ベアリング圧力

軸受圧力は、接触力学の特殊なケースであり、凸面（雄円筒または球）が凹面（雌円筒または球：ボアまたは半球状カップ）に接触する場合によく発生します。過度の接触圧力は、ピーニングに類似した塑性変形など、典型的な軸受破損につながる可能性があります。この問題は、軸受抵抗とも呼ばれます。^{[ 1 ]}

仮説

オス側（凸面）とメス側（凹面）の接触は、曲率半径が互いに近い場合に考えられます。締め付けはなく、接合部は摩擦なしで滑りますので、接触力は接触面の接線に対して 垂直になります。

さらに、ベアリング圧力は、ジョイントの中心に向かう ラジアル力によって電荷を記述できる場合にのみ制限されます。

シリンダー同士の接触の場合

シリンダー間の接触におけるベアリング圧力。

回転ジョイントまたはヒンジジョイントの場合、オスシリンダとメスシリンダの間に接触が生じます。複雑さは状況によって異なり、以下の3つのケースが区別されます。

• クリアランスはごくわずかです。
  • a) 部品は剛体である、
  • b) 部品は弾性体である。
• c) クリアランスが無視できず、部品が弾性体である。

「無視できるクリアランス」とは、通常、H7/g6フィットを意味します。

シリンダーの軸はZ軸に沿っており、オスのシリンダーには 2 つの外力が適用されます。

• y軸に沿った力、荷重。${\displaystyle {\vec {F}}}$
• ボアの作用（接触圧力）。

主な懸念事項は、 Z軸に沿って均一に分散されるボアとの接触圧力です。

表記:

• Dは雄シリンダーと雌シリンダーの公称直径である。^{[ 2 ]}
• Lはガイド長さです。

無視できるクリアランスと剛体

均一な支持圧力: クリアランスを無視できる剛体の場合。

この最初のモデルでは、圧力は均一です。これは次の式に等しくなります。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle P={\frac {F}{D\times L}}={\frac {\mathrm {ラジアル\荷重} }{\mathrm {投影面積} }}}$ 。

証拠

この結果を得るには 2 つの方法があります。

静水圧のある流体内で平衡状態にある半円筒形物体。

まず、均一な静水圧が作用する流体中の半円筒を考えてみましょう。平面に作用する力が曲面に作用する力と等しいとき、平衡状態が達成されます。平面はD × Lの長方形であるため、

F = P × ( D × L )

qed

表面要素 d Sへの圧力による基本力 d Fには、 d F _xと d F _{y の}2 つの成分があります。

次に、圧力の基本力を積分します。円筒形部品上に、母線に平行な小さな面 dS を考えます。その長さはLで、角度 θ と θ + dθ で囲まれています。この小さな面要素は、寸法がL × (dθ × D /2)の平らな長方形とみなすことができます。この面にかかる圧力は、

d F = P × d S = ⁠1/2⁠ × P × D × L × dθ

( y , z ) 平面は鏡映対称面であるため、この力のx方向の合成は対称面要素上の力によって打ち消されます。この力のy方向の合成は次式に等しくなります。

d F _y = cos(θ) d F = ⁠1/2⁠ × cos(θ) × P × D × L × dθ。

結果として生じる力は

${\displaystyle F_{y}=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\times P\times D\times L\times \cos(\theta )\times \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}\times P\times D\times L\times \left[\sin(\theta )\right]_{-\pi /2}^{\pi /2}=P\times D\times L}$

qed

この計算は、圧力がかかった円筒形容器の場合と同様です。

無視できるクリアランスと弾性体

正弦波再分配による支持圧力: クリアリングを無視できる弾性体の場合。

部品が弾性変形すると考えられる場合、接触圧力は均一ではなくなり、正弦波状の分布に変化する：^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

P (θ) = P_最大⋅cos θ

と

${\displaystyle P_{\mathrm {max} }={\frac {4}{\pi }}\cdot {\frac {F}{LD}}}$ 。

これは次のセクション（θ ₀ = π/2）の特殊なケースです。

最大圧力は均一圧力の場合に比べて 4/π ≃ 1.27 倍大きくなります。

クリアランスと弾性体

クリアランスを考慮する必要がある弾性体の場合の支持圧力。

クリアランスを無視できない場合、オス側との接触は半円筒面全体ではなく、2θ _{0 の}角度に限定されます。圧力はフックの法則に従います。^{[ 9 ]}

P (θ) = K ⋅δ ^α (θ)

