ベルヌーイの原理

ベンチュリーメーターを通過する空気の流れ。2つの水柱の高さの差からわかるように、運動エネルギーは流体圧力を犠牲にして増加します。

実験室で使用されたベンチュリメーターのビデオ

ベルヌーイの原理は、圧力、速度、高さを関連付ける流体力学の重要な概念です。例えば、水平に流れる流体の場合、ベルヌーイの原理は、速度の増加が圧力の減少と同時に起こることを述べています。^{[ 1 ] : Ch.3 [ 2 ] : 156–164, § 3.5} この原理は、 1738年に著書『 Hydrodynamica 』で発表したスイスの数学者で物理学者のダニエル・ベルヌーイにちなんで名付けられました。 ^{[ 3 ]}ベルヌーイは流速が増加すると圧力が減少することを導き出しましたが、ベルヌーイの方程式を通常の形で導出したのは1752年のレオンハルト・オイラーでした。^{[ 4 ] [ 5 ]}

ベルヌーイの原理はエネルギー保存の原理から導かれる。これは、定常流において、流体中のあらゆる形態のエネルギーの総和は、粘性力が作用していないすべての点で同じであるということを述べている。これには、運動エネルギー、位置エネルギー、および内部エネルギーの総和が一定であることが必要である。^{[ 2 ] : § 3.5} したがって、流体の速度の増加（つまり運動エネルギーの増加）は、位置エネルギー（静圧を含む）と内部エネルギー（の総和）の減少を伴って同時に起こる。流体が貯留層から流出している場合、あらゆる形態のエネルギーの総和は同じである。これは、貯留層内では単位体積あたりのエネルギー（圧力と重力ポテンシャルρ g hの総和）がどこでも同じであるためである。^{[ 6 ] : 例 3.5 および p.116}

ベルヌーイの原理は、アイザック・ニュートンの運動の第二法則から直接導かれる。流体が高圧領域から低圧領域へ水平方向に流れるとき、前方よりも後方からの圧力が大きくなる。これにより、体積に正味の力が加わり、流線に沿って加速する。^{[ a ] [ b ] [ c ]}

流体粒子は圧力と自重のみの影響を受けます。流体が水平方向に、かつ流線に沿って流れている場合、速度が増加するのは、その部分の流体が高圧領域から低圧領域へ移動したためであり、速度が減少するのは、低圧領域から高圧領域へ移動したためである。したがって、水平方向に流れる流体においては、圧力が最も低い場所で最高速度が発生し、圧力が最も高い場所で最低速度が発生する。^{[ 10 ]}

上流静圧（1）は狭窄部（2）よりも高く、断面積が「1」よりも大きいため、「1」での流体速度は「2」よりも遅くなります。

ベルヌーイの原理は、等エントロピー流れ、すなわち不可逆過程（乱流など）や非断熱過程（例えば熱放射）の影響が小さく無視できる場合にのみ適用可能です。しかし、この原理はこれらの範囲内であれば様々な流れに適用でき、様々な形のベルヌーイ方程式が得られます。ベルヌーイ方程式の簡略形は、非圧縮性流れ（例えば、低マッハ数で移動するほとんどの液体流や気体）に有効です。より高度な形は、高マッハ数で 移動する圧縮性流れに適用できます。

非圧縮流れ方程式

ほとんどの液体の流れ、およびマッハ数が低い気体の流れにおいては、流体塊の密度は流れの圧力変化に関わらず一定とみなすことができます。したがって、流体は非圧縮性であるとみなされ、これらの流れは非圧縮性流れと呼ばれます。ベルヌーイは液体に対して実験を行ったため、彼の式は元の形では非圧縮性流れに対してのみ有効です。

ベルヌーイの式の一般的な形式は次のとおりです。

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{定数}}}$$

あ

どこ：

• ${\displaystyle v}$ は、ある点における流体の流速であり、
• ${\displaystyle g}$ 重力加速度は、
• ${\displaystyle z}$ は基準面からの点の標高であり、正方向は上向き、つまり重力加速度の反対方向を指す。${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle p}$ は選択された点における静圧であり、
• ${\displaystyle \rho }$ 流体内のすべての点における流体の密度です。

ベルヌーイの方程式とベルヌーイ定数は、単位質量あたりのエネルギーが均一な流動領域全体に適用可能です。よく混合された貯留層内の液体の単位質量あたりのエネルギーは全域で均一であるため、ベルヌーイの方程式は、粘性力が支配的で単位質量あたりのエネルギーを侵食する領域を除き、貯留層内のあらゆる場所（貯留層から流体が供給されるパイプや流路を含む）における流体の流れを解析するために使用できます。^{[ 6 ]：例3.5およびp.116}

