一般相対論における質量

一般相対性理論では、質量の概念は古典力学や特殊相対性理論よりも微妙です。理論自体は、質量の好ましい局所的な定義を特定しておらず、異なる幾何学的または物理的状況下で適用可能な、いくつかの異なる質量の概念が導入されています。この微妙な点は、重力場のエネルギーと運動量を明確に局在化できないという事実に起因しています。[ 1 ]：第20章

結果として、一般相対論における質量は、ニュートン力学におけるような局所量として定義することはできない。なぜなら、重力場には不変の局所エネルギー密度が存在しないからである。質量の概念は、グローバルデータまたは境界データから間接的に得られるが、これには通常、対称性や時空の漸近的挙動に関する仮定といった追加の幾何学的構造が必要となる。漸近的に平坦な時空や漸近的に反ド・ジッター時空など、重要な時空クラスにおいては、適切な境界条件によって意味のある定義が可能となるため、明確に定義された全質量の概念が存在する。他の設定では、異なる、あるいはより洗練された構成が必要となる。

概念上の障害

特殊相対論では、粒子の静止質量はエネルギーと運動量によって明確に定義できます（特殊相対論における質量を参照）。しかし、一般相対論では、エネルギーと運動量の概念を拡張することは、はるかに微妙です。重要な難しさは、重力場自体が系の全エネルギーと運動量に寄与することです

他の物理場とは異なり、重力場は一般に共変な局所的なエネルギー・運動量密度を持たない。応力・エネルギーテンソルは非重力物質場のみを記述するが、重力に関連する寄与はアインシュタイン場の方程式を通して時空の幾何学に符号化される。特定の座標系では重力寄与の一部を応力・エネルギー・運動量擬テンソルを用いて表すことができるが、そのような構成は観測者に依存し、一般に受け入れられている局所的な重力エネルギーの概念にはならない。[ 2 ]

このような定義には、正値性、あるいは少なくとも下限値の存在が重要な要件となる。孤立系の全質量が下限値を超えて無限大であれば、いかなる構成も絶対的に安定ではあり得ない。この原理は、正エネルギー定理によって明確にされている。この定理は、適切なエネルギー条件下では、漸近平坦時空の全質量は非負であり、ミンコフスキー空間においてのみ零となることを述べている。この結果は、一般相対論における質量の数学的および物理的理解において基本的な役割を果たす。

一般相対論における質量の種類

一般相対論では、対称性の存在、時空の漸近構造、または重力場が調べられるスケールに応じて、質量に関するいくつかの異なる概念が生じます。

静止時空におけるコマール質量

定常時空の非技術的な定義は、計量係数のいずれも時間の関数ではない時空である。ブラックホールのシュワルツシルト計量や回転ブラックホールのカー計量は、定常時空の一般的な例である。 gμν{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}

定義により、静止時空は時間並進対称性を示す。これは専門的には時間的キリングベクトルと呼ばれる。系が時間並進対称性を持つため、ノイマンの定理によりエネルギー保存則が成立することが保証される。静止系には運動量がゼロとみなせる明確に定義された静止系も存在するため、系のエネルギーを定義すると質量も定義される。一般相対論では、この質量は系のコマー質量と呼ばれる。コマー質量は静止系に対してのみ定義できる。

コマー質量は磁束積分によっても定義できます。これは、ガウスの法則が面に囲まれた電荷を、法線方向の電気力と面積の積として定義するのと似ています。ただし、コマー質量の定義に使用される磁束積分は、電場の定義に使用されるものとは若干異なります。法線方向の電気力は実際の力ではなく、「無限遠における力」です。詳細については、 メイン記事をご覧ください。

2 つの定義のうち、時間並進対称性の観点から見たコマール質量の記述は、最も深い洞察を提供します。

漸近平坦時空におけるADM質量とボンディ質量

重力源を含む系が無限の真空領域に囲まれている場合、時空の幾何学は遠距離において平坦なミンコフスキー時空の幾何学に近づく。このような時空は漸近平坦時空と呼ばれる。この設定において、重力場に関連するエネルギー、運動量、質量といった大域的な概念を定義することができる。

漸近平坦な時空においては、誘導幾何学が適切な意味で漸近平坦であるような時空的超曲面を考えることができる。このような超曲面上では、一般相対論のハミルトン定式化により、時空の漸近対称性に関連する保存量が導かれる。特に、ノイマン定理の漸近版により、無限遠における時間並進と空間並進は、ADMエネルギーとADM運動量として知られる保存エネルギーと運動量をもたらす。

