左右対称行列

数学において、双対称行列とは、両方の主対角線について対称な正方行列のことです。より正確には、 $n$ $\times$ $n$ 行列 $Aが双対称行列であるとは、$ $A$ $=$ $A$ $T$ （それ自体が転置行列である）と $AJ$ $=$ $JA$ （ $J$ は $n$ $\times$ $n$ 交換行列）の両方を満たす場合を指します。

例えば、次のような行列は

${\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{12}&a_{ 22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{14}&a_{24}&a_{23}&a_{22}&a_{12}\\a_{15}&a_{14}&a_{13}&a_{12}&a_{11}\end{bmatrix}}$

は左右対称である。この例に関連する交換行列は $5\times 5$

$J_{5}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{bmatrix}}$

プロパティ

双対称行列は、対称中心対称行列と対称過対称行列の両方です。
2 つの左右対称行列の積は中心対称行列です。
実数値双対称行列とは、交換行列を前乗または後乗した後の符号変化を除けば固有値が同じままである対称行列のことである。^[¹^]
Aが異なる固有値を持つ実対称行列である場合、 Aと可換な行列は必ず対称行列となる。^[²^]
対称行列の逆行列は漸化式で表すことができる。^{[ 3 ]}

参考文献

^ Tao, David; Yasuda, Mark (2002). 「一般化実対称中心対称行列および一般化実対称歪中心対称行列のスペクトル特性評価」 . SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 23 (3): 885– 895. doi : 10.1137/S0895479801386730 .
^ Yasuda, Mark (2012). 「可換および反可換なm-反転のいくつかの性質」. Acta Mathematica Scientia . 32 (2): 631– 644. doi : 10.1016/S0252-9602(12)60044-7 .
^ Wang, Yanfeng; Lü, Feng; Lü, Weiran (2018-01-10). 「双対称行列の逆行列」.線形代数と多重線形代数. 67 (3): 479– 489. doi : 10.1080/03081087.2017.1422688 . ISSN 0308-1087 . S2CID 125163794 .

[simax0-1] Tao, David; Yasuda, Mark (2002). 「一般化実対称中心対称行列および一般化実対称歪中心対称行列のスペクトル特性評価」 . SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 23 (3): 885– 895. doi : 10.1137/S0895479801386730 .

[acta-2] Yasuda, Mark (2012). 「可換および反可換なm-反転のいくつかの性質」. Acta Mathematica Scientia . 32 (2): 631– 644. doi : 10.1016/S0252-9602(12)60044-7 .

[3] Wang, Yanfeng; Lü, Feng; Lü, Weiran (2018-01-10). 「双対称行列の逆行列」.線形代数と多重線形代数. 67 (3): 479– 489. doi : 10.1080/03081087.2017.1422688 . ISSN 0308-1087 . S2CID 125163794 .

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