アトラクター

ストレンジアトラクターの視覚的表現。[ 1 ]同じ3Dアトラクターの別の視覚化がこのビデオです。これをレンダリングできるコードも利用可能です。

力学系という数学の分野において、アトラクターとは、系の初期条件が様々であるにもかかわらず、系が向かう傾向のある状態の集合のことである[ 2 ]。アトラクター値に十分近づく系の値は、たとえわずかな擾乱を受けても、その値に近いままである。

有限次元システムでは、発展変数はn次元ベクトルとして代数的に表現される。アトラクターはn次元空間内の領域である。物理システムでは、n次元は、例えば、1 つ以上の物理的実体のそれぞれに対する 2 つまたは 3 つの位置座標である。経済システムでは、インフレ率や失業率といった個別の変数である。

発展変数が2次元または3次元の場合、動的プロセスのアトラクターは2次元または3次元で幾何学的に表現できます（右に示す3次元の場合の例）。アトラクターは、点、有限の点の集合、曲線、多様体、さらにはフラクタル構造を持つ複雑な集合（ストレンジアトラクター（下記のストレンジアトラクターを参照））などです。変数がスカラーの場合、アトラクターは実数直線のサブセットです。カオス力学系のアトラクターを記述することは、カオス理論の成果の一つです。

アトラクター内の力学系の軌道は、時間的に前方へ向かってアトラクター上に留まるという制約以外、特別な制約を満たす必要はありません。軌道は周期的またはカオス的である可能性があります。点の集合が周期的またはカオス的であるにもかかわらず、近傍の流れがその集合から離れている場合、その集合はアトラクターではなく、リペラー（またはリペラー）と呼ばれます。

アトラクターの動機

力学系は一般に、1つ以上の微分方程式または差分方程式によって記述されます。与えられた力学系の方程式は、任意の短い期間におけるその挙動を規定します。より長い期間におけるシステムの挙動を決定するには、解析的手法または反復法を用いて方程式を積分する必要があり、多くの場合、コンピュータの助けを借ります。

物理世界における力学系は、散逸系から生じる傾向がある。つまり、何らかの駆動力がなければ、運動は停止する。（散逸は、内部摩擦、熱力学的損失、物質損失など、様々な原因によって生じる。）散逸と駆動力は均衡し、初期の過渡現象を抑制し、系を典型的な挙動に落ち着かせる傾向がある。力学系の位相空間において、典型的な挙動に対応する部分集合がアトラクターであり、これは吸引部または被吸引部とも呼ばれる。

不変集合と極限集合はアトラクターの概念に似ています。不変集合とは、力学の下で自分自身へと進化する集合です。[ 3 ]アトラクターは不変集合を含むことができます。極限集合とは、ある初期状態が存在し、時間が無限大に向かうにつれて極限集合（つまり集合の各点）に任意に近づくような点の集合です。アトラクターは極限集合ですが、すべての極限集合がアトラクターであるわけではありません。システムの一部の点が極限集合に収束することは可能ですが、他の点は極限集合からわずかに外れる摂動を受けると、はじき飛ばされてしまい、極限集合の近傍に戻らなくなる可能性があります。

例えば、減衰振り子には2つの不変点、すなわち最小高さの点x 0と最大高さの点x 1があります。点x 0は軌道が収束するため極限集合でもありますが、点x 1は極限集合ではありません。空気抵抗による散逸のため、点x 0はアトラクターでもあります。散逸がなければ、x 0 はアトラクターではありません。アリストテレスは、物体は押されている間だけ動くと考えており、これは散逸アトラクターの初期の定式化です。

いくつかのアトラクターはカオス的であることが知られており（ストレンジアトラクターを参照）、その場合、アトラクターの任意の2つの異なる点の進化は指数関数的に発散する軌道をもたらし、システム内に最小のノイズが存在する場合でも予測が複雑になります。[ 4 ]

