33	8 589 934 592	49	562 949 953 421 312
2	4	18	262 144	34	17 179 869 184	50	1 125 899 906 842 624
3	8	19	524 288	35	34 359 738 368	51	2 251 799 813 685 248
4	16	20	1 048 576	36	68 719 476 736	52	4 503 599 627 370 496
5	32	21	2 097 152	37	137 438 953 472	53	9 007 199 254 740 992
6	64	22	4 194 304	38	274 877 906 944	54	18 014 398 509 481 984
7	128	23	8 388 608	39	549 755 813 888	55	36 028 797 018 963 968
8	256	24	16 777 216	40	1 099 511 627 776	56	72 057 594 037 927 936
9	512	25	33 554 432	41	2 199 023 255 552	57	144 115 188 075 855 872
10	1024	26	67 108 864	42	4 398 046 511 104	58	288 230 376 151 711 744
11	2048	27	134 217 728	43	8 796 093 022 208	59	576 460 752 303 423 488
12	4096	28	268 435 456	44	17 592 186 044 416	60	1 152 921 504 606 846 976
13	8192	29	536 870 912	45	35 184 372 088 832	61	2 305 843 009 213 693 952
14	16 384	30	1 073 741 824	46	70 368 744 177 664	62	4 611 686 018 427 387 904
15	32,768	31	2 147 483 648	47	140 737 488 355 328	63	9 223 372 036 854 775 808

最後の数字

2 から始まる最後の桁は周期4で周期的であり、周期は 2–4–8–6– です。また、4 から始まる最後の2桁は周期20で周期的です。これらのパターンは、任意の基数に関して、任意のべき乗に一般的に当てはまります。このパターンは、各パターンの開始点が $2 k$ であるところで続き、周期は 2 を法とする $5$ $k$ の乗法位数、つまり $φ$ $(5$ $k$ $) = 4 \times 5$ $k$ $-1$ です（「n を法とする整数の乗法群」を参照）。

1024の累乗

（ OEISの配列A140300）

^{2 10}の最初のいくつかの累乗は、1000 (10 ^{3 )。2}¹⁰の最初の11乗の値を以下に示します。


2 ⁰	＝	1	= 1000 ⁰	（偏差0％）
2 ¹⁰	＝	1024	≈ 1000 ¹	（偏差2.4％）
2 ²⁰	＝	1 048 576	≈ 1000 ²	（偏差4.9％）
2 ³⁰	＝	1 073 741 824	≈ 1000 ³	（偏差7.4％）
2 ⁴⁰	＝	1 099 511 627 776	≈ 1000 ⁴	（偏差10.0％）
2 ⁵⁰	＝	1 125 899 906 842 624	≈ 1000 ⁵	（12.6%の偏差）
2 ⁶⁰	＝	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	（15.3%の偏差）
2 ⁷⁰	＝	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000 ⁷	（偏差18.1％）
2 ⁸⁰	＝	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000 ⁸	（偏差20.9％）
2 ⁹⁰	＝	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000 ⁹	（偏差23.8％）
2 ¹⁰⁰	＝	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000 ¹⁰	（偏差26.8％）

50%の偏差に達するには1024の約17乗、100%の偏差に達するには1024の約29乗が必要です。^{[ 3 ]}バイナリプレフィックスとIEEE 1541-2002も参照してください。

指数が2の累乗である2の累乗

データ（特に整数）とそのアドレスは同じハードウェアに保存され、データは1つ以上のオクテット（ $23$ ）に格納されるため、 2の二重指数はコンピューティングにおいてよく使用されます。最初の21の二重指数は次のとおりです。