どこ

• Kは材料の剛性を表す正の実数です。
• δ(θ)は角度θにおける接触点の半径方向の変位である。
• αは材料の挙動を表す係数です。
  • 金属の場合α = 1（純粋に弾性的な挙動）、
  • ポリマーの場合、α > 1（粘弾性または粘塑性挙動）。

圧力は次のように変化します。

A ⋅cosθ - B

ここで、AとBは正の実数です。最大圧力は

${\displaystyle P_{\mathrm {max} }={\frac {4F}{LD}}\times {\frac {1-\cos \theta _{0}}{2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0}}}}$

角度 θ _{0 の単位は}ラジアンです。

剛性係数Kと半接触角θ _{0 は}理論から導くことはできません。測定する必要があります。与えられたシステム（直径と材質）において、与えられたK値とクリアランスj値に対して、曲線θ ₀ = ƒ( F /( DL )) が得られます。

証拠

オス・メスシリンダーが接触した場合の弾性変形。

圧力、クリアランス、接触角の関係

部品番号 1 は包含シリンダ ( 雌、凹状 ) であり、部品番号 2 は包含シリンダ ( 雄、凸状 ) であり、シリンダiの中心はO _i、その半径はR _iである。

基準位置は、両方の円筒が同心円状になっている理想的な状態です。クリアランスは半径（直径ではなく）で表され、以下の式で表されます。

j = R ₁ - R ₂。

荷重を受けると、部品2は部品1に接触し、表面が変形します。円筒2は剛体（変形なし）、円筒1は弾性体と仮定します。部品2の部品1への圧痕の深さはδ _maxです。円筒の移動量はe（偏心）です。

e = O ₁ O ₂ = j + δ_最大.

円筒1の中心座標系（O ₁ , x , y）を考える。Mを接触面上の点とし、θを角度（- y , O ₁ M）とする。表面の変位δは以下のように表される。

δ(θ) = O ₁ M - R ₁。

ここで δ(0) = δ _{maxである。M}の座標は以下である。

M (( R ₁ + δ(θ)・sin θ) ; -( R ₁ + δ(θ))・cos θ)

O ₂の座標：

O ₂（0; - e）。

座標系 ( O ₁ , u , v ) を考えます。ここで、軸uは ( O ₁ M ) です。この座標系における座標は以下のとおりです。

M ( R ₁ + δ(θ) ; 0)

O ₂ ( e ⋅cos θ ; - e ⋅sin θ)

私たちは知っている

${\displaystyle {\overrightarrow {O_{1}M}}={\overrightarrow {O_{1}O_{2}}}+{\overrightarrow {O_{2}M}}}$

したがって

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}R_{1}+\delta (\theta )&=&e\cdot \cos \theta +R_{2}\cos \varphi \\0&=&-e\cdot \sin \theta +R_{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.}$

次にeとR ₁ = j + R ₂の式を使用します。

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}j+R_{2}+\delta (\theta )&=&(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +R_{2}\cos \varphi \\0&=&-(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta +R_{2}\sin \varphi \end{整列}}\右。}$

弾性領域にあるため、変形は小さい。したがって、δ _max ≪ R ₁であり、したがって |φ| ≪ 1、すなわち

cosφ≃1

sin φ ≃ φ （ラジアン）

したがって

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +R_{2}-(j+R_{2}+\delta (\theta ))&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -R_{2}\cdot \varphi &=&0\end{整列}}\右。}$

そして

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -R_{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.}$

θ = θ ₀、δ(0) = 0 で最初の式は

${\displaystyle (j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta _{0}-j=0\Rightarrow \delta _{\max }={\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\Leftrightarrow \cos \theta _{0}={\frac {j}{j+\delta _{\max }}}}$

そしてこうして

${\displaystyle \left(j+{\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\right)\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )=0}$

${\displaystyle \Longrightarrow \delta (\theta )=j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)}$ [1] .