数学的な定義

を時間、を系のダイナミクスを指定する関数とする。つまり、を次元位相空間内の点とし、系の初期状態を表すとすると、 となり、 が正の値であるとき、は単位時間後のこの状態の発展の結果となる。例えば、系が1次元における自由粒子の発展を記述する場合、位相空間は座標 を持つ平面であり、は粒子の位置、はその速度、 であり、発展は次のように与えられる。 t{\displaystyle t}f（t、⋅）{\displaystyle f(t,\cdot )}1つの{\displaystyle a}n{\displaystyle n}f（0、1つの）＝1つの{\displaystyle f(0,a)=a}t{\displaystyle t}f（t、1つの）{\displaystyle f(t,a)}t{\displaystyle t}R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}（×、v）{\displaystyle (x,v)}×{\displaystyle x}v{\displaystyle v}1つの＝（×、v）{\displaystyle a=(x,v)}

ジュリア集合の特定のパラメータ化における、関数f ( z ) =  z 2  +  cを反復する周期3の吸引サイクルとその直近の吸引域。最も暗い3点は3サイクルの点であり、これらは順に互いにつながっており、吸引域内の任意の点からの反復は、この3点のシーケンスへの（通常は漸近的な）収束につながる。
f（t、（×、v））＝（×+tv、v）。 {\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }

アトラクターは、次の 3 つの条件によって特徴付けられる 位相空間のサブセットです。あ{\displaystyle A}

  • あ{\displaystyle A}はに関して順方向不変です。がの要素である場合、も の要素であるため、すべての に対して順方向不変です。f{\displaystyle f}1つの{\displaystyle a}あ{\displaystyle A}f（t、1つの）{\displaystyle f(t,a)}t>0{\displaystyle t>0}
  • の近傍、つまり に対して吸引域と呼ばれるものが存在し、 と表記されます。これは、 の極限に「入る」すべての点から構成されます。より正式には、は位相空間内のすべての点の集合であり、以下の性質を持ちます。あ{\displaystyle A}あ{\displaystyle A}B（あ）{\displaystyle B(A)}b{\displaystyle b}あ{\displaystyle A}t→∞{\displaystyle t\to \infty }B（あ）{\displaystyle B(A)}b{\displaystyle b}
の任意の開近傍に対して、任意の実数 に対して となる正の定数 が存在します。北{\displaystyle N}あ{\displaystyle A}T{\displaystyle T}f（t、b）∈北{\displaystyle f(t,b)\in N}t>T{\displaystyle t>T}
  • 最初の 2 つの特性を持つ適切な (空でない) サブセットは存在しません。あ{\displaystyle A}

吸引域はを含む開集合を含むため、 に十分近いすべての点はに引き寄せられます。アトラクターの定義には位相空間上の計量が使用されますが、結果として得られる概念は通常、位相空間の位相のみに依存します。 の場合、通常はユークリッドノルムが使用されます。 あ{\displaystyle A}あ{\displaystyle A}あ{\displaystyle A}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

文献にはアトラクターの定義が数多く存在します。例えば、アトラクターが正の測度を持つこと（つまり点がアトラクターとなることを妨げること）を条件とする著者もいれば、近傍であることという条件を緩和する著者もいます。 [ 5 ]B（あ）{\displaystyle B(A)}

アトラクターの種類

アトラクターとは、力学系の位相空間の一部または部分集合である。1960年代までは、アトラクターは点、直線、面、三次元空間の単純な領域といった、位相空間の単純な幾何学的部分集合であると考えられていた。位相的にワイルドな集合など、単純な幾何学的部分集合として分類できないより複雑なアトラクターは当時から知られていたが、脆弱な例外と考えられていた。スティーブン・スメールは、彼の馬蹄形写像が堅牢であり、そのアトラクターがカントール集合の構造を持つことを示すことができた。

単純なアトラクターとして、不動点とリミットサイクルの2つがあります。アトラクターは、他の多くの幾何学的形状（位相空間の部分集合）をとることができます。しかし、これらの集合（あるいはその中の運動）が、基本的な幾何学的オブジェクト（例えば、直線、面、球、トーラス、多様体）の単純な組み合わせ（例えば、交差と和）として容易に記述できない場合、そのアトラクターはストレンジアトラクターと呼ばれます。

固定小数点

複素二次多項式に従って発展する複素数の弱吸引不動点。位相空間は水平面の複素平面であり、縦軸は複素平面上の点が訪れる頻度を表す。複素平面上のピーク周波数の真下の点が不動点アトラクターである。