このベルヌーイ方程式を適用するには、以下の仮定を満たす必要がある: ^{[ 2 ] : 265}

• 流れは安定していなければならない。つまり、どの点でも流れのパラメータ（速度、密度など）は時間とともに変化してはならない。
• 流れは非圧縮性でなければなりません。つまり、圧力が変化しても、密度は流線に沿って一定に保たれなければなりません。
• 粘性力による摩擦は無視できるほど小さい必要があります。

保存力場（重力場に限定されない）の場合、ベルヌーイの方程式は次のように一般化できる：^{[ 2 ] : 265} ここで、Ψは対象とする点における力のポテンシャルである。例えば、地球の重力の場合、Ψ = gz となる。 $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{定数}}}$$

流体の密度ρを掛けると、式（A ）は 次 のように書き直すことができる。 または、 $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{定数}}}$$ $${\displaystyle q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{定数}}}$$

• q = ⁠1/2⁠ ρv ²は動圧であり、
• h = z + ⁠p/ρg⁠は、圧力水頭または水頭（標高zと圧力水頭の合計） ^{[ 11 ] [ 12 ]}で
• p ₀ = p + qはよどみ圧（静圧pと動圧qの合計である。 ^{[ 13 ]}

ベルヌーイ方程式の定数は正規化できます。一般的なアプローチは、全揚程またはエネルギー揚程Hを用いて正規化することです。 $${\displaystyle H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},}$$

上記の式は、流速で圧力がゼロになる場合があり、流速がさらに速い場合は負圧になることを示唆しています。多くの場合、気体や液体は負の絶対圧、あるいはゼロ圧さえも実現できないため、ベルヌーイの式はゼロ圧に達する前には成立しなくなることは明らかです。液体中では、圧力が低くなりすぎるとキャビテーションが発生します。上記の式は、流速の2乗と圧力の間に線形関係を用いています。気体中の流速が速い場合、あるいは液体中の音波の場合、質量密度の変化が顕著になるため、密度一定という仮定は成り立ちません。

簡略化された形式

ベルヌーイの式の多くの応用において、 ρgz項の変化は他の項と比較して非常に小さいため、無視することができます。例えば、飛行中の航空機の場合、高度zの変化は非常に小さいため、ρgz項は省略できます。これにより、上記の式は次のように簡略化して表すことができます。 ここで、p ₀は全圧、qは動圧です。^{[ 14 ]}多くの著者は、圧力pを全圧p ₀や動圧qと区別するために静圧と呼んでいます。『空気力学』の中で、LJ Clancyは次のように書いています。「全圧や動圧と区別するために、流体の実際の圧力（運動ではなく状態に関連する）は静圧と呼ばれることが多いが、圧力という用語が単独で使用される場合は、この静圧を指します。」^{[ 1 ]：§3.5} $${\displaystyle p+q=p_{0}}$$

ベルヌーイ方程式の簡略形は、次の覚えやすい言葉の式で要約できる。^{[ 1 ]：§3.5}

静圧 + 動圧 = 総圧。

定常流中の流体の各点は、その点における流体速度に関わらず、固有の静圧pと動圧qを有する。これらの合計p + qは全圧p ₀と定義される。ベルヌーイの定理の意味は、「粘性力が作用しない領域では、全圧は一定である」と要約できる。流体の流れが停止した点をよどみ点と呼び、この点における静圧はよどみ点圧力に等しくなる。

流体の流れが非回転流れである場合、全圧は均一であり、ベルヌーイの定理は「流体の流れのどの部分でも全圧は一定である」と要約できます。^{[ 1 ]：式3.12} 大量の流体が固体の周りを流れる状況では、非回転流れが存在すると仮定するのが妥当です。例としては、飛行中の航空機や開放水域を航行する船舶が挙げられます。しかし、重要な点として、ベルヌーイの定理は長いパイプを通る流れのような境界層には適用されません。

不安定なポテンシャルフロー

非定常ポテンシャル流に対するベルヌーイ方程式は、海洋表面波および音響理論において用いられる。非回転流の場合、流速は速度ポテンシャルφの勾配∇ φとして記述できる。この場合、密度ρ が一定であれば、オイラー方程式の運動量方程式は次のように積分できる。^{[ 2 ] : 383} $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),}$$

これは非定常流れ、つまり時間依存流れにも有効なベルヌーイ方程式である。ここで⁠∂ φ/∂ t⁠ は速度ポテンシャルφの時刻tに関する偏微分を表し、 v = | ∇ φ |は流速です。関数f ( t )は時間のみに依存し、流体内の位置には依存しません。その結果、ある時刻tにおけるベルヌーイ方程式は流体領域全体に適用されます。これは、 fと⁠が成り立つような、定常非回転流の特殊なケースにも当てはまります。∂ φ/∂ t⁠は定数なので、方程式 ( A ) は流体領域のあらゆる点に適用できます。 ^{[ 2 ] :383} さらに、 f ( t ) は、次の変換を使用して速度ポテンシャルに組み込むことでゼロにすることができます。 結果は次のようになります。 $${\displaystyle \Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.}$$