$n$	$2 n$	$2 2 n$ （ OEISの配列A001146）	数字
0	1	2	1
1	2	4	1
2	4	16	2
3	8	256	3
4	16	65 536	5
5	32	4 294 967 296	10
6	64	18 ‍ 446 ‍ 744 ‍ 073 ‍ 709 ‍ 551 ‍ 616	20
7	128	340 ‍ 282 ‍ 366 ‍ 920 ‍ 938 ‍ 463 ‍ 463 ‍ 374 ‍ 607 ‍ 431 ‍ 768 ‍ 211 ‍ 456	39
8	256	115 ‍ 792 ‍ 089 ‍ 237 ‍ 316 ‍ 195 ‍ 423 ‍ 570 ‍ ... ‍ 039 ‍ 457 ‍ 584 ‍ 007 ‍ 913 ‍ 129 ‍ 639 ‍ 936	78
9	512	13 ‍ 407 ‍ 807 ‍ 929 ‍ 942 ‍ 597 ‍ 099 ‍ 574‍ 0 ... ‍ 946 ‍ 569 ‍ 946 ‍ 433 ‍ 649 ‍ 006 ‍ 084 ‍ 096	155
10	1024	179 ‍ 769 ‍ 313 ‍ 486 ‍ 231 ‍ 590 ‍ 772 ‍ 930 ‍ ... ‍ 304 ‍ 835 ‍ 356 ‍ 329 ‍ 624 ‍ 224 ‍ 137 ‍ 216	309
11	2048	32 ‍ 317 ‍ 006 ‍ 071 ‍ 311 ‍ 007 ‍ 300 ‍ 714‍ 8 ... ‍ 193 ‍ 555 ‍ 853 ‍ 611 ‍ 059 ‍ 596 ‍ 230 ‍ 656	617
12	4096	1 ‍ 044 ‍ 388 ‍ 881 ‍ 413 ‍ 152 ‍ 506 ‍ 691‍ 75 ... ‍ 243 ‍ 804 ‍ 708 ‍ 340 ‍ 403 ‍ 154 ‍ 190 ‍ 336	1234
13	8192	1 ‍ 090 ‍ 748 ‍ 135 ‍ 619 ‍ 415 ‍ 929 ‍ 462‍ 98 ... ‍ 997 ‍ 186 ‍ 505 ‍ 665 ‍ 475 ‍ 715 ‍ 792 ‍ 896	2467
14	16 384	1 ‍ 189 ‍ 731 ‍ 495 ‍ 357 ‍ 231 ‍ 765 ‍ 085‍ 75 ... ‍ 460 ‍ 447 ‍ 027 ‍ 290 ‍ 669 ‍ 964 ‍ 066 ‍ 816	4933
15	32,768	1 ‍ 415 ‍ 461 ‍ 031 ‍ 044 ‍ 954 ‍ 789 ‍ 001‍ 55 ... ‍ 541 ‍ 122 ‍ 668 ‍ 104 ‍ 633 ‍ 712 ‍ 377 ‍ 856	9865
16	65 536	2 ‍ 003 ‍ 529 ‍ 930 ‍ 406 ‍ 846 ‍ 464 ‍ 979‍ 07 ... ‍ 339 ‍ 445 ‍ 587 ‍ 895 ‍ 905 ‍ 719 ‍ 156 ‍ 736	19,729
17	131 072	4 ‍ 014 ‍ 132 ‍ 182 ‍ 036 ‍ 063 ‍ 039 ‍ 166‍ 06 ... ‍ 850 ‍ 665 ‍ 812 ‍ 318 ‍ 570 ‍ 934 ‍ 173 ‍ 696	39 457
18	262 144	16 ‍ 113 ‍ 257 ‍ 174 ‍ 857 ‍ 604 ‍ 736 ‍ 195‍ 7 ... ‍ 753 ‍ 862 ‍ 605 ‍ 349 ‍ 934 ‍ 298 ‍ 300 ‍ 416	78,914
19	524 288	259 ‍ 637 ‍ 056 ‍ 783 ‍ 100 ‍ 077 ‍ 612 ‍ 659 ‍ ... ‍ 369 ‍ 814 ‍ 364 ‍ 528 ‍ 226 ‍ 185 ‍ 773 ‍ 056	157 827
20	1 048 576	67 ‍ 411 ‍ 401 ‍ 254 ‍ 990 ‍ 734 ‍ 022 ‍ 690‍ 6 ... ‍ 009 ‍ 289 ‍ 119 ‍ 068 ‍ 940 ‍ 335 ‍ 579 ‍ 136	315 653

