ベルトラミ方程式

数学において、ベルトラミ方程式はエウジェニオ・ベルトラミにちなんで名付けられた偏微分方程式である。

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial {\bar {z}}}}=\mu {\frac {\partial w}{\partial z}}.}$

は、ある開集合 における複素変数の複素分布で、導関数は局所的にL ²であり、 はL ^∞ ( U )内の与えられた複素関数で、ノルムが 1 より小さい、ベルトラミ係数と呼ばれ、 とはWirtinger 導関数です。古典的には、この微分方程式は、解析リーマン計量を持つ面上の等温座標の局所的存在を証明するためにガウスによって使用されました。この方程式を解くために、さまざまな手法が開発されてきました。1950 年代に開発された最も強力な手法は、C上の方程式の大域的解を提供し、すべての 1 < p < ∞ に対してL ^p ( C )上で定義される特異積分演算子であるBeurling 変換のL ^p理論に依存しています。同じ方法が単位円板と上半平面にも同様に当てはまり、タイヒミュラー理論と準等角写像の理論で基本的な役割を果たしています。この方程式を用いて、可測リーマン写像定理や同時均一化定理など、様々な均一化定理を証明できる。また、ベルトラミ方程式を用いて、共形溶接の存在も導出できる。最も単純な応用の一つは、複素平面上の単連結な有界開領域に対するリーマン写像定理である。領域が滑らかな境界を持つ場合、この方程式の楕円正則性を用いて、単位円板から領域への均一化写像が、閉円板から領域の閉包までのC∞関数 ^に拡張されることを示すことができる。${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \partial /\partial z}$ ${\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}$

平面領域上の計量

2次元リーマン多様体、たとえばその上に ( x , y ) 座標系があるとします。その面上の定数xの曲線は、通常、定数yの曲線と直交しません。新しい座標系 ( u , v ) は、定数uの曲線が定数vの曲線と直交し、さらにパラメータ間隔が同じである場合、つまりh が十分に小さい場合、およびを含む小領域が長方形に近いだけでなく、正方形に近い場合、等温座標系を構成するために解く必要がある方程式です。ベルトラミ方程式は、等温座標系を構築するために解く必要がある方程式です。 ${\displaystyle a\leq u\leq a+h}$ ${\displaystyle b\leq v\leq b+h}$

これがどのように動作するかを見るために、SをCの開集合とし、

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}$

S上の滑らかな計量gとする。gの第一基本形は

${\displaystyle \displaystyle g(x,y)={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$

は、 xとyに応じて滑らかに変化する正の実数行列 ( E > 0、G > 0、EG − F ² > 0) です。

計量gのベルトラミ係数は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle \mu (x,y)={E-G+2iF \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}$

この係数は、恒等式が成り立つため、絶対値が1未満である。

${\displaystyle \displaystyle (E-G+2iF)(EG-2iF)=(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})(E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}})}$

は、

${\displaystyle \displaystyle |\mu |^{2}={E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}} \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}1.}$

f ( x , y ) =( u ( x , y ), v ( x , y )) をC内の別の開集合TへのSの滑らかな微分同相写像とする。写像fは、ヤコビアンが正の場合にのみ向きを保存する。

${\displaystyle \displaystyle u_{x}v_{y}-v_{x}u_{y}>0.}$

そして、fを使ってSに引き戻すと、T上の標準ユークリッド計量ds ² = du ² + dv ^2はS上に次に示す 計量を誘導する。

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=du^{2}+dv^{2}=(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})\,dx^{2}+2(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})\,dx\,dy+(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})\,dy^{2},}$

最初の基本形式が

${\displaystyle \displaystyle {\begin{pmatrix}u_{x}^{2}+v_{x}^{2}&u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}\\u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}&u_{y}^{2}+v_{y}^{2}\end{pmatrix}}.}$

fが方向を保存し、元の計量gと正の滑らかに変化するスケール係数r ( x、y ) のみが異なる計量を引き起こす場合、 fによってS上に定義される新しい座標uとvは等温座標と呼ばれます。

これがいつ起こるかを判断するために、 fを複素変数の複素数値関数f ( x + i y ) = u ( x + i y ) + i v ( x + i y )として再解釈し、 Wirtinger導関数を適用できるようにします。

$ここで、z は x と y の積であり、z は dx と dx-i の積である。$

以来

${\displaystyle \displaystyle f_{z}=((u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y}))/2}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\overline {z}}=((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y}))/2,}$

fによって誘導される計量は次のように与えられる。

$ds^{2}=|f_{z}\,dz+f_{\overline {z}}d{\overline {z}}|^{2}=|f_{z}|^{2}\,\left|dz+{f_{\overline {z}} \over f_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2}.}$

この誘導メトリックのベルトラミ商は と定義されます。 ${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}}$

のベルトラミ商は、元の計量gのベルトラミ係数とちょうど 同じである。${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu (z)}$

${\displaystyle \displaystyle ((u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y})){\bigl (}E-G+2iF{\bigr )}}$

${\displaystyle =((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y})){\bigl (}E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}{\bigr )}.}$

この恒等式の実部と虚部は線形関係にあり、を解くと次のようになる。 ${\displaystyle u_{x},}$ ${\displaystyle u_{y},}$ ${\displaystyle v_{x},}$ ${\displaystyle v_{y},}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle v_{y}}$

${\displaystyle \displaystyle u_{y}={\frac {Fu_{x}-{\sqrt {EG-F^{2}}}\,v_{x}}{E}}\quad {\text{and}}\quad v_{y}={\frac {{\sqrt {EG-F^{2}}}\,u_{x}+Fv_{x}}{E}}.}$

したがって、fによって誘導される計量はr ( x , y ) g ( x , y )となり、これは正である。一方、 fのヤコビアンはとなり、これも正である。したがって、fによって与えられる新しい座標系は等温となる。 ${\displaystyle r=(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})/E,}$ ${\displaystyle r{\sqrt {EG-F^{2}}},}$ ${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}=\mu (z),}$

逆に、等温座標を与える 微分同相写像fを考えてみましょう。すると、

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\frac {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})-(u_{y}+v_{y})^{2}+2i(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})}{(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})+(u_{y}^{2}+v_{y})^{2}+2{\sqrt {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})-(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})^{2}}}}},}$

ここで、スケール係数r ( x , y )は消え、平方根の中の式は完全な平方根である。fは等温座標を与えるために方向を保存する必要がある ので、ヤコビアンは正の平方根である。したがって、 ${\displaystyle u_{x}^{2}v_{y}^{2}-2u_{x}v_{x}u_{y}v_{y}+v_{x}^{2}u_{y}^{2}.}$ ${\displaystyle u_{x}v_{y}-v_{x}u_{y}}$

