整流子収集プロセス
数学の一分野である群論において、交換子集合過程とは、群の元を生成元とその高次の交換子を特定の順序で並べた積として表す手法である。交換子集合過程は1934年にフィリップ・ホールによって提唱され[ 1 ] 、 1937年にヴィルヘルム・マグヌスによって明確にされた[ 2 ]。 この過程は「集合過程」と呼ばれることもある。
この過程を一般化することで、自由非結合代数の全順序部分集合、すなわち自由マグマを定義することができる。この部分集合はホール集合と呼ばれる。ホール集合の要素は二分木であり、これらはワードと一対一に対応して配置することができ、これらはホールワードと呼ばれる。リンドンワードは特別なケースである。ホール集合は、交換子収集過程と全く同様に、自由リー代数の基底を構築するために使用される。ホールワードはまた、モノイドの一意の因数分解を提供する。
声明
交換子収集プロセスは通常、自由群に対して述べられます。これは、自由群の 商として記述することによって、任意の群に対して同様の定理が成り立つためです。
F 1 が生成元a 1 , ..., a m上の自由群であるとする。降順中心級数を次のように 定義する。
- F n +1 = [ F n , F 1 ]
基本的な交換子は、次のように定義され順序付けられたF 1の要素です。
- 重み 1 の基本的な交換子は、生成子a 1、...、 a mです。
- 重みw > 1の基本交換子は 、要素 [ x、 y ] です。ここで、xとy は、重みの合計がwになる基本交換子であり、x > yであり、基本交換子uとvに対してx = [ u、 v ] であれば、 v ≤ yとなります。
交換子は、 xの重みがyの重みよりも大きい場合、 x > yとなるように順序付けられ、任意の固定重みの交換子に対して、何らかの全順序付けが選択されます。
すると、F n / F n +1は、重みnの基本交換子からなる基底を持つ 有限生成自由アーベル群になります。
するとFの任意の要素は次のように書ける。
ここで、c i は、順序付けられた最大でmの重みの基本交換子であり、 cはmより大きい重みの交換子の積であり、n iは整数です。
参照
参考文献
- ^ホール、フィリップ（1934）「素数冪順序群の理論への貢献」、ロンドン数学会報、36：29-95、doi：10.1112/plms/s2-36.1.29
- ^ W. Magnus (1937)、「Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren」、 J. Grelle 177、105-115。
読む
- ホール、マーシャル（1959）、群論、マクミラン、MR 0103215
- Huppert, B. (1967)、Endliche Gruppen (ドイツ語)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 90–93、ISBN 978-3-540-03825-2、MR 0224703、OCLC 527050