フェルマー数、テトレーション、ハイパーオペレーション § 下層のハイパーオペレーションも参照してください。

指数が2の累乗である2の累乗の最後の桁

4を超えるこれらの数はすべて6で終わります。16から始まる最後の2桁は周期4で周期的になり、周期は16–56–36–96–です。また、16から始まる最後の3桁は周期20で周期的です。これらのパターンは、任意の基数に対して、任意のべき乗で一般的に発生します。このパターンは、各パターンの開始点が $2 k$ である場所で続き、周期は2を法とする $5$ $k$ の乗法順序、つまり $φ$ $(5$ $k$ $) = 4 \times 5$ $k$ $-1$ です（nを法とする整数の乗法群を参照）。

指数が2の累乗である2の累乗に関する事実

数との関連で、これらの数はフェルマーの2 乗と呼ばれることがよくあります。

数は無理数列を形成する。すべての正の整数列に対して、数列 $2^{2^{n}}$ $x_{i}$

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

無理数に収束する。この数列は急速に増加するにもかかわらず、知られている無理数列の中で最も遅く増加する数列である。^{[ 4 ]}

コンピュータサイエンスにおける指数が2の累乗である2の累乗

コンピュータのデータ型は2の累乗のサイズを持つのが一般的であるため、これらの数値はその型で表現可能な値の数を数えます。例えば、4バイトで構成される32ビットワードは、 $232$ 個の異なる値を表現できます。これらの値は、単なるビットパターンと見なすこともできますが、より一般的には、0から $232 - 1までの符号なし数値、もしくは$ $-2 31$ から $231 -$ 1までの符号付き数値の範囲として解釈されます。符号付き数値の表現の詳細については、「2の補数」を参照してください。

選択された2の累乗

2 ² =4: 2の平方数。また、2の1乗のテトレーション。
2 ⁸ =256: 1バイト内の 8 ビットによって表される値の数。より具体的には、オクテットと呼ばれます。(バイトという用語は、キロバイトという用語で示されるように、8 ビットの量の厳密な定義ではなく、ビットの集合として定義されることが多いです。)
2 ¹⁰ =1024: キロの2進近似、または1000乗数により接頭辞が変更されます。例:1024 バイト= 1 キロバイト^{[ 5 ]}（またはキビバイト）。
2 ¹² =4096: Intel x86互換プロセッサのハードウェアページサイズ。
2 ¹⁵ =32,768: 符号付き16 ビット整数の非負値の数。
2 ¹⁶ =65 536

