自由リー代数

数学において、体K上の自由リー代数は、交代K双線型性とヤコビ恒等式の定義関係以外の関係を課さずに、集合Xによって生成されるリー代数です。

意味

集合Xによって生成される自由リー代数の定義は次のとおりです。

X を集合とし、Xからリー代数Lへの集合の射（関数）とする。リー代数LがX上で自由であるとは、 が普遍射であることを意味する。つまり、集合の射を持つ任意のリー代数Aに対して、 となる唯一のリー代数射が存在することを意味する。私:X→L{\displaystyle i\colon X\to L}私{\displaystyle i}f:X→あ{\displaystyle f\colon X\to A}グラム:L→あ{\displaystyle g\colon L\to A}f＝グラム∘私{\displaystyle f=g\circ i}

集合Xが与えられれば、 Xによって生成される唯一の自由リー代数が存在することが示せます。 L（X）{\displaystyle L(X)}

圏論の言語において、集合XをXによって生成されるリー代数へ送る関数は、集合の圏からリー代数の圏への自由関数である。つまり、忘却関数の左随伴関数である。

集合X上の自由リー代数は自然に次数付きである。自由リー代数の 1 次成分は、その集合上の自由ベクトル空間そのものである。

あるいは、体K上のリー代数から体K上のベクトル空間への忘却関手の左随伴としてベクトル空間V上の自由リー代数を定義することもできます。つまり、リー代数構造は忘却しますが、ベクトル空間構造は記憶します。

普遍包絡代数

集合X上の自由リー代数の普遍包絡代数は、 Xによって生成される自由結合代数である。ポアンカレ＝バーコフ＝ウィットの定理によれば、これは自由リー代数の対称代数と「同じ大きさ」である（つまり、両辺がXの元に次数1を与えることで次数付けされている場合、それらは次数付きベクトル空間として同型である）。これは、任意の次数の自由リー代数の断片の次元を記述するために使用できる。

エルンスト・ヴィットは、 m元集合上の自由リー代数におけるk次基本交換子の数はネックレス多項式で与えられることを示した。

Mメートル（け）＝1け∑d|けμ（d）⋅メートルけ/d、{\displaystyle M_{m}(k)={\frac {1}{k}}\sum _{d|k}\mu (d)\cdot m^{k/d},}

ここで、はメビウス関数です。 μ{\displaystyle \mu }

有限集合上の自由リー代数の普遍包絡代数の次数付き双対はシャッフル代数である。これは本質的に、普遍包絡代数がホップ代数の構造を持ち、シャッフル積がこの代数における余乗法の作用を記述することから導かれる。シャッフル積と余乗法の相互関係に関する詳細な説明については、 テンソル代数を参照のこと。

ホールセット

自由リー代数の明示的な基底は、ホール集合によって与えることができる。ホール集合は、 X上の自由マグマの内部にある特別な種類の部分集合である。自由マグマの元は二分木であり、その葉はXの元でラベル付けされる。ホール集合は、フィリップ・ホールの群に関する研究に基づき、 マーシャル・ホール ( 1950 )によって導入された。その後、ヴィルヘルム・マグヌスは、ホール集合が、下中心級数によって与えられる自由群上の濾過に関連付けられた次数付きリー代数として生じることを示した。この対応は、フィリップ・ホールとウィットによる 群論における交換子恒等式に触発されて生まれた。

リンドン基盤

リンドン語はホール語の特殊なケースであり、したがって特にリンドン語に対応する自由リー代数の基底が存在する。これはロジャー・リンドンにちなんでリンドン基底と呼ばれる。（これはチェン・フォックス・リンドン基底またはリンドン・シャーショフ基底とも呼ばれ、本質的にはシャーショフ基底と同じである。）順序付けられたアルファベットのリンドン語からこのアルファベット上の自由リー代数の基底への全単射γが存在し、これは次のように定義される。

  • 単語wの長さが 1 の場合(自由リー代数の生成元として考えられます)。γ(w)=w{\displaystyle \gamma (w)=w}
  • wの長さが2以上であれば、リンドン語u、vをvを可能な限り長く記述する（「標準因数分解」[ 1 ]）。すると、w=uv{\displaystyle w=uv}γ(w)=[γ(u),γ(v)]{\displaystyle \gamma (w)=[\gamma (u),\gamma (v)]}

シルショフ・ウィットの定理

アナトリー・シルショフ （1953年）とウィット （1956年）は、自由リー代数の 任意のリー部分代数はそれ自体が自由リー代数であることを示した。

アプリケーション

半単純リー代数に関するセールの定理は、自由リー代数を使用して、生成元と関係から半単純代数を構築します。

リンク群のミルナー不変量は、その記事で説明されているように、リンクの成分上の自由リー代数と関連しています。

オペラドの構築における自由リー代数の使用については、 リー オペラドも参照してください。

参照

参考文献

  1. ^ Berstel, Jean; Perrin, Dominique (2007)、「単語における組合せ論の起源」(PDF)、European Journal of Combinatorics、28 (3): 996– 1022、doi : 10.1016/j.ejc.2005.07.019、MR  2300777
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