バラヤージュ

数学の一分野であるポテンシャル理論において、バレイヤージュ（フランス語：balayage「走査、掃引」に由来）は、アンリ・ポアンカレによって考案された、ある領域内の調和関数をその領域の境界上の値から再構築する方法である。^{[ 1 ]}

現代的な用語で言えば、バレイヤージュ演算子は、閉領域上の測度を 境界上の測度に写像し、とのニュートンポテンシャルが の外側で一致するようにします。この手順は、質量が から境界上に 「掃き出される」ことからバレイヤージュと呼ばれます。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle D}$

におけるのバレイアージュはに対応する調和測度を与える。するとにおける調和関数の値は に等しい。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \delta_{x}}$ ${\displaystyle \nu_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{\partial D}f(y)\,d\nu _{x}(y).}$$

例

イメージ法によって発見された、平らな導電面上の正電荷の場。

重力においては、ニュートンの殻定理がその一例です。内の固体球体内の均一な質量分布を考えてみましょう。この質量分布を球体（球体）の表面に拡散させることで、均一な表面質量密度が得られます。球体外部の重力ポテンシャルは、元の固体球体と押し出された表面質量の両方で等しくなります。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial B}$

静電気学において、鏡像電荷法は「逆」バレイジの一例です。無限遠の接地された導電面からある距離にある点電荷を考えてみましょう。導電面上の電荷の効果は、「逆バレイジ」されて、平面に対する鏡像位置に ある単一の「鏡像電荷」となります。${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -q}$

参考文献

1. Solomentsev, ED (2001) [1994], 「Balayage法」 ,数学百科事典, EMS Press

• ポアンカレ、H. (1890)。「物理数学の基礎的な方程式」。アメリカ数学ジャーナル。12 (3): 211–294。土井: 10.2307/2369620。ISSN  0002-9327。

• ポアンカレ、アンリ (1899)。ル・ロ、エドゥアール。ヴィンセント、ジョルジュ (編)。テオリ・デュ・ポタンシエル・ニュートン。 Leçons professées à la Sorbonne ペンダント le premier semestre 1894–1895 [ニュートン ポテンシャルの理論。 1894 ～ 1895 年の最初の学期にソルボンヌ大学で行われた講義] (フランス語)。パリ：ジョルジュ・カレとC.ノー。
• B. Gustafsson (2002). 「Balayageに関する講義」(PDF)。Sirkka-Liisa Eriksson編著『クリフォード代数とポテンシャル理論：2002年6月24～28日にメクリヤルヴィで開催されたサマースクールの議事録』。報告書シリーズ。ヨエンスー：ヨエンスー大学数学部。pp.  17～ 63。2025年3月2日閲覧。