オリジナルのx86プロセッサなどの 16ビットプロセッサ上で1ワードで表現できる異なる値の数。^[⁶^]; C#、Java、SQLプログラミング言語における短整数変数の最大範囲。Pascalプログラミング言語におけるWordまたはSmallint変数の最大範囲。; 4 要素セット上の2 項関係の数。
2 ²⁰ =1 048 576: メガのバイナリ近似、または1 000 000乗数により接頭辞が変更されます。例：1 048 576 バイト= 1 メガバイト^{[ 5 ]}（またはメビバイト）。
2 ²⁴ =16 777 216: 一般的なコンピュータモニターで使用される、トゥルーカラーで表示できる固有の色の数。; この数値は、3チャンネルRGBシステムを使用した結果です。RGBシステムでは、色は0（00）から255（FF）までの範囲の3つの値（赤、緑、青）で独立して定義されます。これにより、各チャンネルに8ビット、合計24ビットが割り当てられます。例えば、純粋な黒は#000000、純粋な白はです#FFFFFF。すべての可能な色の空間は、16 777 216は、16 ⁶ (6 桁でそれぞれ 16 個の値が可能)、256 ³ (3 つのチャネルでそれぞれ 256 個の値が可能)、または 2 ²⁴ (24 ビットでそれぞれ 2 個の値が可能) で決定できます。; 24 ビットレジスタまたはデータバスを備えたコンピューターにおける最大の符号なし整数またはアドレスのサイズ。
2 ³⁰ =1 073 741 824: ギガの2進近似、または1 000 000 000乗数。これにより接頭辞が変更されます。例えば、1 073 741 824 バイト= 1 ギガバイト^{[ 5 ]}（またはギビバイト）。
2 ³¹ =2 147 483 648: 符号付き32ビット整数の非負値の数。Unix時間は1970年1月1日からの秒数で計測されるため、2038 年1月 19 日火曜日の 2,147,483,647秒、または UTC で 03:14:07 に Unix を実行する 32 ビットコンピュータで発生する、いわゆる2038 年問題。
2 ³² =4 294 967 296