ポテンシャルと流速の関係はこの変換によって影響を受けないことに注意してください: ∇Φ = ∇ φ。

非定常ポテンシャル流のベルヌーイ方程式は、ラグランジュ力学を用いた自由表面流の変分記述であるルーク変分原理においても中心的な役割を果たしていると思われる。

圧縮性流れ方程式

ベルヌーイは液体の観察からその原理を発展させ、ベルヌーイの方程式は理想流体、すなわち非粘性、非圧縮性で保存力のみを受ける流体に対して有効です。また、運動エネルギーまたは位置エネルギーがガス流からガスの圧縮または膨張に移動されない限り、ベルヌーイの方程式は気体の流れに対しても有効な場合があります。ガスの圧力と体積の両方が同時に変化する場合は、ガスに対して、またはガスによって仕事が行われます。この場合、非圧縮性の流れの形のベルヌーイの方程式は有効であると想定することはできません。ただし、ガス過程が完全に等圧または等容積 である場合は、ガスに対して、またはガスによって仕事は行われません (したがって、単純なエネルギーバランスは崩れません)。気体の法則によれば、等圧または等容積過程は通常、ガス内で一定の密度を保証する唯一の方法です。また、ガスの密度は、圧力と絶対温度の比に比例します。しかし、この比率は、圧縮または膨張時に、どんなに非ゼロの熱量が加えられたり除去されたりしても変化します。唯一の例外は、完全な熱力学サイクルや個々の等エントロピー（摩擦のない断熱）過程のように、正味の熱伝達がゼロの場合です。そして、その場合でも、この可逆過程を逆転させて、ガスを元の圧力と比容積、ひいては密度に戻さなければなりません。そうでない場合にのみ、元の修正されていないベルヌーイの式が適用可能です。この場合、ガスの流速が音速より十分に低く、各流線に沿ったガスの密度の変化（この効果による）を無視できる場合に限り、この式を使用できます。マッハ0.3未満の断熱流は、一般に十分に遅いと考えられています。^{[ 15 ]}

物理学の基本原理を用いて、圧縮性流体にも適用可能な同様の方程式を導き出すことが可能です。数多くの方程式があり、それぞれが特定の用途に合わせて調整されていますが、いずれもベルヌーイの方程式に類似しており、ニュートンの運動の法則や熱力学第一法則といった物理学の基本原理のみに基づいています。

流体力学における圧縮性流れ

圧縮性流体の場合、順圧状態方程式を持ち、保存力の作用下にある とき 、 ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho \left({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{定数（流線に沿って）}}}$$

• pは圧力
• ρは密度であり、ρ ( p )はそれが圧力の関数であることを示す。
• vは流速である
• Ψは保存力場に関連するポテンシャルであり、多くの場合重力ポテンシャルである。

工学的な状況では、標高は地球の大きさに比べて一般的に小さく、流体の流れの時間スケールは状態方程式を断熱方程式として扱えるほど小さい。この場合、理想気体に関する上記の式は、以下のようになる。^{[ 1 ]：§3.11} ここで、上記の項に加えて、 $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{定数（流線に沿って）}}}$$

• γは流体の比熱の比である
• gは重力加速度である
• zは基準面からの点の標高である

圧縮性流れの多くの応用では、標高の変化は他の項と比較して無視できるため、gz項は省略できます。この式の非常に便利な形は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}}$$

どこ：

• p ₀は全圧である
• ρ ₀は総密度である

熱力学における圧縮性流れ

熱力学において（準）定常流の場合に使用するのに適した式の最も一般的な形は、次の通りである：^{[ 2 ] : § 3.5 [ 17 ] : § 5 [ 18 ] : § 5.9}

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{定数}}。}$$

ここで、wは単位質量あたりのエンタルピー(比エンタルピーとも呼ばれます)であり、 hと表記されることもあります(「頭」や「高さ」と混同しないでください)。

ここで、 eは単位質量あたりの熱力学的エネルギー、つまり比内部エネルギーであることに注意してください 。したがって、内部エネルギーが一定の場合、この式は非圧縮流の形に簡約されます。 $${\displaystyle w=e+{\frac {p}{\rho }}~~~\left(={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}\right)}$$ ${\displaystyle e}$

右辺の定数はしばしばベルヌーイ定数と呼ばれ、bと表記されます。追加のエネルギー源や吸収源のない定常非粘性断熱流の場合、b は任意の流線に沿って一定です。より一般的には、b が流線に沿って変化する場合でも、流体の「ヘッド」（下記参照）に関連する有用なパラメータとなります。