関数または変換の不動点とは、関数または変換によってそれ自身にマッピングされる点のことです。力学系の発展を一連の変換と見なすと、各変換で固定されたままの点が存在する場合と存在しない場合があります。力学系が発展して向かう最終状態は、減衰振り子の底中央の位置、グラスの中で揺れている水の水位と平らな水線、転がるビー玉が入ったボウルの底中央など、その系の発展関数の吸引固定点に対応します。ただし、力学系の不動点は必ずしも系のアトラクターではありません。たとえば、転がるビー玉が入ったボウルをひっくり返し、ビー玉をボウルの上でバランスをとった場合、ボウルの底中央（現在は上部）は固定状態ですが、アトラクターではありません。これは、安定した平衡状態と不安定な平衡状態の違いに相当します。逆さまのボウル (丘) の上にあるビー玉の場合、ボウル (丘) の頂上の点は固定点 (平衡) ですが、アトラクター (不安定な平衡) ではありません。

さらに、少なくとも 1 つの固定点を持つ物理的な動的システムは、物理世界の力学の現実、つまりスティクション、摩擦、表面粗さ、変形(弾性と塑性の両方)、さらには量子力学などの非線形力学により、必ず複数の固定点とアトラクターを持ちます。[ 6 ]逆さまにしたボウルの上のビー玉の場合、ボウルが完全に半球形に見え、ビー玉が球形であっても、顕微鏡で調べるとはるかに複雑な表面であり、接触中に形状が変化または変形します。どのような物理的な表面も、複数の山、谷、鞍点、尾根、峡谷、平野からなる起伏のある地形を持つと見なすことができます。[ 7 ]この表面地形 (およびこの微視的な地形上を転がる同様に粗いビー玉の動的システム) には、静止点または固定点と見なされる点が多数あり、そのいくつかはアトラクターとして分類されます。

有限個の点

離散時間システムにおいて、アトラクターは有限個の点が順番に訪れる形をとることがあります。これらの点はそれぞれ周期点と呼ばれます。これはロジスティック写像によって示され、ロジスティック写像は、その特定のパラメータ値に応じて、1点、2点、2 n点、3点、3×2 n点、4点、5点、または任意の正の整数個の点からなるアトラクターを持つことができます。

リミットサイクル

リミットサイクルは、孤立した連続力学系の周期軌道です。これは周期アトラクターに関係します。例としては、振り子時計の振動や、静止時の心拍などがあります。理想的な振り子のリミットサイクルは、軌道が孤立していないため、リミットサイクルアトラクターの例ではありません。理想的な振り子の位相空間では、周期軌道の任意の点の近くに、異なる周期軌道に属する別の点が存在するため、以前の軌道は引き付けません。摩擦を受ける物理的な振り子の場合、静止状態は固定点アトラクターになります。時計の振り子との違いは、サイクルを維持するために 脱進機機構によってエネルギーが注入されることです。

ファンデルポールの位相図：引きつける限界サイクル

限界トーラス

リミットサイクルの状態を通るシステムの周期的な軌道には、複数の周波数が存在する場合があります。例えば、物理学では、ある周波数は惑星が恒星を周回する速度を規定し、別の周波数は2つの天体間の距離の振動を記述します。これらの周波数のうち2つが無理数（つまり不整合）を形成する場合、軌道は閉じられなくなり、リミットサイクルはリミットトーラスになります。この種のアトラクターは、不整合周波数がN t個ある場合、N tトーラスと呼ばれます。例えば、次の図は2次元トーラスです。

このアトラクターに対応する時系列は準周期系列である。これは、不整合な周波数を持つN t個の周期関数（必ずしも正弦波ではない）の離散的にサンプリングされた和である。このような時系列は厳密な周期性を持たないが、そのパワースペクトルは依然として鋭い線のみで構成される。

奇妙なアトラクター

値 ρ  = 28、  σ  = 10、  β  = 8/3に対するローレンツのストレンジ アトラクターのプロット

アトラクターはフラクタル構造、つまりハウスドルフ次元が非整数の場合、ストレンジアトラクターと呼ばれます。ストレンジアトラクター上のダイナミクスがカオスである場合はよく当てはまりますが、非カオス的なストレンジアトラクターも存在します。ストレンジアトラクターがカオスで、初期条件に敏感な依存性を示す場合、アトラクター上の任意の2つの任意の近い代替初期点は、さまざまな回数の反復の後に、任意に離れた点（アトラクターの制限による）につながり、さらにさまざまな回数の反復の後に、任意に接近した点につながります。したがって、カオスアトラクターを持つ動的システムは、局所的には不安定ですが、大域的には安定しています。つまり、いくつかのシーケンスがアトラクターに入ると、近くの点は互いに離れますが、アトラクターから離れることはありません。[ 8 ]

