ベルコビッチ空間

数学において、ベルコビッチ空間は、ベルコビッチ （1990 ）によって導入され、非アルキメデス体（例：p進体）上の解析空間の一種であり、テイトの剛性解析空間の概念を改良したものである。

モチベーション

複素数の場合、代数幾何学は複素アフィン空間を と定義することから始まります。各 に対して、上の解析関数の環を正則関数の環、つまり各点の近傍で収束するべき級数として表すことができる上の関数として定義します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U},}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

次に、局所モデル空間を次のよう に定義する。${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {O}}_{U}}$

${\displaystyle X:=\{x\in U:f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0\}}$

複素解析空間は局所的に環を持つ-空間であり、局所的に局所モデル空間と同型である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{n}).}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

が完全な非アルキメデス体であるとき、 は完全に分離しているとなる。このような場合、複素数の場合と同じ定義を続けると、良好な解析理論は得られない。ベルコビッチは、 のような 上の良好な解析空間を与える定義を与え、さらに 上の通常の定義も与えている。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

非アルキメデス体上の解析関数を定義することに加えて、ベルコビッチ空間には優れた基礎位相空間もあります。

ベルコビッチスペクトル

環上の半ノルムは、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\!-\!|:A\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|0|&=0\\|1|&=1\\|f+g|&\leqslant |f|+|g|\\|fg|&\leqslant |f||g|\end{aligned}}}$

すべての に対して成り立つ。のとき乗法的といい、のときノルムといいます。 ${\displaystyle f,g\in A}$ ${\displaystyle |fg|=|f||g|}$ ${\displaystyle |f|=0}$ ${\displaystyle f=0}$

が ノルムを持つノルム環である場合、のベルコビッチスペクトル (と表記)は、のノルムによって制限される上の乗法半ノルムの集合です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\!-\!\|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

ベルコビッチスペクトルは、任意の写像 に対して最も弱い位相を備えている。${\displaystyle f\in A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{f}:{\mathcal {M}}(A)\to \mathbb {R} \\|\cdot |\mapsto |f|\end{cases}}}$

連続です。

ノルム環のベルコビッチスペクトルは、がゼロでない場合は空ではなく、が完全な場合はコンパクトです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

が のスペクトルの点である場合、 の元はの素イデアルを形成します。この素イデアルによる商の分数体はノルム体であり、その完備化は乗法ノルムを持つ完備体です。この体は で表され、元の像はで表されます。体はの像によって生成されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|_{x}=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ ${\displaystyle A}$

逆に、から の像によって生成される乗法ノルムを持つ完全ノルム体への有界写像は、のスペクトル内の点を与えます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

スペクトル半径${\displaystyle f,}$

${\displaystyle \rho (f)=\lim _{n\to \infty }\left\|f^{n}\right\|^{\frac {1}{n}}}$

等しい

${\displaystyle \sup_{x\in{\mathcal{M}}(A)}|f|_{x}.}$

例

• 評価に関して完全なフィールドのスペクトルは、その評価に対応する単一の点です。
• が可換C*-代数である場合、ベルコビッチスペクトルはゲルファンドスペクトルと同じである。ゲルファンドスペクトルの点は本質的にへの準同型であり、その絶対値はベルコビッチスペクトルにおける対応する半ノルムである。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• オストロフスキーの定理によれば、整数（通常の絶対値を持つ）上の任意の乗法半ノルムは、次の 4 つのタイプのいずれかになります。および（素数）。ここで、は の-進ノルムであり、は上の自明ノルムによって誘導される半ノルムであり、は 上の自明ノルム、つまり、すべての非ゼロ要素を 1 にするノルムです。各 （素数または無限大）に対して、実区間に同相な枝が得られ、枝は自明な値に対応する点で交わります。自明な値の開近傍は、有限個以外のすべての枝を含み、各枝との交差は開いているようなものです。${\displaystyle |-|_{\infty ,\varepsilon }(0<\varepsilon \leq 1),|-|_{0},|-|_{p,\varepsilon }(0<\varepsilon <1)}$ ${\displaystyle |-|_{p,0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |-|_{\infty ,\varepsilon }=|-|_{\infty }^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle |-|_{p,\varepsilon }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|=\バレプシロン }$ ${\displaystyle |-|_{p,0}}$ ${\displaystyle |-|_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle |-|_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$