Ψの変化を無視できる場合、この式の非常に便利な形は次のようになります。 ここで、w ₀は全エンタルピーです。理想気体のような熱量的に完全な気体の場合、エンタルピーは温度に正比例するため、全温度（またはよどみ点温度）という概念が生まれます。 $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}}$$

衝撃波が存在する場合、衝撃波が静止し流れが定常である基準系では、ベルヌーイ方程式の多くのパラメータは衝撃波を通過する際に急激に変化します。ベルヌーイパラメータは影響を受けません。この規則の例外は放射衝撃波です。放射衝撃波は、ベルヌーイ方程式を導く仮定、すなわち追加のエネルギー吸収源やエネルギー源が存在しないという仮定に反します。

不安定なポテンシャルフロー

順圧状態方程式を持つ圧縮性流体の場合、非定常運動量保存方程式は $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}}$$

非回転仮定のもとでは、流速は速度ポテンシャルφの勾配∇ φとして記述できる。非定常運動量保存方程式は 、 $${\displaystyle {\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{定数}}}$$

この場合、等エントロピー流に関する上記の式は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{定数}}}$$

派生

非圧縮流体のベルヌーイ方程式

非圧縮性流体のベルヌーイ方程式は、ニュートンの運動の第 2 法則を積分するか、粘性、圧縮性、および熱の影響を無視してエネルギー保存の法則を適用することによって導くことができます。

ニュートンの運動の第二法則を積分して導出する

最も簡単な導出は、まず重力を無視し、ベンチュリ効果に見られるように、直線であるパイプの収縮と膨張を考慮することです。x軸をパイプの軸に沿って下向きに向けます。

断面積がAのパイプを流れる流体の塊を定義します。塊の長さはd x、体積はA d xです。質量密度をρとすると、塊の質量は密度に体積を乗じた値m = ρA d xです。距離d xにおける圧力の変化はd p、流速v = ⁠d x/d t⁠。

ニュートンの運動の第二法則（力 = 質量 × 加速度）を適用し、流体塊に作用する有効力が− A d pであることを認識します。パイプの長さに沿って圧力が低下する場合、d pは負ですが、流れを生み出す力はx軸に沿って正です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}}$$

定常流においては、速度場は時間に対して一定であり、v = v ( x ) = v ( x ( t ))となるため、v自体は時間tの関数とはならない。断面積が変化するのは、物体がxを通過するときのみである。つまり、 v は断面積位置x ( t )を通じてのみtに依存する。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).}$$

密度ρが一定である場合、運動方程式は x について積分することで次のように表すことができます。 ここでCは定数であり、ベルヌーイ定数と呼ばれることもあります。これは普遍的な定数ではなく、特定の流体系における定数です。結論として、速度が大きいところでは圧力は低く、逆もまた同様です。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0}$$ $${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C}$$

上記の導出では、外部仕事-エネルギー原理は用いられていない。むしろ、ベルヌーイの原理はニュートンの第二法則を単純に操作することで導出された。

右方向に移動する流体の流管。圧力、標高、流速、距離（s）、断面積が示されている。本文では標高はzで示されているが、この図ではhで示されていることに注意すること。

エネルギー保存則を用いた導出

非圧縮性流れに対するベルヌーイの原理を導くもう一つの方法は、エネルギー保存則を適用することである。^{[ 19 ]}仕事-エネルギー定理の形で、次のように述べる。^{[ 20 ]}

システムの運動エネルギーE _kinの変化は、システムに対して行われた正味の仕事Wに等しい。$${\displaystyle W=\Delta E_{\text{kin}}.}$$

したがって、

流体内の力によって行われた仕事は、運動エネルギーの増加に等しい。

このシステムは、最初は断面A ₁とA ₂の間にある体積の流体で構成されています。時間間隔Δ tでは、流入断面A ₁にある流体要素が距離s ₁ = v ₁ Δ tだけ移動し、流出断面では、流体は断面A ₂から距離s ₂ = v 2 _Δ tだけ離れていきます。流入および流出で押しのけられた流体の体積は、それぞれA ₁ s ₁およびA ₂ s ₂です。関連する押しのけられた流体の質量は、ρを流体の質量密度とすると、密度×体積に等しくなり、ρA ₁ s ₁およびρA ₂ s ₂となります。質量保存則により、時間間隔Δ tで押しのけられたこれら 2 つの質量は等しくなければならず、この押しのけられた質量はΔ mで表されます 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}}$$

