ボレル予想

幾何学的位相幾何学 において、ボレル予想（アルマン・ボレルにちなんで名付けられた）は、非球面閉多様体は同相を除いてその基本群によって決定されると主張する。これは剛性予想であり、弱い代数的同値性の概念（すなわちホモトピー同値性）は、より強い位相的概念（すなわち同相性）を意味するはずであると主張する。

推測の正確な定式化

とを閉非球面位相多様体とし、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle f\colon M\to N}$

はホモトピー同値である。ボレル予想は、写像が同相写像にホモトピー的であることを述べている。同型基本群を持つ非球面多様体はホモトピー同値であるため、ボレル予想は、同相写像を除いて、非球面閉多様体はその基本群によって決定されることを意味する。 ${\displaystyle f}$

この予想は、位相多様体と同相写像を滑らかな多様体と微分同相写像に置き換えた場合は誤りである。反例は、エキゾチックな球面との連結和をとることで構築できる。

推測の起源

1953年5月のジャン＝ピエール・セール宛の書簡^{[ 1 ]} において、アルマン・ボレルは、同型な基本群を持つ2つの非球面多様体が同相であるかどうかという疑問を提起した。「閉非球面多様体間のすべてのホモトピー同値は、同相写像に同相であるか？ 」という問いに対する肯定的な答えは、ジョナサン・ローゼンバーグの1986年の論文において「いわゆるボレル予想」と呼ばれている。^{[ 2 ]}

推測の動機

基本的な疑問は、2つの閉多様体がホモトピー同値である場合、それらは同相であるかどうかです。これは一般的には当てはまりません。同相ではない ホモトピー同値なレンズ空間が存在します。

しかしながら、多様体間のホモトピー同値性が同相写像にホモトピー化できるクラスが存在します。例えば、モストウの剛性定理は、閉双曲型多様体間のホモトピー同値性が等長写像、特に同相写像にホモトピー的であることを述べています。ボレル予想はモストウの剛性定理の位相的な再定式化であり、双曲型多様体から非球面型多様体への仮説を弱め、同様に等長写像から同相写像への結論を弱めます。

他の推測との関係

• ボレル予想は、参照写像がホモトピー同値である特殊なケースに対してノビコフ予想を意味します。${\displaystyle f\colon M\to BG}$
• ポアンカレ予想は、 3次元球面と同値な閉多様体ホモトピーがと同相であることを主張する。 は非球面ではないため、これはボレル予想の特別な場合ではない。しかしながら、 3次元トーラスに対するボレル予想は、に対するポアンカレ予想を導く。^{[ 3 ]}${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

参考文献

1. アルマン・ボレルからジャン＝ピエール・セールへの手紙（1953年5月2日）からの抜粋。「ボレル予想の誕生」（PDF）。
2. Rosenberg, Jonathan (1986). 「C ^∗ -代数、正のスカラー曲率、そしてノビコフ予想。III」 .トポロジー. 25 (3): 319– 336. doi : 10.1016/0040-9383(86)90047-9 . MR 0842428 . 
3. Farrell, FT (2002). 「ボレル予想」. Farrell, FT; Goettshe, L.; Lueck, W. (編).高次元多様体の位相幾何学, 第1, 2号 (トリエステ, 2001) (PDF) . ICTP講義ノート. 第9巻. トリエステ:アブドゥス・サラム国際理論物理学センター. pp.  225– 298. ISBN 92-95003-12-8. MR  1937017 .233～234ページの注釈を参照。

さらに読む

• Matthias KreckとWolfgang Lückの「ノビコフ予想」。幾何学と代数学。 Oberwolfach セミナー、33。Birkhäuser Verlag、バーゼル、2005 年。