リーマン・ペンローズ不等式

数学的一般相対性理論において、ロジャー・ペンローズ卿によって初めて予想されたペンローズ不等式は、時空の質量をそのブラックホールの総面積で推定するものであり、正の質量定理の一般化である。リーマン・ペンローズ不等式は重要な特殊ケースである。具体的には、( M ,  g ) が非負のスカラー曲率とADM 質量mを持つ漸近平坦な3 次元リーマン多様体であり、A が最外極小面（複数の連結成分を持つ場合もある）の面積である場合、リーマン・ペンローズ不等式は以下を主張する。

${\displaystyle m\geq {\sqrt {\frac {A}{16\pi }}}.}$

これは純粋に幾何学的な事実であり、(3 + 1)次元時空の完全な3次元、空間的、かつ測地線的な部分多様体の場合に対応する。このような部分多様体は、時空の時間対称初期データセットと呼ばれることが多い。( M ,  g ) が非負のスカラー曲率を持つ という条件は、時空が支配的なエネルギー条件に従うことと等価である。

この不等式は、 1997年にゲルハルト・ヒュイスケンとトム・イルマネンによって、 Aが最外極小曲面の最大成分の面積である場合に初めて証明されました。彼らの証明は、彼らが開発した弱定義逆平均曲率フローの仕組みに依存していました。1999年、ヒューバート・ブレイは、計量の共形フローを用いて、上記の不等式の完全な証明を初めて示しました。両論文とも2001年に発表されました。

身体的なモチベーション

ペンローズがそのような不等式を推測するに至った元々の物理的な議論は、ホーキングの面積定理と宇宙検閲仮説を引用した。

平等の場合

リーマン・ペンローズ不等式のブレイとヒュイスケン・イルマネンの証明は、仮定の下では、

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {A}{16\pi }}},}$

すると、問題の多様体は、その最外部極小面の外側のシュワルツシルト時空のスライス、つまりシュワルツシルト半径の球面に対して等長になります。

ペンローズ予想

より一般的には、ペンローズは、必ずしも時間対称ではない時空の空間的部分多様体に対して、上記のような不等式が成り立つはずだと予想しました。この場合、非負スカラー曲率は支配的なエネルギー条件に置き換えられ、極小曲面条件を見かけの地平条件に置き換えることも一つの可能​​性です。このような不等式の証明は、ペンローズ予想と呼ばれる一般相対論における未解決問題です。

大衆文化において

• テレビのホームコメディ『ビッグバン★セオリー』シーズン 8 のエピソード 6 で、シェルドン・クーパー博士は、ノーベル賞受賞スピーチを準備しながら、ペンローズ予想を解決中であると主張しています。

参考文献

• ブレイ、H. (2001). 「正の質量定理を用いたリーマン・ペンローズ不等式の証明」 . Journal of Differential Geometry . 59 (2): 177– 267. Bibcode : 2001JDGeo..59..177B . doi : 10.4310/jdg/1090349428 . MR  1908823 .
• ブレイ、H.; クルシエル、P. (2003). 「ペンローズ不等式」. arXiv : gr-qc/0312047 .
• Huisken, G.; Ilmanen, T. (1997). 「リーマン・ペンローズ不等式」 .国際数学研究通知. 1997 (20): 1045–1058 . doi : 10.1155/S1073792897000664 . ISSN  1073-7928 . MR  1486695 .
• Huisken, G.; Ilmanen, T. (2001). 「逆平均曲率フローとリーマン・ペンローズ不等式」 . Journal of Differential Geometry . 59 (3): 353– 437. doi : 10.4310/jdg/1090349447 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5581-4 . MR  1916951 .