ネーゲル点

  任意の三角形△ ABC

  △ ABCの辺にT _A、 T _B、 T _Cで接する外接円

  三角形をエクスタッチ△ T _A T _B T _C

  周囲の分割線AT _A、BT _B、CT _C ;ナーゲル点Nで交差する

幾何学において、ナーゲル点（クリスチャン・ハインリヒ・フォン・ナーゲルにちなんで名付けられた）は三角形の中心であり、三角形の配置や大きさに依存しない定義を持つ点の一つである。これは三角形の3つの分割線すべてが一致する点である。

工事

三角形△ ABCにおいて、A外接円と直線BC 、 B外接円と直線CA、 C 外接円と直線ABがそれぞれ交わる点をT _A、 T _B、 T _Cとする。直線AT _A、 BT _B、 CT C_は三角形△ ABCのナーゲル点Nに一致する。

点T _Aの別の作図法は、点Aを起点として三角形△ ABC の周囲の長さの半分をなぞり、同様に点 T _Bと点T _Cについてもなぞることです。この作図法のため、ナーゲル点は「二等分周点」とも呼ばれ、線分AT _A、BT _B、CT _Cは三角形の分割線と呼ばれます。

ナーゲル点の簡単な構成法があります。三角形の各頂点から、対辺の長さの2倍を引けば十分です。ナーゲル点に交わる3本の直線が得られます。^{[ 1 ]}

ナーゲル点の簡単な構築

他の三角形の中心との関係

ナーゲル点はジェルゴンヌ点の等角共役点である。ナーゲル点、重心、内心は、ナーゲル線と呼ばれる直線上に一直線上にある。内心は、内接三角形のナーゲル点である。^{[ 2 ] [ 3 ]}同様に、ナーゲル点は反補三角形の内心である。ナーゲル点の等角共役点は、混合線接触点と対頂点を結ぶ直線の一致点である。

重心座標

ナーゲル点の正規化されていない重心座標は、基準三角形△ ABCの半周長です。 ${\displaystyle (sa:sb:sc)}$ ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$

三線座標

ナーゲル点の三線座標は^{[ 4 ]}のように 表される。

${\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$

あるいは、等価的に、辺の長さで言えば${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|,}$

${\displaystyle {\frac {b+ca}{a}}\,:\,{\frac {c+ab}{b}}\,:\,{\frac {a+bc}{c}}.}$

歴史

ナーゲル点は、1836年にこのことについて書いた19世紀のドイツの数学者、クリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲルにちなんで名付けられました。この点の研究への初期の貢献は、アウグスト・レオポルド・クレレとカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによってもなされました。^{[ 5 ]}

参照

• マンダート楕円
• 周囲の三等分点

参考文献

1. Dussau, Xavier (2020年4月). 「ナーゲル点の基本構成」 . HAL .
2. 匿名 (1896). 「問題73」. 幾何学の解答問題.アメリカ数学月刊. 3 (12): 329. doi : 10.2307/2970994 . JSTOR 2970994 . 
3. 「内心が内三角形のナーゲル点であるのはなぜか？」Polymathematics。
4. ウィリアム・ギャラトリー（1913年）『三角形の現代幾何学』（第2版）ロンドン：ホジソン社、20頁。
5. バプテスト、ピーター (1987)。 「ジェルゴンヌとナーゲル・プンクトの歴史」。Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften。71 ( 2 ) : 230–233。MR 0936136 。 

外部リンク

• カット・ザ・ノットのナゲルポイント
• ナゲルポイント、クラーク・キンバーリング
• ワイスタイン、エリック・W. 「ネーゲル・ポイント」。マスワールド。
• ダイナミック ジオメトリ スケッチでのSpieker 円錐と Nagel 線の一般化Spieker 円とそれに関連する Nagel 線を一般化します。