ADMのエネルギーと運動量は、エネルギー・運動量4元ベクトルを形成する。ADM質量は、この4元ベクトルのローレンツ不変ノルムとして定義され、 空間無限遠で測定された孤立重力系の質量・エネルギー総量を表す。適切な条件下では、ADM量は、選択された特定の漸近平坦な時空的超曲面に依存しない。 Pμ＝（EADM、PADMi）{\displaystyle P^{\mu}=(E_{\mathrm {ADM} },P_{\mathrm {ADM} }^{i})}MADM＝EADM2−|PADM|2、{\displaystyle M_{\mathrm {ADM} }={\sqrt {E_{\mathrm {ADM} }^{2}-|P_{\mathrm {ADM} }|^{2}}},}

ヌル無限大においては、密接に関連する概念が定義される。これらはボンダイエネルギー、運動量、質量として知られ、遠方の観測者によってヌル方向に沿って測定される孤立系の質量を表す。ADM質量とは対照的に、ボンダイ質量は重力輻射の放出によって時間とともに減少する可能性がある。

ADMのエネルギー・運動量を計算する便利な方法の一つは、空間無限大に近づく大きな2次元面上でフラックス積分を評価することである。漸近的に直交座標系で表すと、時空計量は無限大近傍で次の式で表される。

gμν＝ημν＋hμν、{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },}

ここでは平坦なミンコフスキー計量であり、無限大で適切に減衰する偏差を表す。これらの表現は、上記のハミルトニアン定義の座標実現を与える。 ημν{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}hμν{\displaystyle h_{\mu \nu}}

この定式化では、ADMエネルギーはフラックス積分で与えられる。 EADM＝P0{\displaystyle E_{\mathrm {ADM} }=P^{0}}

P0＝116πG∫（∂khjk−∂jhkk）d2Sj、{\displaystyle P^{0}={\frac {1}{16\pi G}}\int \left(\partial ^{k}h_{jk}-\partial ^{j}h_{kk}\right)d^{2}S_{j},}

ここで、は空間無限遠にある大きな球面であり、はその外向きの単位法線を表し、空間インデックス上ではアインシュタインの総和法則が成立すると仮定される。この式に常微分が含まれるのは、計量が漸近的に平坦計量に近づくと仮定されるためである。 S{\displaystyle S}Sj{\displaystyle S_{j}}

この式に対するある程度の直感は、大きな半径 の球面を考えることで得られます。源から遠い距離では、 の成分は通常 のように減衰するため、その導関数は のように減衰します。球面の面積は のように増加するため、結果として得られる積分は有限値に収束します。 r{\displaystyle r}hij{\displaystyle h_{ij}}r−1{\displaystyle r^{-1}}r−2{\displaystyle r^{-2}}r2{\displaystyle r^{2}}

ADM運動量の表現も同様の方法で得られる。テンソルを導入する。

Hμανβ＝−h¯μνηαβ−ημνh¯αβ＋h¯ανημβ＋h¯μβηαν、{\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }=-{\bar {h}}^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }-\eta ^{\mu \nu }{\bar {h}}^{\alpha \beta }+{\bar {h}}^{\alpha \nu }\eta ^{\mu \beta }+{\bar {h}}^{\mu \beta }\eta ^{\alpha \nu },}

ここで

h¯μν＝hμν−12ημνhαα。{\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h_{\alpha }^{\alpha }.}

ADMエネルギー・運動量4元ベクトルは、フラックス積分から得られます

Pμ＝116πG∫∂αHμα0jd2Sj。{\displaystyle P^{\mu }={\frac {1}{16\pi G}}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}\,d^{2}S_{j}.}

この式から得られるの表現は、上記で定義した ADM エネルギーと一致します。 P0{\displaystyle P^{0}}

ほぼ平坦な時空に対するニュートン限界

ニュートンの極限では、ほぼ平坦な時空における準静的システムの場合、システムのエネルギーの非重力成分を加算し、そこからニュートンの重力結合エネルギーを差し引くことで、システムの全エネルギーを近似することができます。

上記の記述を一般相対性理論の言語に翻訳すると、ほぼ平坦な時空内のシステムは、次のように表される総非重力エネルギー E と運動量 P を持つと言えます。

E=∫vT00dVPi=∫VT0idV{\displaystyle E=\int _{v}T_{00}dV\qquad P^{i}=\int _{V}T_{0i}dV}