部隊が行う作業は 2 つの部分から構成されます。

• 面積A1とA2に_作用する圧力によって行われる仕事$${\displaystyle W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$
• 重力によってなされる仕事：体積A ₁ s ₁における重力位置エネルギーが失われ、体積A ₂ s ₂における流出時に重力位置エネルギーが得られる。したがって、時間間隔Δ tにおける重力位置エネルギーの変化Δ E _pot,gravityは、

$${\displaystyle \Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.}$$ ここで、重力による仕事は、位置エネルギーの変化と反対であり、W _gravity = − ΔE _pot,gravityです。重力の力が負のz方向にある間、仕事 (重力と仰角の変化の積) は、正の仰角変化Δ z = z ₂ − z ₁に対して負になり、対応する位置エネルギーの変化は正になります。^{[ 21 ] : 14–4, §14–3} つまり、次のようになります。 したがって、この時間間隔Δ tに行われた合計仕事は、 運動エネルギーの増加 は、 これらをまとめると、仕事 - 運動エネルギー定理W = Δ E _kinにより、次のようになります。^{[ 19 ]} または 質量Δ m = ρA ₁ v ₁ Δ t = ρA ₂ v ₂ Δ t で割ると、結果は次のようになります。^{[ 19 ]} または、最初の段落で述べたように、 $${\displaystyle W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.}$$ $${\displaystyle W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.}$$ $${\displaystyle \Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.}$$ $${\displaystyle \Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}}$$

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}=C}$$

式1（式(A)でもある）

さらにgで割ると、次の式が得られます。各項は長さの次元（メートルなど）で表せることに注意してください。これはベルヌーイの定理から導かれる頭方程式です。

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}+z+{\frac {p}{\rho g}}=C}$$

式2a

中間の項zは、基準面に対する流体の仰角による位置エネルギーを表します。zは仰角水頭と呼ばれ、 z_仰角と表記されます。

真空中、高度z > 0から自由落下する質量は 、高度z = 0に到達したときに速度に達する。または、これを頭頂部と整理すると、 次の式で表される。⁠$${\displaystyle v={\sqrt {{2g}{z}}},}$$ $${\displaystyle h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}}$$ v ²/2グラム⁠は速度水頭と呼ばれ、長さの測定値として表されます。これは流体の運動による内部エネルギーを表します。

静水圧pは、 p ₀をある基準圧力 とした場合、または水頭として整理した場合、 次のように定義されます 。$${\displaystyle p=p_{0}-\rho gz,}$$ $${\displaystyle \psi ={\frac {p}{\rho g}}.}$$ p/ρg⁠は圧力水頭とも呼ばれ、長さの測定値として表されます。これは、容器に作用する圧力による流体の内部エネルギーを表します。流速による水頭と静圧による水頭を基準面からの標高と組み合わせることで、速度水頭、標高水頭、圧力水頭を用いた非圧縮性流体に有用な単純な関係が得られます。

$${\displaystyle h_{v}+z_{\text{elevation}}+\psi =C}$$

式2b

式1に流体の密度を掛けると、3つの圧力項を持つ式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gz+p=C}$$

式3

このベルヌーイ方程式では、系の圧力は一定であることに注意してください。系の静圧（第3項）が増加し、標高差による圧力（中間項）が一定である場合、動圧（第1項）は減少しているはずです。言い換えれば、流体の速度が低下し、それが標高差によるものではない場合、流れに抵抗する静圧の増加によるものであるはずです。

これら 3 つの方程式は、システム上のエネルギーバランスを簡略化したものにすぎません。

圧縮性流体のベルヌーイ方程式

圧縮性流体の場合の導出も同様です。この場合も、導出は (1) 質量保存則と (2) エネルギー保存則に基づいています。質量保存則は、上の図で、時間間隔Δ tにおいて、面積A ₁で定義される境界を通過する質量の量が、面積A ₂で定義される境界を外側に向かって通過する質量の量に等しいことを意味します。 エネルギー保存則も同様に適用されます。A 1とA ₂ で囲まれた流管の体積のエネルギー変化は、これら 2 つの境界のいずれかを介して出入りするエネルギーのみによるものと想定されます_。明らかに、流体の流れと放射が結合したようなより複雑な状況では、このような条件は満たされません。ただし、これが当てはまり、流れが定常であるため、エネルギーの正味の変化が 0 であると想定すると、 Δ E ₁とΔ E ₂は、 それぞれA ₁を介して入ってくるエネルギーとA ₂を介して出ていくエネルギーです。A ₁を通って流入するエネルギーは、流入する運動エネルギー、流体の重力位置エネルギーの形で流入するエネルギー、流体の単位質量あたりの熱力学的内部エネルギー ( ε _{1 )、および機械的仕事}p d Vの形で流入するエネルギーの合計です。 ここで、 Ψ = gzは地球の重力による力の位置、gは重力加速度、zは基準面からの仰角です。Δ E ₂についても同様の式を簡単に作成できます。したがって、0 = Δ E ₁ − Δ E ₂と設定すると、 これは次のように書き直すことができます。 ここで、質量保存の先ほど得られた結果を使用して、これを簡略化して、 圧縮性流れのベルヌーイ方程式を 得ることができます 。$${\displaystyle 0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.}$$ $${\displaystyle \Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0}$$ $${\displaystyle \Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t}$$ $${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$ $${\displaystyle 0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b}$$

