アルタン・ヴェルディエ双対性

数学において、アルティン・ヴェルディエ双対性は、マイケル・アルティンとジャン＝ルイ・ヴェルディエ ( 1964 年)によって導入された、代数的数環のスペクトル上の構成可能なアーベル層の双対性定理であり、テイト双対性を一般化したものです。

これは、エタール（または平坦）コホモロジーに関する限り、数体内の整数環が3 次元の数学的オブジェクトのように振舞うことを示しています。

声明

Xを全虚数体Kの整数環のスペクトルとし、FをX上の構成可能なエタールアーベル層とする。このとき、米田ペアリング

${\displaystyle H^{r}(X,F)\times \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})\to H^{3}(X,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

は、任意の整数rに対して、有限アーベル群の非退化ペアリングです。

ここで、H ^r ( X, F ) はスキームXのFに値を持つr番目のエタールコホモロジー群であり、 Ext ^r ( F, G ) はX上のエタールアーベル層のカテゴリにおけるエタール層Fによるエタール層Gのr拡大の群です。さらに、G _{m は}Xの構造層の単位のエタール層を表します。

クリストファー・デニンガー （1986）は、構成可能だが必ずしも捩れ層ではない層に対してアルティン・ヴェルディエ双対性を証明した。そのような層Fに対して、上記のペアリングは同型性を誘導する。

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{r}(X,F)^{*}&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})&&r=0,1\\H^{r}(X,F)&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})^{*}&&r=2,3\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle (-)^{*}=\operatorname {Hom} (-,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$

有限平坦群スキーム

U を数体Kの整数環のスペクトルの開部分スキームとし、F をU上の有限平坦可換群スキームとする。このとき、カップ積は非退化ペアリングを定義する 。

${\displaystyle H^{r}(U,F^{D})\times H_{c}^{3-r}(U,F)\to H_{c}^{3}(U,{\mathbb {G} }_{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

すべての整数rに対して、有限アーベル群の。

ここでF ^{D は}Fのカルティエ双対を表し、これはU上の別の有限平坦可換群スキームである。さらに、は平坦アーベル層Fに値を持つスキームUのr次の平坦コホモロジー群であり、 は平坦アーベル層Fに値を持つUのコンパクトサポートを持つr次の平坦コホモロジーである。${\displaystyle H^{r}(U,F)}$ ${\displaystyle H_{c}^{r}(U,F)}$

コンパクト台を持つ平坦コホモロジーは、長完全列を生成するように定義される。

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{r}(U,F)\to H^{r}(U,F)\to \bigoplus \nolimits _{v\notin U}H^{r}(K_{v},F)\to H_{c}^{r+1}(U,F)\to \cdots }$

この和は、アルキメデス的位置を含む、KのUに含まれないすべての位置にわたってとられる。局所寄与H ^r ( K _v , F ) は、Kのv位置におけるヘンゼル化K _vのガロアコホモロジーであり、テイト法によって修正されている。

${\displaystyle H^{r}(K_{v},F)=H_{T}^{r}(\mathrm {Gal} (K_{v}^{s}/K_{v}),F(K_{v}^{s})).}$

これは分離可能な閉包である${\displaystyle K_{v}^{s}}$ ${\displaystyle K_{v}.}$

参考文献

• アルティン、マイケル、ヴェルディエ、ジャン＝ルイ(1964)、「数体のエタールコホモロジーに関するセミナー」、代数幾何学夏期講習会の講義録。ホイットニー邸、マサチューセッツ州ウッズホール。1964年7月6日～7月31日(PDF)、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。 2011年5月26日時点のオリジナル(PDF)よりアーカイブ。
• Deninger、Christopher (1986)、「非ねじり層への Artin-Verdier 双対性の拡張」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、366 : 18–31、doi : 10.1515/crll.1986.366.18、MR  0833011
• Mazur、Barry (1973)、「数体のエタール コホモロジーに関するメモ」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、Série 4、6 ( 4 ): 521–552、doi : 10.24033/asens.1257、ISSN  0012-9593、MR  0344254
• ミルン、ジェームズ・S.（2006）、算術双対定理（第2版）、BookSurge、LLC、pp. viii+339、ISBN 1-4196-4274-X