システムの運動量ベクトルの成分がゼロ、つまり P i = 0 のとき、システムのおおよその質量は (E+E binding )/c 2になります。ここで、E binding はニュートンの重力自己結合エネルギーを表す負の数です。

したがって、系が準静的であると仮定する場合、「重力波」の形で存在する有意なエネルギーは存在しないと仮定する。系が「ほぼ平坦な」時空にあると仮定する場合、計量係数は許容可能な実験誤差の範囲内で本質的にミンコフスキー分布に従うと仮定する。

この極限では、全エネルギーと運動量の式は次のように自然に現れることがわかる。[ 1 ]線形化された極限では、一般相対論の方程式は次のように書ける。

∂α∂βHμανβ=16πGTμν{\displaystyle \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha \nu \beta }=16\pi GT^{\mu \nu }}

この限界では、システムの全エネルギー運動量は、空間的スライス上で応力テンソルを積分することによって単純に与えられます。

Pμ=∫Tμ0d3x{\displaystyle P^{\mu }=\int T^{\mu 0}d^{3}x}

しかし、運動方程式を用いると、これを次のように書くこともできる。

Pμ=116πG∫∂α∂βHμα0βd3x=116πG∫∂α∂jHμα0jd3x{\displaystyle P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha 0\beta }d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x}

ここで、j 上の和は空間方向のみに適用され、2 番目の等式は がとで反対称であるという事実を利用している。最後に、ガウスの法則を用いて、空間スライス上の発散の積分をガウス球面上の積分に変換する。 Hμανβ{\displaystyle H^{\mu \alpha \nu \beta }}ν{\displaystyle \nu }β{\displaystyle \beta }

116πG∫∂α∂jHμα0jd3x=116πG∫∂αHμα0jd2Sj{\displaystyle {1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}}

これは、上記で示した全運動量の式と正確に一致します。

複数の質量概念が同時に定義されている時空においては、これらの定義は一致することが期待される。例えば、定常漸近平坦時空においては、コマー質量はADM質量と一致し、重力輻射がない場合にはボンディ質量もADM質量と一致する。

これらの質量概念は対称性や適切な漸近条件が存在する場合には明確に定義されますが、有限の時空領域に質量を割り当てるものではありません。この制限が、次節で議論する準局所的な質量概念の探索の動機となっています。

準局所量

上で議論した質量定義の限界は、それらが零無限大または空間無限大においてのみ定義されるため、重力系から任意に離れた時空幾何学に関する情報を必要とすることです。現実的な物理的状況では、そのようなグローバルな情報は一般的に利用できないため、系全体またはその大部分にアクセスせずに質量の概念を解釈または測定することは困難です。これが、有限の時空領域に関連付けることができる質量の概念の探索の動機となっています

そのため、1970年代以降、物理学者と数学者は、適切な準局所量を定義するという、より野心的な目標を追求してきました。準局所質量とは、閉曲面によって囲まれた領域内に含まれる質量またはエネルギーを、その面上または内部で定義された幾何学的および物理的データのみを用いて測定することを目的としています。「準局所」という用語は、このような量が漸近無限大ではなく有限領域に依存する一方で、一般相対性理論では重力場の明確に定義された局所エネルギー密度を許容しないため、厳密に局所的ではないという事実を反映しています。

準局所的な質量とエネルギーの定義は多岐にわたり、ホーキングエネルギー、ゲロッホエネルギー、バートニック質量、ブラウン・ヨーク質量、リュー・ヤウ質量、そしてツイスター法に基づくロジャー・ペンローズによる準局所的なエネルギー・運動量構成などが挙げられる。準局所質量の完全に満足のいく定義の探求は依然として未解決の問題であり、普遍的に受け入れられている単一の提案はない。異なる定義はそれぞれ異なる数学的・物理的特徴を強調し、異なる応用に適している。

これらの違いにもかかわらず、物理的に意味のある準局所質量は、特定の基本要件を満たすと一般に予想されます。これらの要件には通常、適切なエネルギー条件下での非負性、無限大における全質量の標準的な概念との一致、適切な剛性特性が含まれます。特に、空間無限大またはヌル無限大に近づく一連の表面上で評価した場合、準局所質量はそれぞれADM質量またはボンダイ質量に収束するはずです。さらに、準局所質量が表面上で消える場合、その表面で囲まれた領域は、ミンコフスキー時空の一部に等長であるという意味で平坦であると予想されます。準局所量は数学的相対性理論で重要な役割を果たしており、フープ予想の定式化、ペンローズ不等式の証明、ブラックホール力学の法則の準局所バージョンの開発などの問題の中心となっています。[ 3 ]