同等の式は流体エンタルピー（ h） で表すことができます。$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b}$$

アプリケーション

エアバスA340の翼の上面に見える結露は、圧力と温度の低下に伴う相対湿度 の上昇によって引き起こされます。

繊維材料を掴むための改良ベルヌーイベースグリッパーの煙のような気流^{[ 22 ] [ 23 ]}。気流の方向を変えることで、ロボットによる材料の掴みや操作中に生じる振動を排除することができる。

現代の日常生活では、実際の流体が完全に非粘性であることはないにもかかわらず、ベルヌーイの原理を適用することでうまく説明できる観察が数多くあります^{[ 24 ]}。また、小さな粘性が流れに大きな影響を与えることがよくあります。

• ベルヌーイの定理は、翼近傍の流体の流れの挙動が分かっている場合、翼にかかる揚力の計算に使用できます。たとえば、航空機の翼の上面を流れる空気が下面を流れる空気よりも速く移動している場合、ベルヌーイの定理によれば、翼表面の圧力は下面よりも上面の方が低くなります。この圧力差により、上向きの揚力が生じます。^{[ d ] [ 25 ]}翼の上面と下面を通過する速度の分布が分かっている場合はいつでも、ベルヌーイの式を使用して揚力を（良好な近似値で）計算できます。^{[ 26 ]}この式は、最初の人間が作った翼が飛行の目的で使用される1世紀以上前にベルヌーイによって確立されました。
• 多くのレシプロエンジンに用いられるキャブレターの基本構造は、気流中に低圧領域を作り出すスロートです。この低圧領域によって燃料がキャブレターに引き込まれ、流入する空気と完全に混合されます。スロート内の低圧はベルヌーイの定理によって説明できます。ベルヌーイの定理では、スロート内の空気は最高速で移動しているため、圧力は最低になります。キャブレターは、空気流に対するベンチュリー効果によって生じる2つの静圧差を利用して燃料を強制的に流す場合と、そうでない場合があり、キャブレターはスロートとフロートボウル内の局所的な空気圧、またはスロートと空気入口のピトー管との間の圧力差を基本構造としています。
• 蒸気機関車または静的ボイラーのインジェクター。
• 航空機のピトー管と静圧ポートは、航空機の対気速度を測定するために使用されます。これら2つの装置は対気速度計に接続されており、対気速度計は航空機を通過する気流の動圧を測定します。ベルヌーイの定理を用いて対気速度計を校正し、動圧に応じた対気速度を表示します。 ^{[ 1 ] : § 3.8}
• ドゥ・ラバルノズルはベルヌーイの原理を利用し、推進剤の燃焼によって発生する圧力エネルギーを速度に変換することで力を生み出します。これにより、ニュートンの運動の第三法則に基づいて推力が発生します。
• 流体の流速は、ベンチュリーメーターやオリフィスプレートなどの装置を用いて測定できます。これらの装置は、パイプラインに設置して流れの直径を縮小することができます。水平方向の装置の場合、連続の式から、非圧縮性流体の場合、直径の縮小によって流体の流速が増加することが示されます。続いて、ベルヌーイの定理から、直径が縮小した領域では圧力が低下することが示されます。この現象はベンチュリー効果として知られています。
• 底部に穴または蛇口を備えたタンクの最大排水速度は、ベルヌーイの式から直接計算でき、タンク内の流体の高さの平方根に比例することが分かります。これはトリチェリの法則であり、ベルヌーイの原理と整合しています。粘度が上昇するとこの排水速度は低下します。これは、レイノルズ数とオリフィスの形状の関数である排出係数に反映されます。 ^{[ 27 ]}
• ベルヌーイグリップはこの原理を利用して、表面とグリッパーの間に非接触の接着力を生み出します^{[ 28 ]}。

誤解

翼の揚力

翼の揚力に関する誤った等通過時間の説明の図解

揚力に関する最も一般的な誤った説明の一つは、空気は翼の上面と下面を同じ時間で通過しなければならないというものです。これは、上面の方が飛行経路が長いため、空気は翼の上面を底面よりも速く移動しているはずだということを意味します。そしてベルヌーイの定理を引用し、翼の上面の圧力は下面よりも低いはずだという結論に至ります。^{[ 29 ] [ 30 ]}