ストレンジアトラクタという用語は、流体の流れを記述するシステムの一連の分岐から生じるアトラクタを説明するために、デイヴィッド・ルーエルとフロリス・テイケンスによって造語された。 [ 9 ]ストレンジアトラクタは多くの場合、いくつかの方向で微分可能であるが、カントールダストのように微分不可能な場合もある。ストレンジアトラクタはノイズの存在下でも発見される可能性があり、その場合、シナイ・ルーエル・ボーエン型の不変ランダム確率測度を支持することが示されることがある。[ 10 ]

奇妙なアトラクターの例には、二重スクロール アトラクター、ヘノン アトラクター、レスラー アトラクター、ローレンツ アトラクターなどがあります。

アトラクターはシステムの進化を特徴づける

ロジスティックマップの分岐図。からのパラメータ の値に対するアトラクターが、の縦軸上に表示されます。点の色は、 10 6回の反復処理中にその点が何回訪問されたかを示します。頻繁に出現する値は青、あまり出現しない値は黄色で表示されます。の周囲で分岐が発生し、 の周囲で2つ目の分岐（4つのアトラクター値につながる）が見られます。 のダイナミクスは次第に複雑になり、より単純な動作の領域（白い縞模様）が点在します。r{\displaystyle r}[2.4、4]{\displaystyle [2.4,4]}0<×<1{\displaystyle 0<x<1}（r、×）{\displaystyle (r,x)}r≈3.0{\displaystyle r\approx 3.0}r≈3.5{\displaystyle r\approx 3.5}r>3.6{\displaystyle r>3.6}

動的システムの動作は、そのパラメータまたは初期条件の選択によって影響を受けることがあります。と定義されるロジスティック マップは、1 つのパラメータ に依存するシステムのよく研究された例です。 のさまざまな値に対するアトラクターを図に示します。 が小さい場合、アトラクターは単一の固定点であり、分岐図では 1 本の線で示されます。 の他の選択では、 の複数の値が引き付けられる場合があります。固定点 では が 2 つに分裂し、周期倍分岐中に周期 2 サイクルが生成されます。が増加すると、周期倍増カスケードによってカオスが発生し、アトラクターは無限個の点から構成されることを意味します。周期 3 では 軌道が見つかります。シャルコフスキーの定理から、システムには任意の自然周期の軌道が存在することがわかります。したがって、1 つの動的方程式は、パラメータの選択に応じて大きく異なるアトラクターを持つことができます。 ×n+1＝r×n（1−×n）{\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}r{\displaystyle r}r{\displaystyle r}r{\displaystyle r}r{\displaystyle r}×{\displaystyle x}r≈3{\displaystyle r\approx 3}r{\displaystyle r}r≈3.83{\displaystyle r\approx 3.83}

吸引盆地

アトラクターの吸引域は位相空間の領域であり、反復が定義される領域であり、その領域内の任意の点（任意の初期条件）は漸近的にアトラクターに反復される。安定した線形システムでは、位相空間内のすべての点は吸引域内にある。しかし、非線形システムでは、一部の点は無限大に直接または漸近的に写像される一方で、他の点は異なる吸引域内にあり、漸近的に異なるアトラクターに写像される。また、他の初期条件は吸引されない点またはサイクル内にあるか、直接写像される場合がある。[ 11 ]

線形方程式または線形システム

一変数線形同次差分方程式は、 0 以外のすべての初期点から無限大に発散します。つまり、アトラクターは存在せず、したがって吸引域も存在しません。しかし、数直線上のすべての点が漸近的に（または 0 の場合は直接的に）0 に写像される場合、0 はアトラクターであり、数直線全体が吸引域となります。 ×t＝1つの×t−1{\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}|1つの|>1{\displaystyle |a|>1}|1つの|<1{\displaystyle |a|<1}