ベルコビッチアフィン空間

が付値 を持つ体である場合、上のn次元ベルコビッチアフィン空間 (と表記)は、上のノルムを拡張した上の乗法セミノルムの集合です。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle k}$

ベルコビッチアフィン空間は、任意の写像に対して が連続となるような最弱位相を持つ。これはベルコビッチスペクトルではなく、ある球体に収束する冪級数の環のベルコビッチスペクトルの増加和である（したがって局所コンパクトである）。 ${\displaystyle f\in k}$ ${\displaystyle \varphi _{f}:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\cdot |\in \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle |f|}$

開集合上の解析関数を写像として 定義する${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{n}}$

${\displaystyle f:U\to \prod _{x\in U}{\mathcal {H}}(x)}$

ここで、これは有理関数の局所極限、つまり、すべての点が次の性質を持つ 開近傍を持つようなものである。${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {H}}(x)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle U'\subset U}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists g,h\in {\mathcal {k}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]:\qquad \forall x'\in U'\left(h(x')\neq 0\ \,\land \ \left|f(x')-{\frac {g(x')}{h(x')}}\right|<\varepsilon \right).}$

複素数の場合と同じ定義を続けると、任意の付値を持つ体上の解析関数環、局所モデル空間、および解析空間を定義できる（ノルム環上にも同様の対象を定義できる）。これにより、非自明な付値に関して完備な体と整数環に対して妥当な対象が得られる。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

この場合、動機のセクションで説明したのと同じオブジェクトが提供されます。 ${\displaystyle k=\mathbb {C} ,}$

これらの解析空間はすべて非アルキメデス体上の解析空間というわけではありません。

ベルコビッチアフィン直線

1次元ベルコビッチ・アフィン空間はベルコビッチ・アフィン直線と呼ばれる。が代数的に閉じた非アルキメデス体であり、その付値に関して完備である場合、アフィン直線上のすべての点を記述することができる。 ${\displaystyle k}$

標準的な埋め込み があります。 ${\displaystyle k\hookrightarrow \mathbb {A} _{k}^{1}}$

空間は局所コンパクト、ハウスドルフ、一意にパス連結な位相空間であり、稠密部分空間としてを含みます。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$

ベルコビッチ射影直線は、適切な方法で無限遠点を に接続することによっても定義できる。結果として得られる空間は、 を稠密部分空間として含む、コンパクトでハウスドルフで一意にパス連結な位相空間である。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(k)}$

参考文献

• ベイカー、マシュー;コンラッド、ブライアン;ダスグプタ、サミット;ケドラヤ、キラン S.;タイテルバウム、ジェレミー (2008)、タクル、ディネシュ S.;サヴィット、デイヴィッド (編)、『p進幾何学』、大学講義シリーズ、第45巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4468-7、MR  2482343
• ベイカー、マシュー、ルメリー、ロバート（2010）、ベルコビッチ射影直線上のポテンシャル理論とダイナミクス、数学サーベイズ・アンド・モノグラフ、第159巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4924-8、MR  2599526
• ベルコビッチ、ウラジミール G. (1990)、「非アルキメデス体上のスペクトル理論と解析幾何学」、数学サーベイズ・アンド・モノグラフ、第33巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1534-2、MR  1070709
• Berkovich、Vladimir G. (1993)、「非アルキメデス解析空間のエタール コホモロジー」、出版物 Mathématiques de l'IHÉS (78): 5–161、ISSN  1618-1913、MR  1259429

外部リンク

• nラボのベルコビッチスペース
• ジュシュー数学研究所サマースクール«バーコビッチ空間» 2010