中心対称行列

中心対称5×5行列の対称パターン

数学、特に線形代数と行列理論において、中心対称行列とは、その中心に関して対称な 行列のことです。

正式な定義

n × n行列A = [ A _{i , j} ]は、その要素が

$${\displaystyle A_{i,\,j}=A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{すべての }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\} について。}$$

あるいは、J が対角要素に 1 、それ以外に 0 を持つn × n交換行列を表す場合、 行列AはAJ = JAの場合にのみ中心対称になります。 $${\displaystyle J_{i,\,j}={\begin{cases}1,&i+j=n+1\\0,&i+j\neq n+1\\\end{cases}}}$$

例

• すべての2×2中心対称行列は次の形をとる。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a\end{bmatrix}}.}$$
• すべての3×3中心対称行列は次の形をとる。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&d\\c&b&a\end{bmatrix}}.}$$
• 対称テプリッツ行列は中心対称です。

代数構造と性質

• AとB が体F上のn × n中心対称行列であるならば、Fの任意のcに対してA + BとcAも中心対称行列となる。さらに、行列積ABはJAB = AJB = ABJであるため、中心対称行列である。単位行列も中心対称行列であるため、F上のn × n中心対称行列の集合は、すべてのn × n行列の結合代数の部分代数を形成する。
• Aがm次元の固有基底を持つ中心対称行列である場合、そのm個の固有ベクトルはそれぞれx = J xまたはx = − J x（Jは交換行列）を満たすように選択できます。
• Aが異なる固有値を持つ中心対称行列である場合、 Aと交換される行列は中心対称でなければなりません。^{[ 1 ]}これは、「行列AとBが交換され、Aが異なる固有値を持つ場合、BはAの多項式である」という定理に従います。
• m × mの中心対称行列における一意の要素の最大数は

${\displaystyle {\frac {m^{2}+m{\bmod {2}}}{2}}.}$

これはすべてのm × m中心対称行列 のベクトル空間の次元でもある。

関連する構造

n × n行列Aは、その要素が次を満たすとき 、歪中心対称行列であるといいます。同様 に、AJ = − JAのとき、Aは歪中心対称行列です。ここで、 Jは前に定義した交換行列です。 $${\displaystyle A_{i,\,j}=-A_{n-i+1,\,n-j+1}\quad {\text{すべての }}i,j\in \{1,\,\ldots ,\,n\} に対して。}$$

中心対称関係AJ = JA は自然な一般化が可能で、Jは逆行列K (つまりK ² = I ) ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}、より一般的には、整数m > 1に対してK ^m = Iを満たす行列Kに置き換えられます。^{[ 1 ]} 交換関係AK = KAの逆問題として、固定行列Aと交換可能なすべての逆行列Kを特定する問題も研究されています。^{[ 1 ]}

対称中心対称行列は、双対称行列と呼ばれることもあります。基底体が実数である場合、双対称行列とは、交換行列による前置乗算または後置乗算後の符号変化を除けば、固有値が変化しない対称行列であることが示されています。^{[ 3 ]} 同様の結果は、エルミート中心対称行列と歪中心対称行列にも当てはまります。^{[ 5 ]}

参考文献

1. Yasuda, Mark (2012). 「可換および反可換なm-反転のいくつかの性質」. Acta Mathematica Scientia . 32 (2): 631– 644. doi : 10.1016/S0252-9602(12)60044-7 .
2. アンドリュー、アラン (1973). 「特定の行列の固有ベクトル」線形代数応用7 ( 2): 151– 162. doi : 10.1016/0024-3795(73)90049-9 .
3. Tao, David; Yasuda, Mark (2002). 「一般化実対称中心対称行列および一般化実対称歪中心対称行列のスペクトル特性評価」 SIAM J. Matrix Anal. Appl . 23 (3): 885– 895. doi : 10.1137/S0895479801386730 .
4. Trench, WF (2004). 「一般化対称性または歪対称性を持つ行列の特性と性質」線形代数応用377 : 207–218 . doi : 10.1016 /j.laa.2003.07.013 .
5. Yasuda, Mark (2003). 「エルミート中心対称K行列とエルミート歪中心対称K行列のスペクトル特性評価」SIAM J. Matrix Anal. Appl . 25 (3): 601– 605. doi : 10.1137/S0895479802418835 .

さらに読む

• ミュア、トーマス(1960). 『行列式理論に関する論文』 ドーバー. p.  19. ISBN 0-486-60670-8。
• ウィーバー, ジェームズ・R. (1985). 「中心対称（交差対称）行列、その基本的性質、固有値、固有ベクトル」.アメリカ数学月刊誌. 92 (10): 711– 717. doi : 10.2307/2323222 . JSTOR  2323222 .

外部リンク

• MathWorldの中心対称行列。