金属の弾性の法則（α = 1）を用いると、

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}P(\theta )&=&K\cdot j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)\\P_{\max }&=&K\cdot j\cdot {\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\end{aligned}}\right.}$ [2]

圧力はcosθの アフィン関数です。

P(θ) = A ⋅cosθ - B

ここで、A = K ⋅ j /cos θ ₀、B = A ⋅cos θ ₀。

クリアランスを無視できるケース

j ≃ 0 (R ₁ ≃ R ₂ )の場合には、接触は全半周にわたっている：2θ ₀ ≃ π かつ cos θ _{0 ≃ 0。1/cos θ 0}の値は無限大に向かって上昇し、したがって

${\displaystyle \delta (\theta )\simeq j{\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}}$

jとcos θ _0はどちらも0に近づくため、 jが0に近づくとj /cos θ ₀の比は定義されません。機械工学において、j = 0は不確実な適合であり、数学的にも機械的にも意味がありません。私たちは極限関数を探しています。

${\displaystyle P_{\pi /2}(\theta )=\lim _{\theta _{0}\to \pi /2}P_{\theta _{0}}(\theta )}$ 。

したがって、圧力はθの正弦関数です。

${\displaystyle P(\theta )=K\cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}\cdot \cos \theta }$

したがって

P (θ) = P_最大⋅cos θ

と

${\displaystyle P_{\max }=K\cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}}$ 。

θとθ + dθで囲まれた表面d Sの微小要素を考える。一様圧力の場合と同様に、

d F _y (θ) = cos(θ)d F = ⁠1/2⁠ × cos(θ) × P (θ) × D × L × dθ = ⁠1/2⁠ × cos ² (θ) × P _max × D × L × dθ。

-π/2 と π/2 の間を積分すると、結果は次のようになります。

${\displaystyle F=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\mathrm {d} F_{y}(\theta )\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}P_{\max }DL\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }$

次のことが分かっています（例えば、オイラーの公式を使用）。

${\displaystyle \int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{4}}\left[2\theta +\sin 2\theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {1}{2}}\left[\theta +\sin \theta \cos \theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {\pi }{2}}}$

したがって

${\displaystyle F={\frac {\pi }{4}}P_{\max }DL}$

そしてこうして

${\displaystyle P_{\max }={\frac {4}{\pi }}{\frac {F}{DL}}}$

qed

クリアランスを無視できない場合

表面の微小要素にかかる力は次のようになります。

d F (θ) = P (θ)d S = K δ(θ)d S = ⁠1/2⁠ × K × j × cos θ/cos θ ₀ - 1) × d S

${\displaystyle \mathrm {d} F_{y}={\frac {Kj}{2}}\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)DL\cos \theta \mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle F={\frac {KjDL}{2}}\int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos \theta _{0}}}-\cos \theta \right)\mathrm {d} \theta ={\frac {KjDL}{2}}\left[{\frac {\theta +\sin \theta \cos \theta }{2\cos \theta _{0}}}-\sin \theta \right]_{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}}$

したがって

${\displaystyle F={\frac {KjDL}{2}}\left({\frac {2\theta _{0}+2\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{2\cos \theta _{0}}}-2\sin \theta _{0}\right)={\frac {KjDL}{2}}\left({\frac {\theta _{0}-\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\right)}$ 。

三角関数の恒等性sin 2θ = 2 sin θ cos θ を認識します。

${\displaystyle F={\frac {KjDL}{4\cos \theta _{0}}}(2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})}$

したがって

${\displaystyle K={\frac {4F\cos \theta _{0}}{jDL(2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})}}}$

したがって：

${\displaystyle P_{\max }=Kj{\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}={\frac {4F}{DL}}\times {\frac {1-\cos \theta _{0}}{2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0}}}}$

qed

球と球の接触の場合

球と球が接触する場合の支持圧力。

球-球接触は、ボールジョイント式シリンダーサドルなどの球面ジョイント（ソケット/ボール）に対応します。また、ベアリングボールの状態も記述できます。

均一圧力の場合

ケースは上記と同様です。部品を剛体とみなし、クリアランスを無視できる場合、圧力は均一であると想定されます。投影面積を考慮して計算することもできます。^{[ 3 ] [ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle P={\frac {F}{\pi R^{2}}}={\frac {\mathrm {radial\ load} }{\mathrm {projected\ area} }}}$ 。