32ビットプロセッサ上で1ワードで表現できる異なる値の数。^[⁷^]または、オリジナルのx86プロセッサなどの16ビットプロセッサ上でダブルワードで表現できる値の数。^[⁶^]; Java、C#、およびSQLintプログラミング言語における変数の範囲。; PascalCardinalプログラミング言語の変数またはInteger変数の範囲。; CおよびC++プログラミング言語における長整数変数の最小範囲。; IPv4におけるIP アドレスの総数。一見大きな数字のように見えますが、利用可能な 32 ビット IPv4 アドレスの数は既に枯渇しています（ただし、IPv6アドレスは枯渇していません）。; GF (4)のような任意の4要素集合に等しい定義域を持つ二項演算の数。
2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776: テラの2進近似、または1 000 000 000 000乗数。これにより接頭辞が変更されます。例えば、1 099 511 627 776バイト= 1テラバイト^{[ 5 ]}またはテビバイト。
2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624: ペタのバイナリ近似、または1 000 000 000 000 000乗数。1 125 899 906 842 624バイト= 1ペタバイト^{[ 5 ]}またはペビバイト。
2 ⁵³ =9 007 199 254 740 992: IEEE倍精度浮動小数点形式ですべての整数値を正確に表現できる限界の数。また、10進数で9から始まる最初の2の累乗。
2 ⁵⁶ =72 057 594 037 927 936: 廃止された 56 ビットDES対称暗号で使用可能な異なるキーの数。
2 ⁶⁰ =1 152 921 504 606 846 976: exa-の2進近似、または1 000 000 000 000 000 000乗数。 1 152 921 504 606 846 976バイト= 1エクサバイト^{[ 5 ]}またはエクスビバイト。
2 ⁶³ =9 223 372 036 854 775 808: 符号付き 64 ビット整数の非負値の数。; 2 ⁶³ − 1、プログラミング言語における符号付き 64 ビット整数の一般的な最大値 (正の値の数に相当)。
2 ⁶⁴ =18 446 744 073 709 551 616: 64ビットプロセッサにおいて1ワードで表現可能な異なる値の数。または、32ビットプロセッサにおいてダブルワードで表現可能な値の数。または、初期の x86プロセッサなどの16ビットプロセッサにおいてクワッドワードで表現可能な値の数。^[⁶^]; JavaおよびC#プログラミング言語におけるlong変数の範囲。; Pascalプログラミング言語のInt64またはQWord変数の範囲。; 通常、単一の LAN またはサブネットに割り当てられるIPv6 アドレスの合計数。; 2 ⁶⁴ − 1は、チェス盤上の米粒の数です。昔話によると、最初のマス目には米粒が1粒、次のマス目は前のマス目の2倍の米粒が描かれているそうです。このため、この数は「チェス数」と呼ばれることもあります。; 2 ^{64 − 1 は、伝説的な 64 枚のディスクを使った}ハノイの塔を完成させるのに必要な移動回数でもあります。
2 ⁶⁸ =295 147 905 179 352 825 856: すべての小数点を含む最初の 2 の累乗。( OEISのシーケンスA137214 )
2 ⁷⁰ =1 180 591 620 717 411 303 424: ゼータの2進近似、または1 000 000 000 000 000 000 000乗数。1 180 591 620 717 411 303 424バイト= 1ゼタバイト^{[ 5 ]}（またはゼビバイト）。
2 ⁸⁰ =1 208 925 819 614 629 174 706 176: ヨタの2進近似、または1 000 000 000 000 000 000 000 000乗数。1 208 925 819 614 629 174 706 176バイト= 1ヨタバイト^{[ 5 ]}（またはヨビバイト）。
2 ⁸⁶ =77 371 252 455 336 267 181 195 264: 286^は10進数で0を含まない2の最大の累乗であると推測される。^{[ 8 ]}
2 ⁹⁶ =79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: 一般的にローカルインターネットレジストリに付与されるIPv6アドレスの総数。CIDR表記では、 ISPには/ 32が割り当てられます。これは、 128 - 32 = 96ビットがアドレス（ネットワーク指定とは対照的に）に使用できることを意味します。つまり、2の⁹⁶乗のアドレスとなります。
2 ¹⁰⁸ = 324 ‍ 518 ‍ 553 ‍ 658 ‍ 426 ‍ 726 ‍ 783 ‍ 156 ‍ 020 ‍ 576 ‍ 256: 10進数で9を含まない2の累乗の最大値。( OEISのシーケンスA035064 )
2 ¹²⁶ = 85 ‍ 070 ‍ 591 ‍ 730 ‍ 234 ‍ 615 ‍ 865 ‍ 843 ‍ 651 ‍ 857 ‍ 942 ‍ 052 ‍ 864: 連続する等しい数字のペアを含まない、2 の最大の累乗。( OEISのシーケンスA050723 )
2 ¹²⁸ = 340 ‍ 282 ‍ 366 ‍ 920 ‍ 938 ‍ 463 ‍ 463 ‍ 374 ‍ 607 ‍ 431 ‍ 768 ‍ 211 ‍ 456: IPv6で使用可能なIP アドレスの総数、異なる汎用一意識別子 (UUID)の数、32 ビット IEEE単精度浮動小数点形式に収まる最大数、およびAES 128 ビットキースペース(対称暗号)で可能な異なるキーの総数。
2 ¹⁶⁸ = 374 ‍ 144 ‍ 419 ‍ 156 ‍ 711 ‍ 147 ‍ 060 ‍ 143 ‍ 317 ‍ 175 ‍ 368 ‍ 453 ‍ 031 ‍ 918 ‍ 731 ‍ 001 ‍ 856: すべての小数桁を含まない 2 の累乗の最大値（この場合は数字 2 が欠落しています）。（OEISのシーケンスA137214）
2 ¹⁹² = 6 ‍ 277 ‍ 101 ‍ 735 ‍ 386 ‍ 680 ‍ 763 ‍ 835 ‍ 789 ‍ 423 ‍ 207 ‍ 666 ‍ 416 ‍ 102 ‍ 355 ‍ 444 ‍ 464 ‍ 034 ‍ 512 ‍ 896: AES 192 ビットキースペース(対称暗号)内の可能な異なるキーの合計数。
2 ²²⁹ = 862 ‍ 718 ‍ 293 ‍ 348 ‍ 820 ‍ 473 ‍ 429 ‍ 344 ‍ 482 ‍ 784 ‍ 628 ‍ 181 ‍ 556 ‍ 388 ‍ 621 ‍ 521 ‍ 298 ‍ 319 ‍ 395 ‍ 315 ‍ 527 ‍ 974 ‍ 912: 2 ²²⁹は、そのべき乗数に対するゼロの数が最も少ない、2のべき乗として知られている最大の数です。メティン・サリヤールは、2のべき乗の10進展開において、0から9までの各数字が、べき乗が大きくなるにつれて、同じ回数出現する傾向があると推測しています。（OEISのシーケンスA330024）
2 ²⁵⁶ = 115 ‍ 792 ‍ 089 ‍ 237 ‍ 316 ‍ 195 ‍ 423 ‍ 570 ‍ 985 ‍ 008 ‍ 687 ‍ 907 ‍ 853 ‍ 269 ‍ 984 ‍ 665 ‍ 640 ‍ 564 ‍ 039 ‍ 457 ‍ 584 ‍ 007 ‍ 913 ‍ 129 ‍ 639 ‍ 936: AES 256 ビットキースペース(対称暗号)内の可能な異なるキーの合計数。
2¹⁰²⁴ = 179‍ 769 ‍ 313 ‍ 486 ‍ 231 ‍ 590 ‍ 772 ‍ 930 ‍ ... ‍ 304 ‍ 835 ‍ 356 ‍ 329 ‍ 624 ‍ 224 ‍ 137‍ 216 (309桁): 64 ビット IEEE倍精度浮動小数点形式に適合できる最大数 (したがって、 Microsoft Excelなどの多くのプログラムで表現できる最大数)。
2^{16 384} = 1‍ 189 ‍ 731 ‍ 495 ‍ 357 ‍ 231 ‍ 765 ‍ 085‍ 75 ...‍ 460 ‍ 447 ‍ 027 ‍ 290 ‍ 669 ‍ 964 ‍ 066‍ 816 (4933桁）: 128ビットIEEE4倍精度浮動小数点形式に収まる最大数
2^{262 144} = 16‍ 113 ‍ 257 ‍ 174 ‍ 857 ‍ 604 ‍ 736 ‍ 195‍ 7 ...‍ 753 ‍ 862 ‍ 605 ‍ 349 ‍ 934 ‍ 298 ‍ 300‍ 416 (78,914桁）: 256ビットIEEE8倍精度浮動小数点形式に収まる最大数
2^{136 279 841} = 8‍ 816 ‍ 943 ‍ 275 ‍ 038 ‍ 332 ‍ 655 ‍ 539‍ 39 ...‍ 665 ‍ 555 ‍ 076 ‍ 706 ‍ 219 ‍ 486 ‍ 871‍ 552 (41 024 320桁）: 2024年10月時点で知られている最大の素数より1つ大きい。^{[ 9 ]}

