ザッパ・シェップ積

数学、特に群論において、ザッパ・シェップ積（ザッパ・レデイ・シェップ積、一般積、ニット積、正確な因数分解、双交差積とも呼ばれる）は、2つの部分群から群を構成する方法を記述する。これは直積と半直積の一般化である。この積はグイド・ザッパ（1940）とイェネー・シェップ（1950）にちなんで名付けられたが、BHノイマン（1935）、GAミラー（1935）、JAデ・セギエ（1904）を含む他の人々によって独立に研究された。^{[ 1 ]}

社内 Zappa-Szép 製品

G を単位元eを持つ群とし、HとKをGの部分群とする。以下の文は同値である。

• G = HKかつH ∩ K = { e }
• Gの各gに対して、 g = hkとなる、Hの一意のhとKの一意のkが存在する。

これらのステートメントのいずれか（つまり両方）が成り立つ場合、G はHとKの内部Zappa–Szép 積であると言われます。

例

複素数上の可逆なn×n行列の一般線型群をG = GL( n , C )とする。Gの各行列Aについて、QR分解は、主対角成分が正の実数である唯一のユニタリ行列Qと唯一の上三角行列Rが存在し、A = QRとなることを主張する。したがって、Gはユニタリ群U ( n ) と、（例えば）正の対角成分を持つ上三角行列の群Kとのザッパ・シェップ積である。

この最も重要な例の一つは、フィリップ・ホールが1937年に提唱した可溶群のシロー系の存在に関する定理である。この定理は、すべての可溶群がホールのp'部分群とシローのp部分群のザッパ・シェップ積であり、実際にはその群がそのシロー部分群の代表の特定の集合の（多因子）ザッパ・シェップ積であることを示す。

1935年、ジョージ・ミラーは、正則部分群を持つ任意の非正則推移的置換群は、正則部分群と点安定群のザッパ・シェップ積となることを示した。彼はPSL(2,11)と次数5の交代群を例として挙げており、素次数の交代群もすべて例となる。この論文では、四元数群や次数6の交代群など、真部分群のザッパ・シェップ積として実現できない群の例もいくつか挙げている。

外部の Zappa-Szép 製品

直積および半直積と同様に、与えられた群の部分群であることが事前にわかっていない群に対して、Zappa–Szép積の外部バージョンが存在します。これを説明するため、群Gの部分群HとKの内部 Zappa–Szép 積をG = HKとします。Kの各kとHの各hに対して、 Hには α( k , h )、K にはβ ( k , h )が存在し、 kh = α( k , h ) β( k , h )となります。これは、α: K × H → Hおよび β: K × H → Kへの写像を定義し、これらは以下の特性を持つことがわかります。

• Hに含まれるすべてのhとKに含まれるすべてのkに対して、α( e , h ) = hおよびβ( k , e ) = kとなる。
• α( k ₁ k ₂ , h ) = α( k ₁ , α( k ₂ , h ))
• β( k , h ₁ h ₂ ) = β(β( k , h ₁ ), h ₂ )
• α( k , h ₁ h ₂ ) = α( k , h ₁ ) α(β( k , h ₁ ), h ₂ )
• β( k ₁ k ₂ , h ) = β( k ₁ , α( k ₂ , h )) β( k ₂ , h )

Hのすべてのh ₁、h ₂、Kのすべてのk ₁、k ₂に対して成り立つ。これらから、

• Kの各kに対して、写像h ↦ α( k , h ) はHの全単射です。
• H内の各hに対して、写像k ↦ β( k , h ) はKの全単射です。

（実際、α( k , h ₁ ) = α( k , h ₂ )と仮定します。すると、h ₁ = α( k ⁻¹ k , h ₁ ) = α( k ⁻¹ , α( k , h ₁ )) = α( k ⁻¹ , α( k , h ₂ )) = h ₂となります。これにより単射性が確立され、全射性のためにはh = α( k , α( k ⁻¹ , h ))を使用します。）

より簡潔に言えば、上記の最初の3つの性質は、写像 α : K × H → HがKの（基礎集合の）Hへの左作用であり、写像 β : K × H → KがHの（基礎集合の）Kへの右作用であることを主張している。左作用をh → ^k h、右作用をk → k ^hと表すと、最後の2つの性質は^k ( h ₁ h ₂ ) = ^k h ₁ ^{k h ₁} h ₂および ( k ₁ k ₂ ) ^h = k ₁ ^{k ₂ h} k ₂ ^{h となる}。

これを逆にして、HとKが群（eを各群の単位元とする）であり、上記の性質を満たす写像α: K × H → Hとβ: K × H → Kが存在するとする。直積H × Kにおいて、それぞれ乗法と逆写像を次のように定義する。

• ( h ₁ , k ₁ ) ( h ₂ , k ₂ ) = ( h ₁ α( k ₁ , h ₂ )、β( k ₁ , h ₂ ) k ₂ )
• ( h , k ) ⁻¹ = (α( k ⁻¹ , h ⁻¹ ), β( k ⁻¹ , h ⁻¹ ))

すると、H × K は群HとKの外部ザッパ・ゼップ積と呼ばれる群となる。部分集合H × { e } と { e } × K はそれぞれHとKに同型な部分群であり、H × Kは実際にはH × { e } と { e } × Kの内部ザッパ・ゼップ積となる。

半直積と直積との関係

G = HK を部分群HとKの内部ザッパ・シェップ積とする。Hが G において正規群ならば、写像αとβはそれぞれ α( k , h ) = khk ^{− 1}と β( k , h ) = kで与えられる。これは であり、の正規性により となるので 容易に理解できる。この場合、GはHとKの内部半直積となる。 ${\displaystyle (h_{1}k_{1})(h_{2}k_{2})=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})}$ ${\displaystyle h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H}$

さらに、KがGにおいて正規分布である場合、 α( k , h ) = hとなる。この場合、GはHとKの内部直積となる。

参照

補集合（群論）

参考文献

1. Martin W. Liebeck、Cheryl E. Praeger、Jan Saxl (2010).原始順列群の正則部分群. アメリカ数学会. pp.  1– 2. ISBN 978-0-8218-4654-4。

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• Michor, PW (1989)、「Knit product of graded Lie algebras and groups」、Proceedings of the Winter School on Geometry and Physics、Srni、Suppl. Rendiconti Circolo Matematico di Palermo、Ser. II、22 : 171– 175、arXiv : math/9204220、Bibcode : 1992math......4220M。
• ミラー, GA (1935)、「二つの可換な固有部分群の積である群」、米国科学アカデミー紀要、21 (7): 469– 472、Bibcode : 1935PNAS...21..469M、doi : 10.1073/pnas.21.7.469、PMC  1076628、PMID  16588002
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• 竹内正之 (1981)、「ホップ代数の群のマッチドペアとビスマッシュ積」、代数誌、9 (8): 841– 882、doi : 10.1080/00927878108822621。
• ザッパ、G. (1940)、「SullacostruzionedeigruppiprodottodiDuedatisottogruppipermutabilitraloro」、AttiSecondo Congresso Un。マット。イタル。、ボローニャ;エディツィオーニ・クレモネンセ、ローマ、(1942) 119–125。
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