正弦波圧力再分配の例

円筒同士の接触の場合と同様に、部品が無視できるクリアランスを持つ弾性体としてモデル化されると、圧力は正弦波の再分配でモデル化できる。^{[ 6 ] [ 12 ]}

P (θ, φ) = P _max ⋅cos θ

と

${\displaystyle P={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {F}{\pi R^{2}}}}$ 。

ヘルツ接触応力

雄シリンダーと雌シリンダーが接触する場合のヘルツ接触応力。

クリアランスを無視できない場合は、半接触角θ ₀の値を知る必要があります。これは単純な方法では決定できないため、測定する必要があります。この値が不明な場合は、ヘルツの接触理論を使用することができます。

ヘルツ理論は通常、表面が適合できない、つまり弾性変形によって互いにフィットしない場合にのみ有効です。つまり、一方の表面が凸型で、もう一方も凸面である必要があります。ただし、外側のシリンダーが凹型であるため、この場合は当てはまりません。したがって、結果は慎重に検討する必要があります。近似は、容器の内半径R ₁が内容物の外半径R ₂よりもはるかに大きい場合にのみ有効です。この場合、容器の表面は内容物によって平らに見えます。ただし、すべての場合において、ヘルツ理論で計算される圧力は実際の圧力よりも大きくなります (モデルの接触面が実際の接触面よりも小さいため)。これにより、設計者に設計の安全マージンが与えられます。

この理論では、雌部分（凹面）の半径は負である。^{[ 13 ]}

曲率の​​相対直径は次のように定義されます。

${\displaystyle {\frac {1}{d^{*}}}={\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}$

ここで、d ₁は雌部品の直径（負）、d _{2 は}雄部品の直径（正）である。等価弾性係数も次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}}$

ここで、ν _iは部品iの材料のポアソン比、E _iはヤング率です。

シリンダー同士の接触の場合、接触面の幅は次のようになります。

${\displaystyle b=\left({\frac {2F}{\pi L}}\cdot {\frac {d^{*}}{E^{*}}}\right)^{1/2}}$

最大圧力は中央にあります。

${\displaystyle P_{\max }={\frac {2F}{\pi bL}}={\sqrt {\frac {2FE^{*}}{\pi Ld^{*}}}}}$ 。

雄球と雌球が接触する場合のヘルツ接触応力。

球と球の接触の場合、接触面は半径が次の円盤になります。

${\displaystyle a=\left({\frac {3F}{8}}\cdot {\frac {d^{*}}{E^{*}}}\right)^{1/3}}$

最大圧力は中央にあります。

${\displaystyle P_{\max }={\frac {3F}{\pi a^{2}}}={\frac {4}{\pi }}{\sqrt[{3}]{3F\left({\frac {E^{*}}{d^{*}}}\right)^{2}}}}$ 。

アプリケーション

ストッパーとして使用されるボルト

ボルトの貫通穴にかかる支持圧力。2枚のプレートが1列に重なり、ボルトが1列の場合。

ユーロコード 3 規格に従ってボルト接続を設計するために使用される寸法。

ボルト接合において、ボルトの役割は通常、一方の部品を他方の部品に押し付けることです。この密着力（摩擦力）は接線力に対抗し、部品の滑り出しを防ぎます。しかし、場合によっては密着力が十分でないことがあります。その場合、ボルトはストッパーの役割を果たします。ねじはせん断応力に耐え、穴は軸受け圧力に耐えます。

材料の支持圧力を高めるには、いくつかの要因を考慮する必要があります。最も効果的な方法の一つは、材料の表面積を増やすことです。表面積を増やすことで、荷重がより広い面積に分散され、支持圧力が低下します。

適切な設計では、ねじのねじ山部分は小さく、滑らかな部分のみがプレートと接触するようにします。肩付きねじの場合、ねじと穴の間の隙間は非常に小さくなります（隙間が無視できる剛体の場合）。材料の許容圧力限界P _{lim 、部品の厚さ}t、ねじの直径dが既知である場合、1本のボルトの最大許容接線力F _b、Rd（ボルト1本あたりの設計支持抵抗）は次の式で表されます。