音楽理論における2の累乗

音楽記譜法において、音価が変更されていない音符の長さは、全音符を2の累乗で割った値に等しくなります。例えば、2分音符（1/2）、4分音符（1/4）、8分音符（1/8）、16分音符（1/16）などです。付点音符やその他の変更が加えられた音符の長さは異なります。拍子記号において、分数の分母とも言える小数点以下の数字、つまり拍の単位は、ほとんどの場合2の累乗です。

2つの音程の周波数比が2の累乗である場合、それらの音程間の音程は1 オクターブです。この場合、対応する音符は同じ名前を持ちます。

からの数学的一致は、平均律における7半音の音程と純正律の完全五度（約0.1%の誤差）とを密接に結び付けています。純正五度はピタゴラス音律の基礎であり、 12個の純正五度と7オクターブの差はピタゴラス・コンマです。^[¹⁰^] $2^{7}\approx ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\approx 3/2$

その他の特性

$n$ 個の二項係数の合計は $2 n$ です。n 桁 $の$ 二進整数の集合を考えてみましょう。その基数は $2 n$ です。これは、特定の部分集合の基数の合計でもあります。1 を含まない整数の部分集合（ $n$ 個の0 で表すと 1 つの数）、1 を含む部分集合、1 を 2 つ含む部分集合、そして $n個の 1 を含む部分集合（$ $n$ 個の 1 で表すと 1 の数）まで続きます。これらの各基数は、 $n$ でインデックス付けされた二項係数と、考慮されている 1 の数に等しくなります（例えば、10 桁の 10-choose-3 二項数には、ちょうど 3 つの 1 が含まれます）。