等通過時間は揚力を発生しない物体の周りの流れには適用されますが、揚力を発生する物体の場合に等通過時間を要求する物理的原理は存在しません。実際、理論は、空気が揚力を発生させる物体の上面を通過する時間が下面を通過する時間よりも短いことを予測し、実験はそれを裏付けています。等通過時間に基づく説明は誤りです。 ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}等時間の説明は誤りですが、ベルヌーイの原理が誤りなわけではありません。なぜなら、この原理は十分に確立されており、ベルヌーイの式は空気力学的揚力の一般的な数学的処理で正しく使用されているからです。^{[ 34 ] [ 35 ]}

一般的な教室でのデモンストレーション

ベルヌーイの定理を用いて説明される、よくある教室での実演がいくつかあります。^{[ 36 ]}一つは、紙を水平に持ち、垂れ下がらせ、その上から息を吹きかけるというものです。実演者が紙に息を吹きかけると、紙が浮き上がります。そして、これは「空気の流れが速いほど圧力が低い」ためだと説明されます。^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

この説明の問題点の 1 つは、紙の下側に沿って息を吹きかけることでわかります。紙のたわみがより高速に移動する空気によって引き起こされた場合、紙は下方向にたわむはずです。しかし、より高速に移動する空気が上側であろうと下側であろうと、紙は上方向にたわみます。^{[ 40 ]}もう 1 つの問題は、空気が実演者の口から出るときに周囲の空気と同じ圧力になるということです。 ^{[ 41 ]}空気は、動いているからといって圧力が低くなるわけではありません。実演では、実演者の口から出る空気の静圧は周囲の空気の圧力と等しくなります。 ^{[ 42 ] [ 43 ]} 3 つ目の問題は、紙の上下の空気は異なる流れ場であり、ベルヌーイの原理は流れ場内でのみ適用されるため、ベルヌーイの式を使用して紙の両側の流れを関連付けるのは誤りであるということです。^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}

原理の文言によってその意味合いが変化する可能性があるため、原理を正しく述べることが重要です。^{[ 48 ]}ベルヌーイの原理が実際に述べているのは、一定のエネルギーの流れの中で、流体が低圧領域を通過すると速度が上昇し、低圧領域を通過すると速度が上昇するというものです。^{[ 49 ]}したがって、ベルヌーイの原理は、流れ場における速度の変化と圧力の変化に関係しています。異なる流れ場を比較するためには使用できません。

紙が上昇する理由を正しく説明するには、紙の曲線に沿って煙が流れ、曲線状の流線では流れの方向と垂直な圧力勾配が生じ、曲線の内側では圧力が低くなることを観察する必要がある。 ^{[ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}ベルヌーイの定理によれば、圧力の低下は速度の増加と関連している。言い換えれば、空気が紙の上を通過すると、速度が上がり、実演者の口から出た時よりも速く移動する。しかし、実演からはこれが明らかではない。^{[ 54 ] [ 55 ] [ 56 ]}

吊り下げられた2つの球の間に息を吹き込む、大きな袋を膨らませる、気流の中にボールを吊るすといった、教室でよく行われる他の実演も、「空気の流れが速いほど圧力が低くなる」という同様に誤解を招くような説明がされることがある。^{[ 57 ] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]}

参照

• トリチェリの法則
• コアンダ効果
• オイラー方程式– 非粘性流体の流れ
• 水力学– 液体の応用流体力学
• ナビエ・ストークス方程式– 粘性流体の流れ
• ティーポット効果
• 流体力学の用語

注記

1. 粒子が圧力が変化する領域（ x方向にゼロではない圧力勾配）にあり、粒子の大きさが有限である場合、粒子の前面は背面とは異なる圧力を「受ける」ことになります。より正確には、 x方向に圧力が低下する場合（ ⁠d p/d x⁠ < 0）では、後方の圧力が前方よりも高く、粒子は（正の）正味の力を受ける。ニュートンの第二法則によれば、この力は加速を引き起こし、粒子は流線に沿って移動するにつれて速度が増加する。…ベルヌーイの式はこれを数学的に記述する（完全な導出は付録を参照）。 ^{[ 7 ]}
2. 空気の加速は圧力勾配によって引き起こされます。圧力が低下すると、空気は速度の方向に加速されます。したがって、圧力の低下は速度の上昇の原因となります。 ^{[ 8 ]}
3. 物体が流線に沿って移動すると、高圧力領域に移動するにつれて、前方の圧力（後方の圧力よりも高い）が物体に作用し、速度を低下させるという考え方です。逆に、物体が低圧力領域に移動するにつれて、後方の圧力（前方の圧力よりも高い）が物体に作用し、速度を上昇させます。ニュートンの運動法則が示すように、不均衡な力は常に運動量（および速度）の変化を引き起こします。 ^{[ 9 ]}
4. 「空気流が翼型を通過すると、ベルヌーイの定理に従って、翼型の周囲で局所的な速度変化が生じ、その結果、静圧が変化する。圧力分布は、翼型の揚力、ピッチングモーメント、形状抗力、そして圧力中心の位置を決定する。」 ^{[ 1 ] : § 5.5}