同様に、正方行列に関する同次形式の動的ベクトルにおける線形行列差分方程式は、の最大固有値の絶対値が1より大きい場合、動的ベクトルのすべての要素が無限大に発散します。つまり、アトラクターも吸引域も存在しません。しかし、最大固有値の大きさが1未満の場合、すべての初期ベクトルは漸近的にゼロベクトル（アトラクター）に収束します。つまり、潜在的な初期ベクトルの次元空間全体が吸引域となります。 X{\displaystyle X}Xt＝あXt−1{\displaystyle X_{t}=AX_{t-1}}あ{\displaystyle A}あ{\displaystyle A}n{\displaystyle n}

同様の特徴は線型微分方程式にも当てはまります。スカラー方程式は、の場合、ゼロを除くのすべての初期値が無限大に発散しますが、の場合、 は値 0 のアトラクターに収束し、数直線全体が 0 の吸引域となります。また、行列系は、行列の固有値が正であれば、ゼロのベクトルを除くすべての初期点から発散しますが、すべての固有値が負であれば、ゼロのベクトルは、その吸引域が位相空間全体となるアトラクターとなります。 d×/dt＝1つの×{\displaystyle dx/dt=ax}×{\displaystyle x}1つの>0{\displaystyle a>0}1つの<0{\displaystyle a<0}dX/dt＝あX{\displaystyle dX/dt=AX}あ{\displaystyle A}

非線形方程式またはシステム

非線形の方程式やシステムは、線形システムよりも多様な動作を引き起こす可能性があります。一例として、非線形式の根を求めるニュートン法が挙げられます。式に複数の実根がある場合、反復アルゴリズムのいくつかの開始点は漸近的にいずれかの根に至り、他の開始点は別の根に至ります。式の根の吸引域は一般に単純ではありません。つまり、1 つの根に最も近い点がすべてそこに写像され、近くの点からなる吸引域が形成されるというわけではありません。吸引域の数は無限であり、任意の小ささになることがあります。たとえば、[ 12 ]関数 では、次の初期条件が連続する吸引域にあります。 f（×）＝×3−2×2−11×+12{\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12}

ニュートン法を使用してx 5 − 1 = 0 を解くための複素平面内の吸引域を示すニュートンフラクタル。 同じ色の領域内の点は同じ根にマッピングされます。暗い色は、収束するのにより多くの反復が必要であることを意味します。
2.35287527 は 4 に収束します。
2.35284172は-3に収束します。
2.35283735 は 4 に収束します。
2.352836327は-3に収束します。
2.352836323 は 1 に収束します。

ニュートン法は複素関数の根を求めるのにも適用できます。各根は複素平面上に吸引域を持ちます。これらの吸引域は図のように写像できます。ご覧のとおり、特定の根の複合吸引域は、多くの不連続な領域を持つことがあります。多くの複素関数では、吸引域の境界はフラクタルです。

偏微分方程式

放物型偏微分方程式は有限次元アトラクターを持つことがあります。方程式の拡散部分は高周波成分を減衰させ、場合によっては大域アトラクターへとつながります。ギンツブルグ・ランダウ方程式、クラモト・シヴァシンスキー方程式、そして2次元の強制ナビエ・ストークス方程式は、いずれも有限次元の大域アトラクターを持つことが知られています。

周期境界条件を持つ3次元の非圧縮ナビエ・ストークス方程式の場合、それがグローバルアトラクターを持つ場合、このアトラクターは有限次元になります。[ 13 ]

参照

参考文献

  1. ^ Desprez, Nicolas. 「Chaoscope > Gallery」 . www.chaoscope.org . 2023年9月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年12月21日閲覧。
  2. ^ Weisstein, Eric W. 「アトラクター」 . MathWorld . 2021年5月30日閲覧。
  3. ^ Carvalho, A.; Langa, JA; Robinson, J. (2012).無限次元非自律動的システムのアトラクター. 第182巻. Springer. p. 109.
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  12. ^デンス、トーマス、「キュービック、カオス、ニュートン法」、数学ガゼット81、1997年11月、403-408。
  13. ^ Geneviève Raugel、「偏微分方程式におけるグローバルアトラクター」、 動的システムハンドブック、Elsevier、2002年、885〜982ページ。

さらに読む

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