重調和写像

微分幾何学という数学の分野において、重調和写像とは、ある 4 階偏微分方程式を満たすリーマン多様体または擬リーマン多様体間の写像である。重調和部分多様体とは、領域に誘導計量が備わっているときに重調和写像となるリーマン多様体または擬リーマン多様体への埋め込みまたは浸漬を指す。重調和写像を理解する問題は、 1983 年にJames Eellsと Luc Lemaireによって提起された。 ^{[ 1 ]}重調和写像の研究は調和写像の研究から派生したもので (任意の調和写像は重調和写像でもある)、過去 20 年間にわたり活発な研究分野であった (そして現在もなお続いている)。^{[ 2 ]}重調和写像の簡単な例は、重調和関数によって与えられる。

意味

リーマン多様体または擬リーマン多様体( M、g )と( N、h )に対して、 MからNへの少なくとも 4 回微分可能な写像fは、 Mの任意の 点pが与えられ、この方程式の各辺がf ( p )におけるNへの接空間の元であるとき 、重調和写像と呼ばれます。^{[ 3 ]}言い換えれば、上記の方程式はベクトル束f ^* TN → Mの切断の等式です。この方程式で、e ₁、...、e _mはMへの接空間の任意のg直交基底であり、 R ^hは、慣例R ( u、v、w ) = ∇ _u ∇ _v w − ∇ _v ∇ _u w − ∇ _{[ u、v ]} wに従うリーマン曲率テンソルです。∆ fはfの「張力場」または「ラプラシアン」であり、調和写像の研究においてイールズとサンプソンによって導入された。^{[ 4 ]}$${\displaystyle \Delta \Delta f+\sum _{i=1}^{m}R^{h}{\big (}\Delta f,df(e_{i}),df(e_{i}){\big )}=0;}$$

トレース、内積、および引き戻し演算を用いると、重調和写像方程式は次のように表すことができます 。Mの局所座標x ⁱとNの局所座標y ^α を用いると、重調和写像方程式は次のように表されます。 ここで、アインシュタインの総和法は、クリストッフェル記号、リーマン曲率テンソル、張力場を次のように定義して用います。 方程式のこれらの表現から、あらゆる調和写像は自動的に重調和写像となることは明らかです。このため、適切な重調和写像とは、調和写像ではない重調和写像を指します。 $${\displaystyle \Delta \Delta f+\operatorname {tr} _{g}{\Big (}f^{\ast }{\big (}\iota _{\Delta f}R^{h}{\big )}{\Big )}=0.}$$ $${\displaystyle g^{ij}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\alpha }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }(\Delta f)^{\gamma }\right)-\Gamma _{ij}^{k}\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{k}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }(\Delta f)^{\gamma }\right)+{\frac {\partial f^{\delta }}{\partial x^{i}}}\Gamma _{\delta \epsilon }^{\alpha }\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\epsilon }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\epsilon }(\Delta f)^{\gamma }\right)\right)+g^{ij}R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }(\Delta f)^{\beta }{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\delta }}{\partial x^{j}}}=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}g^{kl}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right)\\\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }&={\frac {1}{2}}h^{\alpha \delta }\left({\frac {\partial h_{\gamma \delta }}{\partial y^{\beta }}}+{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\gamma }}}-{\frac {\partial h_{\beta \gamma }}{\partial y^{\delta }}}\right)\\R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }&={\frac {\partial \Gamma _{\gamma \delta }^{\alpha }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\beta \delta }^{\alpha }}{\partial y^{\gamma }}}+\Gamma _{\beta \rho }^{\alpha }\Gamma _{\gamma \delta }^{\rho }-\Gamma _{\gamma \rho }^{\alpha }\Gamma _{\beta \delta }^{\rho }\\\left(\Delta f\right)^{\alpha }&=g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\right).\end{aligned}}}$$

fが（擬）リーマン浸漬である特殊な設定、つまり浸漬であり、gが誘導計量f ^* hに等しい場合、二重調和写像ではなく二重調和部分多様体を持つという。 fの平均曲率ベクトルはf  : ( M , f ^* h ) → ( N , h )のラプラシアンに等しいため、浸漬が最小となるのは、それが調和である場合のみであることがわかる。特に、任意の最小浸漬は自動的に二重調和部分多様体となる。真なる二重調和部分多様体とは、最小ではない二重調和部分多様体を指す。