歴史

1918年、ダヴィト・ヒルベルトはフェリックス・クラインとの書簡の中で、「場」にエネルギーを割り当てることの難しさ、そして「エネルギー定理の破綻」について記しました。この書簡の中でヒルベルトは、この破綻は一般理論の特徴的な性質であり、「固有エネルギー定理」ではなく「非固有エネルギー定理」が存在すると推測しました。

この予想は、ヒルベルトの側近のひとり、エミー・ネーターによってすぐに正しいことが証明された。 ネーターの定理は、作用原理で記述できる任意のシステムに適用できる。ネーターの定理は、エネルギー保存と時間並進対称性を関連付ける。時間並進対称性がポアンカレ群などの有限パラメータ連続群である場合、ネーターの定理は、問題のシステムのスカラーエネルギー保存を定義する。しかし、対称性が無限パラメータ連続群である場合、エネルギー保存の存在は保証されない。同様に、並進の対称群が有限次元である場合、ネーターの定理は、運動量保存と空間並進を関連付ける。一般相対論は微分同相不変理論であるため、有限パラメータ対称群ではなく無限連続対称群を持ち、したがってエネルギー保存を保証するには誤った群構造を持つ。ネーターの定理は、一般相対論における質量、系エネルギー、系運動量に関する様々な概念の発展と統一に大きな影響を与えてきた。

ノイマンの定理の応用例として、静止時空とそれに伴うコマール質量の例が挙げられます(Komar 1959)。一般的な時空には有限パラメータの時間並進対称性はありませんが、静止時空にはそのような対称性があり、これはキリングベクトルとして知られています。ノイマンの定理は、このような静止時空には保存エネルギーが必ず存在することを証明しています。この保存エネルギーは、コマール質量と呼ばれる保存質量を定義します。

ADM質量は、一般相対論の初期値定式化から導入されました（Arnowitt et al., 1960）。その後、様々な著者によって空間無限遠における漸近対称性の群、すなわちSPI群を用いて再定式化されました（Held, 1980）。この再定式化は、ADM運動量とADMエネルギーが4次元ベクトルとして変換される理由を説明するなど、理論の明確化に大きく貢献しました（Held, 1980）。SPI群は実際には無限次元であることに留意してください。保存量が存在するのは、「超並進」のSPI群が「純粋」並進の4パラメータ部分群を優先的に持つためです。この部分群は、ノイマンの定理により、保存された4パラメータのエネルギー・運動量を生成します。この4パラメータのエネルギー・運動量のノルムがADM質量です。

ボンディ質量は、重力放射による物理系の質量損失を研究した論文（Bondi, 1962）で導入されました。ボンディ質量は、漸近対称性の群であるヌル無限大におけるBMS群とも関連しています。空間無限大におけるSPI群と同様に、ヌル無限大におけるBMS群は無限次元であり、「純粋」な並進運動の4パラメータ部分群も優先的に存在します。

一般相対論におけるエネルギー問題へのもう一つのアプローチは、ランダウ・リフシッツ擬テンソル（Landau and Lifshitz, 1962）のような擬テンソルを用いることです。擬テンソルはゲージ不変ではありません。そのため、追加の制約（漸近平坦性など）が満たされた場合にのみ、ゲージに依存しない一貫した全エネルギーの解を与えます。擬テンソルのゲージ依存性は、ゲージの選択ごとに局所エネルギー密度が異なるため、局所エネルギー密度をゲージに依存しない形で定義することを妨げます。

参照

注釈

  1. ^ a bミスナー、チャールズ・W.、ソーン、キップ・S.、ホイーラー、ジョン・A. (1973). 『重力』 ニューヨーク：WHフリーマン. ISBN 0-7167-0334-3。
  2. ^ Misner , Thorne & Wheeler 1973 , §20.4参照
  3. ^レビュー記事Szabados 2004を参照。

参考文献

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mass_in_general_relativity&oldid=1330867800#ADM_and_Bondi_masses_in_asymptotically_flat_space-times」より引用