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\frac {{\bigl (}(u_{x}+iu_{y})+i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+iu_{y})-i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}}{{\bigl (}(u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+v_{y})-i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}}}.}$

分子と分母の右側の因子は等しく、ヤコビアンは正なので、それらの共通の値はゼロにはならない。${\displaystyle \mu (z)=f_{\overline {z}}/f_{z}.}$

したがって、微分同相写像fによって与えられる局所座標系は、fがベルトラミ方程式を解くときに等温となる。${\displaystyle \mu (z).}$

分析指標のための等温座標

ガウスはベルトラミ方程式を複素領域における常微分方程式に簡約することで、解析的なケースにおいて局所的に等温座標が存在することを証明した。^{[ 1 ]} ここにガウスの手法の簡単な説明がある。

等温座標系、例えば原点( x , y ) = (0, 0)の近傍は、次式を満たす複素数値関数f ( x , y ) の実部と虚部で与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}} \over f_{z}}=\mu (z)={\frac {E-G+2iF}{E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}.}$

をそのような関数とし、を複素変数の複素数値関数で、その正則関数で導関数が零でないものと仮定する。任意の正則関数は恒等的に零と なるので、${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{\overline {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\psi \circ f)_{\overline {z}}}{(\psi \circ f)_{z}}}&={\frac {(\psi _{z}\circ f)f_{\overline {z}}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{\overline {z}}}}}{(\psi _{z}\circ f)f_{z}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{z}}}}}={\frac {f_{\overline {z}}}{f_{z}}}=\mu (z).\end{aligned}}}$

したがって、 の実部と虚部によって与えられる座標系も等温座標系である。実際、 を固定して一つの等温座標系を与えると、あらゆる可能な等温座標系は、 が零でない導関数を持つ様々な正則な に対してによって与えられる。 ${\displaystyle \psi \circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi \circ f}$ ${\displaystyle \psi }$

E、F、Gが実解析的である場合、ガウスは特定の等温座標系を構築しました。これは、 すべてのxに対して となる座標系です。したがって、彼の等温座標系のu軸は元の座標系のx軸と一致し、同様にパラメータ化されます。したがって、他のすべての等温座標系は、非零の導関数を持つ正則な の形になります。 ${\displaystyle h(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),}$ ${\displaystyle h(x,0)=x}$ ${\displaystyle \psi \circ h}$ ${\displaystyle \psi }$

ガウスはq ( t )を次の常微分方程式を満たす 実変数tの複素数値関数とします。

${\displaystyle \displaystyle q'(t)={\frac {-F-i{\sqrt {EG-F^{2}}}}{E}}(q(t),t),}$

ここで、 E、F、Gはy = tおよびx = q ( t )において評価されます。ある初期値sに対してq ( s )の値を指定すると、この微分方程式はtがsより小さいか大きいかにかかわらず、 q ( t )の値を決定します。ガウスは等温座標系hを、 h ( x , y )を点( x , y )を通る微分方程式の解の経路に沿って設定することで定義し、q ( y )= xとします。 ${\displaystyle q(0)}$

この規則は、開始条件がq (0)= xとなるため、 h ( x , 0)を に設定する。より一般的には、ある点( x , y )から無限小ベクトル( dx , dy )だけ移動する場合を考える。ここで、dxとdyは次式を満たす 。${\displaystyle x}$

${\displaystyle \displaystyle E\,dx+(F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy=0.}$

なので、ベクトル( dx , dy )は点( x , y )を通る微分方程式の解曲線に接する。計量は解析的であると仮定しているので、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle q'(t)=dx/dy}$

${\displaystyle \displaystyle dh=c(x,y){\bigl (}E\,dx+(F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy{\bigr )}}$

滑らかな複素数値関数に対しては 、 ${\displaystyle c(x,y)=a(x,y)+ib(x,y).}$

${\displaystyle \displaystyle h_{z}=((aE+bF+a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE-aF+b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2}$

${\displaystyle \displaystyle h_{\overline {z}}=((aE-bF-a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE+aF-b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2.}$

商を求め、分子と分母に、分母の複素共役である を掛けます。結果を簡略化すると、 ${\displaystyle h_{\overline {z}}/h_{z}}$ ${\displaystyle {\overline {h_{z}}}}$

${\displaystyle \displaystyle {h_{\overline {z}} \over h_{z}}={\frac {(a^{2}+b^{2})E\;(E-G+2iF)}{(a^{2}+b^{2})E\;(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})}}={\frac {E-G+2iF}{E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}=\mu (z).}$

したがって、ガウス関数hは目的の等温座標を与えます。

滑らかなベルトラミ係数のL ²における解

最も単純なケースでは、ベルトラミ方程式はヒルベルト空間法とフーリエ変換のみを用いて解くことができる。この証明法はL ^p空間を用いた一般解の原型であるが、アドリアン・ドゥアディはヒルベルト空間のみを用いて一般の場合を扱う方法を示している。この方法は、準等角写像の古典理論に基づき、p > 2のL ^p理論において自動的に得られるヘルダー推定値を確立する。 ^{[ 2 ]} Tを、L ²関数fのフーリエ変換上に乗算演算子として定義されたL ² ( C ) 上のベーリング変換と する。

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {Tf}}(z)={{\overline {z}} \over z}{\widehat {f}}(z).}$

これはユニタリ作用素であり、fがL ^{2に偏微分を持つ}C上の緩和超関数である場合、

${\displaystyle \displaystyle T(f_{\overline {z}})=f_{z},}$

ここで、下付き文字は複素偏微分を表します。

オペレータの 根本的な解決策

${\displaystyle D=\partial _{\overline {z}}}$

は分布によって与えられる

${\displaystyle \displaystyle {E(z)={1 \over \pi z},}}$

C上の局所積分可能な関数。したがって、シュワルツ関数f上では

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}(E\star f)=f.}}$

C上のコンパクト台超関数についても同様である。特に、fがコンパクト台を持つL ²関数である場合、そのコーシー変換は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {Cf=E\star f,}}$

は局所的に平方積分可能である。上記の式は次のように書ける。

${\displaystyle \displaystyle {(Cf)_{\overline {z}}=f.}}$

さらに、fとCfを分布として考えると、

${\displaystyle \displaystyle (Cf)_{z}=Tf.}$

実際、演算子Dはフーリエ変換ではiz /2による乗算として与えられ、演算子C はその逆数による乗算として与えられます。

ベルトラミ方程式では

${\displaystyle \displaystyle f_{\overline {z}}=\mu f_{z},}$

μコンパクトサポートのスムーズな機能 で、設定

${\displaystyle \displaystyle g(z)=f(z)-z}$

gの1次導関数がL ²であると仮定する。h = g _z = f _z – 1 とすると、

${\displaystyle \displaystyle h=g_{z}=T(g_{\overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu }$