現在、ほぼ完全な数として知られているのは 2 の累乗だけです。

集合 $a$ のべき集合の基数は常に $2$ $|$ $a$ $|$ です。ここで、 $|$ $a$ $|は$ $a$ の基数です。

$n$ 次元超立方体の頂点の数は $2$ $n$ である。同様に、 $n$ 次元交差多面体の $($ $n$ $- 1)$ 面の数も $2$ $n$ $であり、 n$ 次元交差多面体が持つ $x$ 面の数の公式は $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

2の最初の累乗の和（から始まる）は次のように与えられる。 $n$ $1=2^{0}$

\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

任意の正の整数になります。 $n$

したがって、累乗の合計は

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

は、次のように評価するだけで計算できます(これは「チェス番号」です)。 $2^{64}-1$

2の累乗の逆数の和は1です。2の2乗（4の累乗）の逆数の和は1/3です。

10進数で7で始まる2の最小の自然数は次の通りである^{[ 11 ]。}

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

2のべき乗（1を除く）は、4つの平方数の和として24通りの書き方ができます。2のべき乗とは、1より大きい自然数のうち、4つの平方数の和として最も少ない書き方で表せる数です。

実多項式として、a ⁿ + b ^{n は、} nが 2 のべき乗である場合に限り、と既約になります。（ nが奇数の場合、a ⁿ + b ^{n は}a + bで割り切れます。また、 nが偶数だが 2 のべき乗でない場合は、n はn = mpと表すことができます。ここでm は奇数なので、となり、 a ^p + b ^pで割り切れます。）ただし、複素数の領域では、 nが 2 のべき乗であっても、多項式（n ≥ 1）は常にと因数分解できます。 $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $a^{2n}+b^{2n}$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$

すべての桁が偶数である2の累乗は、2 ¹ = 2、2 ² = 4、2 ³ = 8、2 ⁶ = 64、2 ¹¹ =のみです。2048。^{[ 12 ]}最後の桁以外が奇数となる2の累乗の最初の3つは、2 ⁴ = 16、2 ⁵ = 32、2 ^{9 = 512です。次に2}ⁿの形をとる2の累乗は、 nが少なくとも6桁である必要があります。すべての桁が異なる2の累乗は、2 ⁰ = 1から2 ¹⁵ =までです。32 768 , 2 ²⁰ =1 048 576と2 ²⁹ =536 870 912。

2の負の累乗

ハフマン符号は、ソースシンボルの確率がすべて2の負の累乗である場合に最適なロスレスデータ圧縮を実現します。 ^{[ 13 ]}

参照

参考文献

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[1] リップシュッツ、シーモア (1982).シャウムの『コンピュータ数学の基礎理論と課題』ニューヨーク: マグロウヒル. p. 3. ISBN 0-07-037990-4。

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[4] ガイ、リチャード・K.（2004）、「E24 無理数列」、数論における未解決問題（第3版）、シュプリンガー・フェアラーク、p.346、ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001 , 2016年4月28日アーカイブ

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[iword-6] ワードサイズはそれぞれ異なりますが、すべてのx86プロセッサは「ワード」という用語を16ビットの意味で使用します。したがって、32ビットのx86プロセッサはネイティブワードサイズをdwordと呼びます。

[7] 「Powers of 2 Table – Vaughn's Summaries」 www.vaughns-1-pagers.com 。 2015年8月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[8] Weisstein, Eric W. 「Zero」. MathWorldより。「Zero」 . 2013年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年5月29日閲覧。

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[12] Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A068994 (すべて偶数桁の2のべき乗)」 .オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.

[13] ハフマン符号化、出典: Fundamental Data Compression、2006年

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