複素解析多様体

数学、特に微分幾何学と複素幾何学において、複素解析多様体^{[注 1 ]} あるいは複素解析空間とは、特異点の存在を許容する複素多様体の一般化である。複素解析多様体は、局所的に環を持つ空間であり、局所モデル空間と局所的に同型である。ここで、局所モデル空間とは、正則関数の有限集合の消失軌跡の開部分集合である。

意味

位相空間上の定数層をで表す。-空間は局所環空間であり、その構造層は上の代数である。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$

ある複素アフィン空間の開部分集合を選び、における有限個の正則関数を固定する。をこれらの正則関数の共通消失点、すなわち とする。を への制限とすることで、上の環の層を定義する。ここでは 上の正則関数の層である。すると、局所環空間は局所モデル空間となる。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X=V(f_{1},\dots,f_{k})}$ ${\displaystyle X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots,f_{k})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

複素解析多様体は、局所的に局所モデル空間と同型な局所的に環化され た-空間です。${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

複素解析多様体の射は、基底となる局所環空間の射として定義され、正則写像とも呼ばれる。構造層は冪零元を持つことがある。^{[ 1 ]} 構造層が縮約されている場合、複素解析空間は縮約されていると呼ばれる。

関連する複素解析空間（多様体） は次のようになる：^{[ 1 ]}${\displaystyle X_{h}}$

X を上の有限型のスキームとし、X を開アフィン部分集合( ) で覆う (環 のスペクトル)。すると、それぞれは、 、上の有限型の代数となる。ここで、は の多項式であり、 上の正則関数とみなすことができる。したがって、それらの共通零点の集合は複素解析部分空間 である。ここで、スキーム X は集合 のデータを貼り付けることによって得られ、次に同じデータを使用して複素解析空間を複素解析空間 に貼り付けることができるため、 X を伴う複素解析空間 と呼ばれる。複素解析空間 X が簡約される場合と、付随する複素解析空間が簡約される場合とで同値である。^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle X=\cup Y_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb{C} }$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle (Y_{i})_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$ ${\displaystyle X_{h}}$

参照

• 代数多様体- 大まかに言えば、（複素）解析多様体は（複素）解析関数の集合の零点であり、代数多様体は多項式関数の集合の零点であり特異点を許容します。
• 解析空間
• 複素代数多様体
• GAGA  – 密接に関連した2つの数学の科目リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 剛体解析空間 – 非アルキメデス体上の複素解析空間の類似

注記

1. ハーツホーン 1977年、439ページ。
2. Grothendieck & Raynaud (2002) (SGA 1 §XII. 命題 2.1.)

注釈

1. 複素解析多様体（または単に多様体）は、時には既約かつ（または）既約であることが求められる。

参考文献

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今後の読書

• アラン・ハックルベリー (2013)。 「ハンス・グラウエルト（1930–2011）」。Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung。115 : 21–45.arXiv : 1303.6933 。​​土井：10.1365/s13291-013-0061-7。S2CID  256084531。

外部リンク

• Kiran Kedlaya. 18.726代数幾何学( LEC # 30 - 33 GAGA )2009 年春. マサチューセッツ工科大学: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .
• 「Tasty Bits of Various Complex Variables (p. 137)」は Jiří Lebl BY-NC-SAによるオープンソース ブックです。
• Onishchik, AL (2001) [1994]、「解析空間」、数学百科事典、EMSプレス
• El'kin, AG (2001) [1994], 「解析集合」 ,数学百科事典, EMS Press