AとBが次のように定義される演算子である 場合

${\displaystyle \displaystyle {AF=T\mu F,\,\,\,\,BF=\mu TF}}$

すると、それらの演算子ノルムは1未満となり、

${\displaystyle \displaystyle {(I-A)h=T\mu .}}$

したがって

${\displaystyle \displaystyle {h=(I-A)^{-1}T\mu ,\,\,\,T^{*}h=(I-B)^{-1}\mu }}$

ここで右辺はノイマン級数として展開できる。したがって、

${\displaystyle \displaystyle {g_{\overline {z}}=T^{*}h,}}$

μおよびgと同じ台を持つ。したがってfは次のように与えられる 。

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=CT^{*}h(z)+z.}}$

楕円正則性を使用して、 fが滑らかであると推測できるようになりました。

実際、μのサポートから外れると、

${\displaystyle \displaystyle \partial _{\overline {z}}f=0,}$

したがって、ワイルの補題 により、fは| z | > Rに対して正則である。f = CT*h + zであるので、 | z | が∞に近づく につれて、 f は一様に0に近づく。

しかしながら、滑らかさを証明するための楕円正則性の議論はどこでも同じであり、トーラス上のL ^{2ソボレフ空間の理論を用いている。 [ 3 ]} ψ をC上のコンパクトな台の滑らかな関数とし、 μの台の近傍で 1 に等しく、 F = ψ fと設定する。 Fの台は大きな正方形 | x |, | y | ≤ R上にあるので、正方形の反対側の辺を同一視することで、Fとμ はトーラスT ²上の超関数かつ滑らかな関数とみなせる。構成により、FはL ² ( T ² )に含まれる。 T ²上の超関数として、次の式が成り立つ 。

${\displaystyle \displaystyle F_{\overline {z}}=\mu F_{z}+GF,}$

ここでGは滑らかである。L ² ( T ² )の標準基底e _m （ mはZ + i Zに属す）において、

${\displaystyle \displaystyle {Ue_{m}={{\overline {m}} \over m}e_{m}\,\,(m\neq 0),Ue_{0}=e_{0}.}}$

したがってUはユニタリであり、三角多項式または滑らかな関数P

${\displaystyle \displaystyle {U(P_{\overline {z}})=P_{z}.}}$

同様に、これは各ソボレフ空間H _k ( T ² )上のユニタリにも拡張され、同じ性質を持つ。これは、ベーリング変換のトーラス上における対応物である。フレドホルム作用素の標準理論によれば、 I – μ UおよびI – U μに対応する作用素は各ソボレフ空間上で可逆である。一方、

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{z}(I-U\mu )F=UG.}}$

UG は滑らかなので、( I – μU ) Fも滑らかであり、したがってFも滑らかです。

したがって、元の関数fは滑らかである。C = R ²のそれ自身への写像とみなすと、ヤコビアンは次のようになる 。

${\displaystyle \displaystyle {J(f)=|f_{z}|^{2}-|f_{\overline {z}}|^{2}=|f_{z}|^{2}(1-|\mu |^{2}).}}$

このヤコビアンがAhlfors (1966)の古典的な議論によれば消えることはない。実際、 f _z = e ^kと正式に書くと、

${\displaystyle \displaystyle {k_{\overline {z}}=\mu k_{z}+\mu _{z}.}}$

このkに関する方程式は、上記と同じ方法で解くことができ、∞で0に近づく解が得られる。一意にh + 1 = e ^kとなるので、

${\displaystyle \displaystyle {J(f)=(1-|\mu |^{2})|e^{2k}|}}$

はどこにも消滅しない。fはリーマン球面C ∪ ∞ の自身への滑らかな写像を誘導し、これは局所的に微分同相写像となるので、fは微分同相写像でなければならない。実際、f は球面の連結性により全射でなければならない。なぜなら、その像は開部分集合かつ閉部分集合であるからである。しかし、被覆写像として、f は球面の各点を同じ回数被覆しなければならない。∞ のみが∞に写像されるので、fは一対一である。

解fは準共形微分同相写像である。これらは群を形成し、そのベルトラミ係数は以下の規則に従って計算できる。^{[ 4 ]}

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{g\circ f^{-1}}\circ f={f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}{\mu _{g}-\mu _{f} \over 1-{\overline {\mu _{f}}}\mu _{g}}.}}$

さらに、f (0) = 0かつ

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=f(z^{-1})^{-1},}}$

その後^{[ 5 ]}

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{g}(z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}\mu _{f}(z^{-1}).}}$

この式は、リーマン面上ではベルトラミ係数は関数ではないという事実を反映している。w = w ( z )の正則座標変換の下では、係数は次のように変換される 。

${\displaystyle \displaystyle {{\widetilde {\mu }}(w)=(w^{\prime }/{\overline {w^{\prime }}})\cdot \mu (z).}}$

このように球面上の滑らかなベルトラミ係数を定義し、μ がそのような係数である場合、滑らかなバンプ関数ψ を 0 の近くで 0 に等しく、| z | > 1 で 1 に等しく、0 ≤ ψ ≤ 1 を満たすものとすれば、μ は2 つのベルトラミ係数の和として表すことができます。

${\displaystyle \displaystyle {\mu =\psi \mu +(1-\psi )\mu =\mu _{0}+\mu _{\infty }.}}$

g を0 と ∞ を係数μ _∞で固定した球面の準共形微分同相写像とする 。λをC上のコンパクト台のベルトラミ係数とし、次のように定義される 。

${\displaystyle \displaystyle \lambda (z)=\left[{\mu _{0} \over 1-\mu {\overline {\mu _{\infty }}}}{g_{z} \over {\overline {g_{z}}}}\right]\circ g^{-1}(z).}$

f が係数 λ で 0 と ∞ を固定した球面の準等角微分同相写像である場合、上記の変換式は、 f g ^{−1 が係数}μで 0 と ∞ を固定した球面の準等角微分同相写像であることを示しています。 ${\displaystyle \circ }$

ベルトラミ方程式の解は、係数μが追加の対称性を持つ場合、上半平面または単位円板の微分同相写像に制限されます。^{[ 6 ]} 2つの領域はメビウス変換（ケーリー変換）によって関連付けられているため、2つのケースは本質的に同じです。

上半平面Im z > 0において、μが

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\overline {\mu ({\overline {z}})}},}$

すると、ベルトラミ方程式の 解fは一意に次の式を満たす。

${\displaystyle \displaystyle f(z)={\overline {f({\overline {z}})}},}$

したがって、実軸と上半平面は不変になります。

同様に単位円板 | z | < 1 の場合、μが

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}{\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}},}$