重調和写像方程式の根拠は、Mが閉じており、gとhがともにリーマン関数で ある設定での重エネルギー関数にある。dv _{g は}gによって誘起される上の体積測度を表す。Eells と Lemaire は 1983 年にこの関数の臨界点の研究を提案した。 ^{[ 5 ]} Guo Ying Jiang は 1986 年にその最初の変分公式を計算し、それによって上記の重調和写像方程式が対応するオイラー-ラグランジュ方程式であることを発見した。^{[ 6 ]}調和写像は、バイオエネルギー関数が最小値 0 をとる臨界点に対応する。 $${\displaystyle E_{2}(f)={\frac {1}{2}}\,\int _{M}\left|\Delta f\right|_{h}^{2}\,dv_{g},}$$ ${\displaystyle M}$

例と分類

双調和写像の例としては、 4 次元の特殊なケースにおける立体射影の逆写像や、穴あきユークリッド空間の逆写像などが数多く知られています。^{[ 7 ]}双調和部分多様体の例は数多くあり、例えば (任意のkに対して) 一般化クリフォード・トーラスは( n + 1)球面 の部分多様体として存在します。^{[ 8 ]}これは、 n が偶数で2kに等しい場合にのみ最小となります。 $${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+2}:x_{1}^{2}+\cdots +x_{k+1}^{2}=x_{k+2}^{2}+\cdots +x_{n+2}^{2}={\frac {1}{2}}\right\},}$$

3次元空間形式における重調和曲線は、フレネ方程式を用いて研究することができる。この方程式から、非正曲率の3次元空間形式におけるすべての等速重調和曲線は測地線でなければならないことが容易に導かれる。^{[ 9 ]}円形3次元球面S ^{3における任意の等速重調和曲線は、} R ⁴値関数に対する特定の定数係数4次線形常微分方程式の解として見ることができる。 ^{[ 10 ]}このように状況を完全に分析することができ、結果として、そのような曲線は球面の等長変換を除けば、次のようになる。

• S ³ ⊂ R ⁴と2次元線形部分空間R × R × {0} × {0}の交差の等速度パラメータ化
• S ³ ⊂ R ⁴と2次元アフィン部分空間R × R × { d ₁ } × { d ₂ }の交差の等速度パラメータ化。任意の( d ₁ , d ₂ )の選択に対して、R ²の原点の周りの半径2 ^{−1/2の円上にある。}
• R ²の原点の周りの半径2 ^1/2の円上の任意の( a , b )に対する一定速度の再パラメータ化。$${\displaystyle t\mapsto {\Big (}{\frac {\cos at}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin at}{\sqrt {2}}},{\frac {\cos bt}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin bt}{\sqrt {2}}}{\Big )}}$$

特に、S ³のすべての一定速度の重調和曲線は一定の測地曲率を持ちます。

ガウス・コダッツィ方程式と重調和写像方程式の純粋に局所的な研究の結果として、 S ³の任意の連結重調和面は定数平均曲率を持つ必要がある。^{[ 11 ]}もしそれがゼロでない場合（つまり曲面が最小でない場合）、重調和写像方程式からわかるように、第2 基本形式は2 ^1/2に等しい定数長さを持つ必要がある。このような強い幾何学的条件を持つ曲面は完全に分類することができ、その結果、S ³の任意の連結重調和面は局所的に（等長変換を除いて）超球面の一部であるか 、最小であるかのいずれかになる必要がある。^{[ 12 ]}同様に、定数平均曲率を持つユークリッド空間の任意の重調和超面は最小でなければならない。^{[ 13 ]}$${\displaystyle \left\{{\Big (}(w,x,y,{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big )}:w^{2}+x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}}\right\},}$$

Guo Ying Jiang は、 gとhがリーマン写像で、Mが閉じていてh が非正の断面曲率を持つ場合、 ( M、g )から( N、h )への写像が調和写像である場合に限り、重調和写像となることを示した。^{[ 14 ]}証明は、断面曲率の仮定により、|∆ f | ²のラプラシアンが非負であり、その時点で最大値原理が適用されることを示すことである。この結果と証明は、Eells と Sampson の消失定理と比較することができ、それによれば、 gのリッチ曲率が非負であれば、 ( M、g )から( N、h )への写像が調和写像である場合に限り、それが完全測地線写像となる。^{[ 15 ]}江の結果の特殊なケースとして、非正断面曲率のリーマン多様体の閉部分多様体が双調和的であるためには、それが極小でなければならない。これらの結果に部分的に基づいて、R. Caddeo、S. Montaldo、C. Oniciuc は、非正断面曲率のリーマン多様体のすべての双調和部分多様体は極小でなければならないと予想した。^{[ 16 ]}しかし、これは現在では誤りであることがわかっている。^{[ 17 ]}ユークリッド空間の部分多様体の特殊なケースは、Bang-Yen Chenの古い予想である。^{[ 18 ]} Chen の予想は、いくつかの幾何学的に特殊なケースで証明されている。^{[ 19 ]}