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57. ボブロウスキー、マット。「Q: 本当にベルヌーイ効果によるものか？」サイエンス101。全米科学教育協会。ベルヌーイ効果は、よく（そして誤って）次のようなことを説明するのに用いられます。：2つの吊り下げられた風船や卓球のボールの間に息を吹き込むと、なぜ互いに近づくのか。：紙に息を吹きかけるとなぜ浮き上がるのか。：投げられた野球ボールがなぜ曲がるのか。：スプーンが水流に引き寄せられる理由。：ボールが空気噴流の中で浮かんでいる理由。これらの現象はどれもベルヌーイ効果によるものではありません。
58. Kamela, Martin (2007年9月). 「ベルヌーイについて考える」 . The Physics Teacher . 45 (6). American Association of Physics Teachers: 379– 381. Bibcode : 2007PhTea..45..379K . doi : 10.1119/1.2768700 . 2013年2月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。最後に、空気の噴流の中で浮遊するボールの最初の例に戻りましょう。空気流の中でボールが安定する理由について、「噴流内の圧力が周囲の大気の圧力よりも低いため」という単純な説明は明らかに誤りです。自由空気の噴流内の静圧は、周囲の大気の圧力と同じです…。
59. スミス、ノーマン F. (1972年11月). 「流体力学におけるベルヌーイとニュートン」.物理学教師. 10 (8): 455.書誌コード: 1972PhTea..10..451S . doi : 10.1119/1.2352317 .非対称流（ベルヌーイの定理ではない）は、傾いた掃除機の排気口の中で不思議に浮かぶピンポンボールやビーチボールの揚力も説明する…
60. Bauman, Robert P. 「ベルヌーイの難問」（PDF） . introphysics.info . アラバマ大学バーミンガム校物理学部.オリジナル（PDF）から2012年2月25日アーカイブ。 2012年6月25日閲覧。ベルヌーイの定理は、非ベルヌーイ力を用いた実証によってしばしば曖昧にされる。例えば、ボールは上昇する空気や水の噴流に支えられているが、これはあらゆる流体（空気と水）が粘性を持つためであり、流体の一部が別の部分を通過する際の滑りを遅らせる。
61. Craig, Gale M. 「有翼飛行の物理的原理」. 2016年3月31日閲覧.空気流の圧力低下による揚力、あるいは流路の制限による圧力低下を示すものとして誤って説明されることもあるデモンストレーションでは、ボールまたは風船が空気の噴流によって吊り下げられます。
62. Anderson, David F.; Eberhardt, Scott. 「ニュートン流による翼の揚力の記述」（PDF） p. 12。 2016年3月11日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ– integener.com経由。2つ目の例は、ヘアドライヤーの垂直排気口にピンポン玉が閉じ込められることです。これはベルヌーイの原理の実証であると説明されています。しかし、排気口のpsの値はそれより低いわけではないことが分かっています。ここでも、ボールを気流の中に留めているのは運動量の伝達です。ボールが排気口の端に近づくと、ボールの周囲に非対称な流れが生じ、ボールは流れの端から押し出されます。糸で吊るされた2つのピンポン玉の間を息を吹き込む場合も同様です。
63. 「薄い金属シート - コアンダ効果」 physics.umd.eduメリーランド大学物理学講義・実演施設。2012年6月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年10月23日閲覧。この実演は、ベルヌーイの定理を用いて誤って説明されることがよくあります。誤った説明によると、シート間の領域では空気の流れが速く、シートの外側の静かな空気と比較して圧力が低くなります。
64. "回答 #256" . physics.umd.edu . メリーランド大学物理学講義・実演施設. 2014年12月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2014年12月9日閲覧。この実演を説明するためにベルヌーイ効果がしばしば用いられ、あるメーカーはこの実演用の素材を「ベルヌーイバッグ」として販売しているが、これはベルヌーイ効果では説明できず、むしろ引き込み現象によって説明できる。

外部リンク

• 乾いた水の流れ - ファインマン物理学講義
• 科学101の質問：それは本当にベルヌーイ効果によって引き起こされるのですか？
• ベルヌーイ方程式計算機
• ミラーズビル大学 – オイラー方程式の応用
• NASA – 空気力学の初心者向け ガイド2012年7月15日アーカイブ- Wayback Machine
• ベルヌーイ方程式の誤解 – ウェルトナーとインゲルマン＝サンドバーグ 2012年2月8日アーカイブ- Wayback Machine