すると、ベルトラミ方程式の 解fは一意に次の式を満たす。

${\displaystyle \displaystyle {f(z)={\overline {f({\overline {z}}^{-1})}}^{-1},}}$

したがって、単位円と単位円は不変になります。

逆に、境界上でこれらの条件を満たす上半平面または単位円板の閉包上に定義されたベルトラミ係数は、上記の公式を用いて「反射」することができます。拡張された関数が滑らかであれば、前述の理論を適用できます。そうでない場合、拡張は連続ですが、境界で導関数にジャンプが生じます。その場合、測定可能な係数μに関するより一般的な理論が必要であり、これは L ^p理論の中で最も直接的に扱われます。

滑らかなリーマン写像定理

U を複素平面上の単連結開領域とし、その内部に 0 を含む滑らかな境界を持つものとし、Fを単位円板DのU上への微分同相写像とし、この微分同相写像は境界まで滑らかに延長し、近傍 0 上の恒等写像となるものとする。さらに、単位円板の閉包上の誘導計量を単位円に反映させてC上の滑らかな計量を定義できるとする。対応するベルトラミ係数はC上の滑らかな関数となり、0 と ∞ の近くで消失し、次式を満たす 。

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}{\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}}^{-1}.}$

Cの準 共形微分同相写像hは

${\displaystyle \displaystyle {h_{\overline {z}}=\mu (z)h_{z}}}$

単位円とその内円および外円が保存される。ベルトラミ係数の合成公式から

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{F\circ h^{-1}}=0,}}$

となるので、 f = F h ^−1はDとUの閉包間の滑らかな微分同相写像となり、内部で正則となる。したがって、適切な微分同相写像Fが構成できれば、写像fは領域Uに対する滑らかなリーマン写像定理を証明する。 ${\displaystyle \circ }$

上記の性質を持つ微分同相写像Fを生成するために、アフィン変換後にUの境界の長さが 2π であり、 0 がUに含まれると仮定することができる。シェーンフライスの定理の滑らかなバージョンは、 Dの閉包からuの閉包への滑らかな微分同相写像Gを生成する。これは 0 の近傍上の恒等写像に等しく、単位円の管状近傍上の明示的な形式を持つ。実際、極座標 ( r , θ )をR ²に取り、 ( x ( θ ), y ( θ )) ( θ in [0,2 π ]) を ∂ Uの弧長による媒介変数化とすると、Gは次の形式を持つ 。

${\displaystyle \displaystyle G(r,\theta )=(x(\theta )-(1-r)y^{\prime }(\theta ),y(\theta )+(1-r)x^{\prime }(\theta )).}$

t = 1 − rをパラメータとして、単位円近傍の誘導計量は次のように与えられる。

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=(1+t\kappa (\theta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle \kappa (\theta )=y^{\prime \prime }(\theta )x^{\prime }(\theta )-x^{\prime \prime }(\theta )y^{\prime }(\theta )}$

平面曲線の曲率（x（θ）、y（θ）） である。

させて

${\displaystyle \displaystyle \alpha ={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\,d\theta ,\,\,\,h(\theta )=\kappa (\theta )-\alpha .}$

t座標の変数変換と計量の共形変換の後、計量は次の形を取る。

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=(1+t\psi (t)h(\theta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},}$

ここでψはtの解析的実数値関数である。

${\displaystyle \displaystyle \psi (t)=1+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots }$

( θ , t ) を ( f ( θ , t ), t ) に写す形式的な微分同相写像は、 tにおける形式的な冪級数として定義できる。

${\displaystyle \displaystyle f(\theta ,t)=\theta +f_{1}(\theta )t+f_{2}(\theta )t^{2}+\cdots =\theta +g(\theta ,t)}$

ここで、係数f _nは円周上の滑らかな関数である。これらの係数は漸化式によって定義することができ、変換された計量の係数にはtの偶数べき乗のみが含まれる。この条件は、形式的な冪級数展開において tの奇数べき乗が現れないことを要求することによって課される。

${\displaystyle \left[1+t\psi (t)\left(\sum _{n\geq 0}h^{(n)}g^{n}/n!\right)\right]\cdot \left[(1+g^{\prime })\,d\theta +\left(\sum _{n\geq 1}nf_{n}t^{n-1}\right)\,dt\right].}$

ボレルの補題により、単位円の近傍t = 0 に定義される微分同相写像が存在し、その形式表現f ( θ , t ) はt変数におけるテイラー級数展開となる。したがって、この微分同相写像と合成した後、直線t = 0 で鏡映して得られる計量の拡大は滑らかとなる。

ホルダーのソリューションの連続性

ドゥアディらは、L ^{2理論を拡張し、ベルトラミ係数}μが有界かつ測定可能で、 L ^∞ノルムk が1より厳密に小さい場合の解の存在と一意性を証明する方法を示した。彼らのアプローチは、準等角写像理論を用いて、固定されたコンパクト台を持つ滑らかなベルトラミ方程式の解が一様ヘルダー連続であることを直接証明した。 [ 7 ] ^{L pアプローチ}では、^ヘルダー連続性は作用素理論から自動的に導かれる。

μがコンパクト台を持たない滑らかな場合のL p^理論は、L ²の場合と同様に進行する。カルデロン・ジグムント理論によれば、ベーリング変換とその逆変換は L ^pノルムに対して連続であることが知られている。リース・トーリンの凸性定理は、ノルムC ^pがpの連続関数であることを意味する。特に、p が2 に近づくとき、 C _{p も}1 に近づく。

ベルトラミ方程式では

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}}=\mu f_{z},}}$

μコンパクトサポートのスムーズな機能 で、設定

${\displaystyle \displaystyle g(z)=f(z)-z}$

gの1階微分がL ^pであると仮定する。h = g _z = f _z – 1 とする。すると

${\displaystyle \displaystyle {h=g_{z}=T(g_{\overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu .}}$

AとBがAF = TμFとBF = μTFで定義される演算子である場合、それらの演算子ノルムは1未満であり、( I − A ) h = T μです。したがって、

${\displaystyle \displaystyle h=(I-A)^{-1}T\mu ,\,\,\,T^{-1}=(I-B)^{-1}\mu }$

ここで右辺はノイマン級数として展開できる。したがって、

${\displaystyle \displaystyle g_{\overline {z}}=T^{-1}h,}$

μおよびgと同じ台を持つ。したがって、定数を加えるまでは、fは次のように与えられる。

${\displaystyle \displaystyle f(z)=CT^{-1}h(z)+z.}$

p > 2の場合のL ^pノルムで固定されたコンパクトサポートを持つ関数の収束は、 L ^{2での収束を意味するため、} p > 2の場合、これらの式は L ²理論と互換性があります。