F _b、Rd = P _lim × d × t。

この場合、許容圧力限界は、ユーロコード3規格に従って、極限引張応力f _uと安全係数から計算されます。^{[ 1 ] [ 14 ]} 1つの重なりと1列のボルトを持つ2枚のプレートの場合、式は次のようになります。

P _lim = 1.5 × f _u /γ _M2

どこ

• γ _M2 = 1.25: 部分安全率。

より複雑な状況では、式は次のようになります。

P _lim = k ₁ × α × f _u /γ _M2

どこ

• k ₁と α は、ベアリング圧力過負荷以外の破損モードを考慮した係数です。k _{1 は}接線力に垂直な効果を考慮し、α は力に沿った効果を考慮します。
• 端部ボルトの場合k ₁ = min{2.8 e ₂ / d ₀  ; 2.5}、 内側ボルトの場合 k ₁ = min{1.4 p ₂ / d _{0 ; 2.5}、}
  • e ₂ : 締結穴の中心から部品の隣接する端までの端距離（荷重伝達方向に対して直角に測定）
  • p ₂ : 荷重伝達方向に垂直に測定された、隣接する線間の間隔

ファスナー、

• • d ₀ : 貫通穴の直径;
• α = min{ e ₁ /3 d ₀  ; p ₁ /3 d ₀ - 1/4 ; f _ub / f _u  ; 1}、ただし
  • e ₁ : 締結穴の中心から部品の隣接する端までの端距離（荷重伝達方向に測定）、
  • p ₁ : 荷重伝達方向における締結具の中心間の間隔、
  • f _ub :ボルトの指定された最大引張強度。

通常構造用鋼の極限引張応力^{[ 1 ] [ 14 ]}

鋼種（EN規格）	S235	S275	S355
極限引張応力f u (MPa)	360	430	510

部品が木材の場合、許容限界圧力は約4～8.5MPaである。^{[ 15 ]}

滑り軸受

滑り軸受では、通常、摩擦を低減するためにシャフトはブッシング（スリーブまたはフランジ）と接触します。回転速度が遅く、荷重がラジアル方向である場合は、均一圧力モデル（小さな変形とクリアランス）を使用できます。

軸受圧力と円周方向の滑り速度の積は荷重係数PVと呼ばれ、摩擦熱に対する材料の抵抗能力の推定値です。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

許容軸受圧力^{[ 19 ]}

ブッシングの種類最大周方向滑り速度	許容軸受圧力（MPa）
自己潤滑ブッシェル7～8 m/sグラファイトの場合は13 m/s	グラファイト：5鉛青銅：20～30錫青銅：7～35
複合ブッシング、氷河2～3 m/s	アセタール：70 PTFE：50
ポリマーブッシング2～3 m/s	7～10

参考文献

1. EN 1993-1-8:2005ユーロコード 3：鋼構造物の設計 - パート1-8：接合部の設計
2. クリアランスのため、ボアの直径はオスシリンダーの直径よりも大きいですが、直径は互いに近いと仮定します。
3. SG 2003、p. 139
4. GCM 2000、177ページ
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8. リチャード・G・ブディナス、キース・J・ニスベット、ジョセフ・エドワード・シグリー (2011). 『シグリーの機械工学設計』（第9版）. ニューヨーク: マグロウヒル. pp. 664, eq. 12-31. ISBN 978-0-07-352928-8. OCLC  436031178 .
9. オーブリン 1992、120–122ページ、137–138ページ
10. GCM 2000、110～111ページ
11. オーブリン 1992、108、144–145ページ
12. オーブリン 1992、120–122ページ、145–150ページ
13. ファンション 2001、467–471 ページ
14. サンチュリエ、フランシーヌ。 「C-viii ブーロンの集合体」。Construction Métallique 2 (PDF) (フランス語)。 IUT グルノーブル I. 2011 年 11 月 25 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2015 年 12 月 4 日に取得。
15. MB (2007年4月). 「アッサンブラージュ」 . Wiki de l'Unité Construction de Gramme (フランス語). 2015年11月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年11月25日閲覧。
16. ファンション 2011、p. 255
17. シュヴァリエ 2004、258ページ
18. GCM 2000、pp. 113–116, 176–181
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参考文献

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