参照

• ビヤン・ミルズ方程式、非線形一般化

参考文献

引用

1. Eells & Lemaire 1983、(8.7)および(8.8)。
2. イールズ＆サンプソン 1964 .
3. Jiang 1986、定義5； Chen 2011、式（7.64）。
4. イールズ＆サンプソン 1964年、116ページ。
5. Eells & Lemaire 1983、(8.7)。
6. Jiang 1986、定理3。
7. Montaldo & Oniciuc 2006、セクション 5−7。
8. Jiang 1986、例12。
9. Caddeo、Montaldo、Oniciuc 2001、命題 3.1。
10. Caddeo、Montaldo、Oniciuc 2001、命題 3.2。
11. Caddeo、Montaldo、Oniciuc 2001、定理 4.5。
12. Caddeo、Montaldo、Oniciuc 2001、定理 4.8。
13. Chen 2011、系2.10。
14. 江 1986、命題7。
15. イールズ＆サンプソン 1964年、124ページ。
16. カデオ、モンタルド、オニウク、2001 年、p. 869。
17. 陳 2011、147頁。
18. Chen 1991、予想3; Chen 1996、予想25.B.6。
19. Chen 1996、定理15.4、15.6−15.8、15.10、15.12−15.13。

参考文献

書籍と調査

• 陳 バン・イェン(2011).擬リーマン幾何学、δ不変量とその応用. レオポルド・ヴェルストラレンによる序文付き. ハッケンサック, ニュージャージー: World Scientific . doi : 10.1142/9789814329644 . ISBN 978-981-4329-63-7。MR  2799371。Zbl  1245.53001。
• 陳 邦顯(2015).全平均曲率と有限型部分多様体. 純粋数学シリーズ. 第27巻. レオポルド・ヴェルストラーレンによる序文付き（1984年初版第2版）. ハッケンサック, ニュージャージー: World Scientific . doi : 10.1142/9237 . ISBN 978-981-4616-69-0。MR  3362186。Zbl  1326.53004。
• イールズ, ジェームズ; ルメール, リュック (1983).調和写像における選択されたトピック. CBMS数学地域会議シリーズ. 第50巻. プロビデンス, ロードアイランド州:アメリカ数学会. doi : 10.1090/cbms/050 . ISBN 0-8218-0700-5。MR  0703510。Zbl  0515.58011。

記事

• Caddeo, R.; Montaldo, S.; Oniciuc, C. (2001). 「S ³の重調和部分多様体」. International Journal of Mathematics . 12 (8): 867– 876. doi : 10.1142/S0129167X01001027 . MR  1863283. Zbl 1111.53302  .
• Caddeo, R.; Montaldo, S.; Oniciuc, C. (2002). 「球面上の重調和部分多様体」. Israel Journal of Mathematics . 130 : 109–123 . doi : 10.1007/BF02764073 . MR  1919374. Zbl 1038.58011  .
• 陳邦延(1991). 「有限型部分多様体に関するいくつかの未解決問題と予想」 .蘇州数学ジャーナル. 17 (2): 169– 188. MR  1143504. Zbl  0749.53037 .
• 陳邦延(1996). 「有限型部分多様体に関する報告」 .蘇州数学ジャーナル. 22 (2): 117– 337. MR  1391469. Zbl  0867.53001 .
• イールズ, ジェームズ・ジュニア;サンプソン, JH (1964). 「リーマン多様体の調和写像」.アメリカ数学ジャーナル. 86 (1): 109– 160. doi : 10.2307/2373037 . JSTOR  2373037. MR  0164306. Zbl  0122.40102 .
• 江, 郭英 (1986). 「2次元調和写像とその第一および第二変分公式」.中国数学年報A集（中国語）. 7 (4): 389– 402. MR  0886529 . Zbl  0628.58008 .— (2009). 「2調和写像とその第一および第二変分公式」 . Note di Matematica . 28 (1). 浦川一訳: 209–232 . doi : 10.1285/i15900932v28n1supplp209 . MR  2640582 . Zbl  1200.58015 .
• モンタルド、S.オニウク、C. (2006)。「リーマン多様体間の二調和写像に関する簡単な調査」(PDF)。アルゼンチン マテマティカ レビスタ デ ラ ユニオン。47 ( 2) : 1–22。MR 2301373 。 Zbl 1140.58004。