コーシー変換Cは、平均消失振動関数への写像を除いてL ²上で連続ではない。 ^{[ 8 ]} L ^p上では、適切な定数を加えると、その像はヘルダー指数1 − 2 p ⁻¹を持つヘルダー連続関数に含まれる。実際、コンパクトな台を持つ関数fに対して、次のように定義される 。

${\displaystyle {\begin{aligned}Pf(w)&=Cf(w)+\pi ^{-1}\iint _{\mathbf {C} }{f(z) \over z}\,dx\,dy\\[4pt]&=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f(z)\left({1 \over z-w}-{1 \over z}\right)\,dx\,dy=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }{f(z)w \over z(z-w)}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$

定数はPf (0) = 0となるように加算されている点に注意する。PfはCfと定数だけ異なるので、 L ²理論と全く同じように、

${\displaystyle \displaystyle (Pf)_{\overline {z}}=f,\,\,\,(Pf)_{z}=Tf.}$

さらに、Cの代わりにP を使用してソリューションを生成することもできます。

${\displaystyle \displaystyle f(z)=PT^{-1}h(z)+z.}$

一方、Pfを定義する積分関数は、 q ⁻¹ = 1 − p ⁻¹のときL ^qに含まれる。ヘルダー不等式は、 Pfが明示的な推定値を持つヘルダー連続であることを意味する。

${\displaystyle \displaystyle |Pf(w_{1})-Pf(w_{2})|\leq K_{p}\|f\|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p},}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle K_{p}=\|z^{-1}(z-1)^{-1}\|_{q}/\pi .}$

p > 2 で十分2に近い任意のpに対して、 C _p k <1となる。したがって、( I − A ) ⁻¹と( I − B ) ⁻¹のノイマン級数は収束する。Pのヘルダー推定値は、ベルトラミ方程式の正規化解について以下の一様推定値を与える。

${\displaystyle \displaystyle |f(w_{1})-f(w_{2})|\leq {K_{p} \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\|\mu \|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p}+|w_{1}-w_{2}|.}$

μが| z | ≤ Rでサポートされている場合、

${\displaystyle \displaystyle \|\mu \|_{p}\leq (\pi R^{2})^{1/p}\|\mu \|_{\infty }.}$

w ₁ = z、w ₂ = 0と設定すると、| z | ≤ R

${\displaystyle \displaystyle |f(z)|\leq \left[1+{K_{p}\pi ^{1/p}\|\mu \|_{\infty } \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\right]\cdot R=CR,}$

ここで、定数C > 0 はμのL ^{∞ノルムのみに依存する。したがって、} f ⁻¹のベルトラミ係数は滑らかであり、 z | ≤ CRでサポートされている。これはfのベルトラミ係数と同じ L ^∞ノルムを持つ。したがって、逆微分同相写像も一様ヘルダー推定を満たす。

測定可能なベルトラミ係数の解

存在

ベルトラミ方程式の理論は、測定可能なベルトラミ係数μに拡張できる。簡単のため、 μの特別なクラス（ほとんどの応用に十分である）のみを考える。すなわち、滑らかな開集合 Ω （正則集合）で補集合 Λ が測度ゼロの閉集合（特異集合）である関数である。したがって、 Λ は、任意の小さな面積の開集合に含まれる閉集合である。| z | < Rのコンパクトな台を持つ測定可能なベルトラミ係数μに対して、ベルトラミ方程式の解は、滑らかなベルトラミ係数の解の極限として得られる。^{[ 9 ]}

_{実際、この場合、特異集合 Λ はコンパクトである。0 ≤ φ n} ≤ 1 を満たすコンパクト台を持つ滑らかな関数 φ _nをとる。これは Λ の近傍では 1、それよりわずかに大きい近傍では 0 となり、 n が増加するにつれて Λ に縮小する。

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{n}=(1-\varphi _{n})\cdot \mu .}}$

μ n_は| z | < Rでコンパクト台を持つ滑らかなものであり、

${\displaystyle \displaystyle {\|\mu _{n}\|_{\infty }\leq \|\mu \|_{\infty }.}}$

μ n_は、 p < ∞ の任意のL ^pノルムでμに近づきます。

ベルトラミ方程式の対応する正規化解f _nとその逆 g n は、一様ヘルダー評価を満たします。したがって、 C の任意のコンパクト部分集合上で等連続です_。また、| z | > Rに対しても正則です。したがって、アルツェラ–アスコリの定理により、必要に応じて部分列に移行することで、 f _nとg _{n は}両方ともfとgにコンパクト上で一様収束すると想定できます。極限は同じヘルダー評価を満たし、 | z | > Rに対して正則です。関係f _n g _n = id = g _n f _nは、極限でf g = id = g fとなるため、fとgは同相写像になります。 ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$

• 極限fとgは弱微分可能である。^{[ 10 ]}実際、

${\displaystyle \displaystyle {u_{n}=\partial _{\overline {z}}f_{n},\,\,v_{n}=\partial _{z}f_{n}-1.}}$

これらはL ^p内にあり、一様に境界が定められています。

${\displaystyle \displaystyle {\|u_{n}\|_{p},\,\,\|v_{n}\|_{p}\leq {\|\mu _{n}\|_{p} \over 1-\|\mu _{n}\|_{\infty }}.}}$

必要であれば部分列に移ると、列はL ^{pにおいて弱極限}uとvを持つと仮定できる。これらはf ( z ) – zの超微分である。なぜなら、 ψ がコンパクト台で滑らかであれば、

${\displaystyle \displaystyle {\iint u\cdot \psi =\lim \iint u_{n}\cdot \psi =-\lim \iint f_{n}\cdot \partial _{\overline {z}}\psi =-\iint f\cdot \partial _{\overline {z}}\psi ,}}$

vについても同様です。 g _nのベルトラミ係数が固定された閉円板でサポートされているという事実を用いて、 gについても同様の議論が当てはまります。

• f はベルトラミ係数μを持つベルトラミ方程式を満たす。^{[ 11 ]}実際、関係u = μ ⋅ v + μは関係u _n = μ _n ⋅ v _n + μ _nから連続的に導かれる。 μ _n ⋅ v _nが弱くμ ⋅ vに近づくことを示すだけで十分である。その差は次のように書ける。

${\displaystyle \displaystyle {\mu v-\mu _{n}v_{n}=\mu (v-v_{n})+(\mu -\mu _{n})v_{n}.}}$

最初の項は弱収束し、2番目の項はμ φ _n v _nに等しい。これらの項はL ^{pにおいて一様有界であるため、0への弱収束を確認するには、} L ²の稠密部分集合との内積を確認すれば十分である。Ω におけるコンパクト台を持つ関数との内積は、nが十分に大きい場合、0となる。

• fは測度零の閉集合を測度零の閉集合に持ち込む。^{[ 12 ]}これは測度零のコンパクト集合Kについて確認すれば十分である。UがKを含む有界開集合であり、Jが関数のヤコビアンを表すとすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}A(f_{n}(U))&=\iint _{U}J(f_{n})\,dx\,dy=\iint _{U}|\partial _{z}f_{n}|^{2}-|\partial _{\overline {z}}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\\[4pt]&\leq \iint _{U}|\partial _{z}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\leq \|\partial _{z}f_{n}|_{U}\|_{p}^{2}\,A(U)^{1-2/p}.\end{aligned}}}$

したがって、A ( U ) が小さければ、A ( f _n ( U ) ) も小さい。一方、 f _n ( U ) は最終的にf ( K ) を含む。逆元g _{n を}適用すると、g _n f はコンパクト上で一様恒等関数に近づくため、U は最終的にg _n f ( K )を含む。したがって、f ( K ) は測度ゼロである。${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$

• fはμの正則集合 Ω 上で滑らかである。これはL ²理論における楕円正則性の結果から導かれる。
• f はそこでは零でないヤコビアンを持つ。特に、 Ω 上ではf _z ≠ 0 である。^{[ 13 ]}実際、Ω 上でz _{0のとき、} nが十分大きい場合、

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}(f\circ g_{n})=0}}$

z ₁ = f _n ( z ₀ )の近くで正則となる。したがってh = f g _nはz _{1 の}近くで正則となる。局所的に同相写像となるため、h ' ( z ₁ ) ≠ 0 となる。 f = h f _nであるため、 fのヤコビアンはz ₀において非ゼロとなる。一方、J ( f ) = | f _z | ² (1 − |μ| ² ) であるため、z _{0において}f _z ≠ 0 となる。${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$

• gはベルトラミ係数を持つベルトラミ方程式を満たす

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(f(z))=-{f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}\cdot \mu (z)}}$

または同等

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(w)=-{{\overline {g_{w}}} \over g_{w}}\cdot \mu (g(w))}}$

正規集合 Ω ' = f (Ω) とそれに対応する特異集合 Λ ' = f (Λ) 上で成立する。

• gはμ ′に対してベルトラミ方程式を満たす。実際、gは 1 + L ^pと L ^pにおいて弱い分布微分を持つ。Ω の滑らかなコンパクト台関数と組み合わせると、これらの微分は Ω の点における実微分と一致する。Λ は測度が零であるため、分布微分はL ^pにおける実微分と一致する。したがって、実微分がベルトラミ方程式を満たすため、 g はベルトラミ方程式を満たす。
• もしf * とfがμ * とμに対して上記のように構成された解であるならば、f * f ⁻¹は次のベルトラミ方程式を満たす。${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle \displaystyle \nu (f(z))={f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}\,{\mu ^{*}-\mu \over 1-{\overline {\mu }}\mu ^{*}},}$

Ω ∩ Ω* 上で定義される。 f * f ⁻¹の弱導関数はΩ ∩ Ω* 上の実際の導関数で与えられる。実際、これはf * とg = f ^−1をf * _nとg _nで近似することで得られる。導関数は 1 + L ^pと L ^pで一様に有界であるため、前述のように弱極限はf * f ⁻¹の分布導関数を与える。Ω ∩ Ω* 上のコンパクト台の滑らかな関数と組み合わせると、これらは通常の導関数と一致する。したがって、分布導関数は Λ ∪ Λ*（測度ゼロの集合）からの通常の導関数で与えられる。${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$

これにより、ベルトラミ係数がコンパクト台の場合、ベルトラミ方程式の同相解が 存在することが証明される。また、逆同相写像と合成同相写像がベルトラミ方程式を満たすこと、そしてすべての計算が正則集合に制限することで実行できることも示される。

台がコンパクトでない場合、滑らかな場合と同じトリックを用いて、コンパクトに台付けされたベルトラミ係数に関連付けられた2つの同相写像を用いて解を構成することができる。ベルトラミ係数に関する仮定のため、拡張複素平面のメビウス変換を適用することで、ベルトラミ係数の特異点集合をコンパクトにすることができることに注意されたい。その場合、同相写像の1つを微分同相写像として選ぶことができる。

ユニークさ

ベルトラミ係数が与えられた場合のベルトラミ方程式の解の一意性については、いくつかの証明がある。^{[ 14 ]}複素平面のメビウス変換を任意の解に適用すると別の解が得られるため、解は0、1、∞を固定するように正規化することができる。ベーリング変換を用いたベルトラミ方程式の解法は、コンパクト台μの係数と、その分布微分が1 + L ^pとL ^pにある場合の一意性の証明も提供する。関係式

${\displaystyle \displaystyle (P\psi )_{\overline {z}}=\psi ,\,\,\,(P\psi )_{z}=T\psi }$

コンパクト台を持つ滑らかな関数 ψ は、L ^p関数hに対しても超関数的な意味で成り立ちます。なぜなら、それらは_ψ nのL ^pとして書けるからです。fがベルトラミ方程式の解でf (0) = 0 かつL ^pにおいてf _z - 1 であるとき、

${\displaystyle \displaystyle {F=f-P(f_{\overline {z}})}}$

満足する

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}F=0.}}$

したがって、Fは弱正則関数である。ワイルの補題^{[ 15 ]}を適用すると、ほぼどこでもFと等しい正則関数Gが存在すると結論付けることができる。記法を乱用して、 F:=Gを再定義する。条件F '(z) − 1がL ^pに存在し、F (0) = 0が成立するため、F ( z ) = zとなる。したがって、

${\displaystyle \displaystyle {P(f_{\overline {z}})=f(z)+z}}$

そして差別化を図る

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}=T(\mu f_{z})+1.}}$

gが別の解である 場合

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}-g_{z}=T(\mu (f_{z}-g_{z})).}}$

T μはL ^p上の演算子ノルムが1未満な ので、

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}=g_{z}.}}$

しかしベルトラミ方程式から

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}}=g_{\overline {z}}.}}$

したがって、f − gは正則かつ反正則なので定数となる。f (0) = 0 = g (0) なので、 f = gとなる。fはμの台から外れて正則であり、f (∞) = ∞ なので、導関数がL ^p内 で局所的であるという条件は成立する。

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}-1,\,\,f_{\overline {z}}\in L^{p}(\mathbf {C} ).}}$

ベルトラミ方程式を満たし、L ^pにおいて局所的に分布微分を持つ一般的なfに対して、メビウス変換を適用した後、0 はベルトラミ係数μの特異点集合に含まれないと仮定できる。gが、ベルトラミ係数 λ が0付近で支持される滑らかな微分同相写像gである場合、 f g ⁻¹に対するベルトラミ係数ν は、分布微分に関する変数変換公式を用いて直接計算できる。 ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle \displaystyle \nu (g(z))={g_{z} \over {\overline {g_{z}}}}\,{\mu -\lambda \over 1-{\overline {\lambda }}\mu }.}$

λ は、 ν がゼロ付近でゼロになるように選択できる。写像z ⁻¹を適用すると、ベルトラミ係数がコンパクト台であるベルトラミ方程式の解が得られる。方向微分は依然として L ^pに局所的に含まれる。係数 ν はμ、λ、gのみに依存するため、元の方程式の任意の2つの解は、分布微分がL ^pに局所的に含まれる、同じベルトラミ係数を持つ 0 付近の解を生成する。したがって、それらは等しい。したがって、元の方程式の解は等しい。

多重連結平面領域の均一化

滑らかなリーマン写像定理を証明するために用いられる方法は、滑らかな境界を持つ連結平面領域の乗算に一般化できる。この場合のベルトラミ係数は、その補集合が測度0である開集合上で滑らかである。したがって、可測係数を持つベルトラミ方程式の理論が必要となる。^{[ 16 ] [ 17 ]}

二重連結領域。Ωが二重連結平面領域である場合、環状部r ≤ |z| ≤ 1 の Ω の閉包への微分同相写像Fが存在し、共形変化の後に、環状部上の誘導計量は両方の境界における鏡映によって滑らかに継続できます。環状部は、向きが反転する 2 つの鏡映によって生成される群の基本領域です。群の下の基本領域の像は、 0 を除去してCを埋め、そこではベルトラミ係数が滑らかになります。L ^p理論によるベルトラミ方程式のC上の標準解hは同相写像です。楕円正則性により 0 から離れて滑らかになります。一意性により、単位円とその内部および外部が保存されます。解が一意であることは、鏡映に共役メビウス変換gが存在し、 h R = g hとなり、R が| z | = rにおける鏡映を表すことも意味します。単位円を固定したメビウス変換と組み合わせると、 gは円| z | = s（s < 1）の鏡映であると仮定できる。したがって、F h _{−1は、環状部}s ≤ | z | ≤ 1のΩの閉包への滑らかな微分同相写像であり、内部で正則である。 ^{[ 17 ]}${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$

多重連結領域。より高い連結度k + 1 を持つ領域の場合、結果は本質的にBers の回帰定理の一般化である。^{[ 16 ] [ 17 ]}領域 Ω _1には、 k 個の開円を除いた単位円で与えられる、 Ω の閉包への滑らかな微分同相写像F が存在する。 0 は領域の内部にあると仮定することができる。再び微分同相写像の修正と境界付近の共形変化の後、計量は反射と両立すると仮定することができる。G をΩ ₁の境界円での反射によって生成される群とする。 Ω ₁の内部はGの基本領域である。さらに、方向保存写像からなる指数 2 の正規部分群G _{0は古典的な}ショットキー群である。その基本領域は、単位円への反射が追加された元の基本領域から構成される。反射がR ₀の場合、それは生成元R _i R _0を持つ自由群で、R _iは元の領域での内部円の反射です。Gによる元の領域の像、またはそれと同等のショットキー群による反射領域は、ショットキー群の正則集合を満たします。ショットキー群はそこで適切に不連続に作用します。補集合はG ₀の極限集合です。測度は 0 です。 Ω _{1上の誘導計量は、反射によって正則集合に拡張されます。対応するベルトラミ係数は、} i ≥ 0に対して反射R _iによって生成される反射群に対して不変です。極限集合は測度が 0 であるため、ベルトラミ係数はC上の有界測定可能関数に一意に拡張されます。正則集合上では滑らかです。ベルトラミ方程式hの正規化解は、単位円とその外部および内部を保存する、 Ω ₁の閉包のそれ自身への滑らかな微分同相写像です。必然的にh R _i = S _i hです。ここで、S _iは単位円板上の別の円における鏡映である。固定点から見ると、異なるiに対してこのようにして生じる円は互いに交わらない。したがって、${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ }$ F h ^{−1 は}、これらの円の内部を Ω の閉包上に除去した単位円の滑らかな微分同相写像を定義し、これは内部で正則です。 ${\displaystyle \circ }$

同時均一化

Bers (1961)は_、種数g >1の2つのコンパクトリーマン2次元多様体M1、M2_が同時に均一化できることを示した。

位相空間M ₁とM _{2 は、PSL(2,} R )の離散ココンパクト部分群 Γ による上半平面Hの固定商に同相である。Γ は多様体の基本群と同一視でき、 Hは普遍被覆空間である。同相写像は、対応する三角形分割上で区分的に線形になるように選ぶことができる。Munkres (1960)の結果は、三角形分割の辺と頂点の近くで同相写像を調整して微分同相写像を生成できることを意味している。M 1_上の計量は、H上にΓ 不変な計量を誘導する。H上の対応するベルトラミ係数をμとする。これは、鏡映写によって Cに拡張できる。

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {\mu }}(z)=\mu (z)\,\,(z\in \mathbf {H} ),\,\,{\widehat {\mu }}(z)=0\,\,(z\in \mathbf {R} ),\,\,{\widehat {\mu }}(z)={\overline {\mu ({\overline {z}})}}\,\,({\overline {z}}\in \mathbf {H} ).}$

それは不変性を満たす

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {\mu }}(g(z))={{\overline {g_{z}}} \over g_{z}}\,{\widehat {\mu }}(z),}$

Γ のgに対してである。対応するベルトラミ方程式の解fは、実軸と上半平面および下半平面を保存するCの同相写像を定義する。群の元をf ⁻¹で共役すると、PSL(2, R ) の新しいココンパクト部分群 Γ _{1が得られる。元の微分同相写像を}fの逆写像と合成すると、ベルトラミ係数として 0 が得られる。したがって、 Hに誘導される計量はΓ ₁で不変であり、 Hのポアンカレ計量に共形である。したがって、これは Γ ₁不変である正の滑らかな関数を乗じて与えられなければならない。このような関数はどれもM ₁上の滑らかな関数に対応する。 M ₁上の計量をこの関数で割ると、H / Γ ₁上のポアンカレ計量と一致するM ₁上の共形的に同値な計量が得られる。このようにして、M ₁はコンパクトなリーマン面、つまり均一化され、自然な複素構造を継承します。

この共形的な計量変更により、M _1はH / Γ ₁と同一視できます。 からM ₂への微分同相写像により、 Γ ₁の下で不変なH上の別の計量が生じます。これはH上の Beltrami 係数 λ を定義し、今度はλ をH外に 0 と定義することでCに拡張されます。Beltrami方程式の解hはCの同相写像であり、下半平面上では正則で上半平面上では滑らかです。実軸の像は、C を2 つの成分に分割するジョルダン曲線です。 Γ _{1 を}h ⁻¹で共役すると、 PSL(2, C ) の準フックス部分群Γ ₂が得られます。これはジョルダン曲線を不変のままにし、2 つの成分のそれぞれに適切に不連続に作用します。2 つの成分の Γ _{2による商は、自然に}M ₁およびM ₂と同一視されます。この同定は、 M ₁とM _{2 の}両方における天然の複合体構造と一致しています。

コンフォーマル溶接

円の向きを保存する同相写像fは、正の定数aとbが存在し、

${\displaystyle \displaystyle {{{|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a\cdot {|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}}.}}$

もし

${\displaystyle \displaystyle {|z_{1}-z_{2}|=|z_{1}-z_{3}|,}}$

すると条件は

${\displaystyle \displaystyle {a^{-1}\leq {|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a.}}$

逆に、この条件がそのような点の３つ組すべてに対して満たされる場合、fは準対称である。^{[ 18 ]}

円の同相写像fに関する明らかに弱い条件は、それが準メビウス写像であること、つまり 定数c , d > 0が存在し、

${\displaystyle \displaystyle {|(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle {(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}}$

は複比を表します。実際、fが準対称であれば、c = a ²、d = bとなる準メビウス曲線でもあります。これは、上記の最初の不等式を ( z ₁、z ₃、z ₄ ) と ( z ₂、z ₄、z ₃ ) に掛け合わせることで得られます。

逆にf が準メビウス同相写像であれば、それは準対称でもある。^{[ 19 ]}実際、fが準メビウスであればその逆も準メビウスであることは直ちに分かる。するとf (したがってf ⁻¹ ) はホルダー連続であることがわかる。これを確かめるために、S を1 の立方根の集合とすると、Sでa ≠ bであれば | a − b | = 2 sin π /3 = √ 3となる。ホルダー推定を証明するために、 x – yが一様に小さいと仮定することができる。するとxとy はどちらもSでa、bから一定の距離よりも大きく、a ≠ bであるため、推定は準メビウス不等式をx、a、y、bに適用することで得られる。 fが準対称であることを確認するには、 | の一様上限を見つければ十分である。f ( x ) − f ( y )| / | f ( x ) − f ( z )| は、 | x − z | = | x − y |の三つ組の場合に一様に小さい。この場合、 x、y、zから1より大きい距離に点wが存在する。準メビウス不等式をx、w、y、zに適用すると、必要な上限が得られる。

単位円の同相写像f は、内部で微分同相写像となる閉単位円の同相写像Fに拡張できる。 Douady & Earle (1986) は、Ahlfors と Beurling の以前の結果を一般化し、このような拡張に、メビウス変換によって SU(1,1) の作用と可換であること、fが準対称ならば準共形であることなどの追加特性を加えた。 (より初等的ではない方法は、 Tukia (1985)によって独立に発見された。Tukia の手法は、高次元にも適用できるという利点がある。) fが円の微分同相写像である場合、Alexander 拡張はf を拡張する別の方法を提供する。

${\displaystyle \displaystyle {F(r,\theta )=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

ここでψは[0,1]の範囲の値を持つ滑らかな関数であり、0の近くでは0、1の近くでは1に等しく、

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{i\theta })=e^{ig(\theta )},}}$

ここでg ( θ + 2 π ) = g ( θ ) + 2 πである。Partyka 、Sakan、Zając (1999)は、開単位円板上で滑らかまたは解析的なAhlfors-Beurling拡張の変種を含む、さまざまな拡張手法の調査を行っている。

微分同相写像の場合、アレクサンダー拡大Fは任意のより大きな円板| z | < R（R > 1）に延長することができる。したがって、単位円板において

${\displaystyle \displaystyle {\|\mu \|_{\infty }<1,\,\,\,\mu (z)=F_{\overline {z}}/F_{z}.}}$

fが準対称である場合、他の拡張についても同様のことが言えます。

ここで、 μ をC全体のベルトラミ係数に拡張し、| z | ≥ 1に対して 0 に設定します。G をベルトラミ方程式の対応する解とします。 | z | ≤ 1 に対してF ₁ ( z ) = G F ⁻¹ ( z ) とし、| z | ≥ 1 に対してF ₂ ( z ) = G ( z )とします。したがって、F ₁とF _2は、| z | < 1 と | z | > 1 のジョルダン曲線の内側と外側への単価な正則写像です。これらは、境界上のジョルダン曲線への単位円の同相写像f _iに連続的に拡張されます。構成により、これらは共形溶接条件を満たします 。 ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle \displaystyle {f=f_{1}^{-1}\circ f_{2}.}}$

参照

• 準等角写像
• 測定可能なリーマン写像定理
• 等温座標

注記

1. Spivak 1999、pp. 314–317、これは第1版または第2版ではpp. 455–460ですが、315ページまたは457ページの式 (**) に誤植があることに注意してください。右辺は-β/αとして与えられていますが、正しくは-α/βです。
2. 参照:
   • アスタラ、イワニエツ、マーティン 2009
   • バース、ジョン＆シェクター 1979
   • アルフォース 1966
   • グルツュク 2008
   • ドゥアディ＆バフ 2000
3. 参照:
   • バース、ジョン＆シェクター 1979
   • グルツュク 2008
4. 参照:
   • アルフォース 1966、9ページ
   • 今吉・谷口 1992、p. 88
5. アルフォース 1966、98ページ
6. 参照
   • アルフォース 1966、99ページ
   • バース、ジョン＆シェクター 1979、277ページ
7. 参照:
   • ドゥアディ＆バフ 2000
   • グルツュク 2008
   • アルフォース 1966
8. アスタラ、イワニエツ、マーティン 2009
9. 参照:
   • アルフォース 1966
   • ドゥアディ＆バフ 2000
10. ドゥアディ＆バフ 2000年、319～320ページ
11. ドゥアディ＆バフ 2000年、319～320ページ
12. アルフォース 1966、97～98ページ
13. ドゥアディ＆バフ 2000、321ページ
14. 参照:
    • アルフォース 1966
    • 今吉・谷口 1992
    • レト 1987
    • レト＆ヴィルタネン 1973
    • ドゥアディ＆バフ 2000年、321～322ページ
15. *アスタラ、イワニエツ、マーティン 2009
16. Bers 1961
17. シブナー 1965
18. トゥキア＆ヴァイサラ 1980
19. ヴァイサラ 1984

参考文献

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• アルフォース、ラース・V.（1966）、準共形写像に関する講義、ヴァン・ノストランド
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