ブラケット記法

ブラ・ケット記法、あるいはディラック記法は、有限次元および無限次元の両方における複素ベクトル空間上の線型代数と線型作用素、およびその双対空間のための記法である。これは量子力学において頻繁に生じる計算を容易にするために特に設計されたもので、現在ではこの分野で広く用いられている。

ブラケット記法は、ポール・ディラックが1939年の論文「量子力学の新しい記法」の中で考案しました。 ^[1]名前は英語の単語「ブラケット」に由来しています。

量子力学

量子力学と量子コンピューティングにおいて、ブラケット記法は量子状態を表すために広く用いられている。この記法では、山括弧、、、そして縦棒を用いて「ブラケット」と「ケット」を構成する。 ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ ${\displaystyle |}$

ケットは の形をとります。数学的には抽象（複素）ベクトル空間におけるベクトル、を表し、物理的には何らかの量子系の状態を表します。 ${\displaystyle |v\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle V}$

ブラは の形をとります。数学的には、これは線型形式 、つまり の各ベクトルを複素平面 上の数値に写像する線型写像を表します。線型関数をベクトルに作用させるとと書きます。 ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle |v\rangle }$ ${\displaystyle \langle f|v\rangle \in \mathbb {C} }$

上に反線型第1引数を持つ内積が存在し、それが内積空間 を形成すると仮定する。この内積を用いて、各ベクトルを対応する線型形式と同一視することができる。そのためには、ベクトルを内積の反線型第1スロットに配置する。これらの表記法間の対応は となる。線型形式はへの共ベクトルであり、すべての共ベクトルの集合は、初期ベクトル空間 への双対ベクトル空間の部分空間を形成する。この線型形式の目的は、 2つの状態がどの程度線型的に依存しているかなどを調べるために 状態 への射影を行うという観点から理解できる。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle }$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V^{\vee }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }},}$

ベクトル空間 において、ケットベクトルは列ベクトル、ブラベクトルは行ベクトルと同一視できる。ブラベクトル、ケットベクトル、および線形演算子の組み合わせは、行列の乗算を用いて解釈される。 が標準的なエルミート内積 を持つ場合、この同一視のもとで、内積 によって提供されるケットベクトルとブラベクトルの同一視、およびその逆の同一視は、エルミート共役（ と表記）を取ることで実現される。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w}$ ${\displaystyle \dagger }$

ブラケット記法では、ベクトルや線形形式を省略し、ブラまたはケットの表記法内でのみラベルを使用するのが一般的です。たとえば、スピノルの2次元空間上のスピン演算子は、固有スピノル を持つ固有値を持ちます。ブラケット記法では、これは通常、 、 と表記されます。上記のように、同じラベルを持つケットとブラは、内積を使用して互いに対応するケットとブラとして解釈されます。特に、行ベクトルと列ベクトルにも同一視される場合、同じラベルを持つケットとブラは、エルミート共役の列ベクトルと行ベクトルと同一視されます。 ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle }$

ブラケット記法は1939年にポール・ディラックによって確立されました。^{[1] [2]}そのため、この記法はヘルマン・グラスマンが内積に を使用した約100年前の先駆的な記法であるにもかかわらず、ディラック記法としても知られています。^{[3] [4]}${\displaystyle [\phi {\mid }\psi ]}$

ベクトル空間

ベクトルとケット

数学において、「ベクトル」という用語は、ベクトル空間の任意の要素を指すために使用されます。しかし物理学では、「ベクトル」という用語は、変位や速度といった、空間の3次元に直接関連する成分、あるいは相対論的には時空の4次元に関連する成分を持つ量を指すことがほとんどです。このようなベクトルは、通常、上付き矢印（ ）、太字（）、または添え字（ ）で表されます。 ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle v^{\mu }}$

量子力学では、量子状態は通常、複素ヒルベルト空間の要素として表されます。複素ヒルベルト空間とは、例えば、すべての可能な波動関数（3次元空間の各点を複素数に写像する2乗可積分関数）の無限次元ベクトル空間、あるいはより代数的に構築されたより抽象的なヒルベルト空間などです。このタイプのベクトルを上記のベクトルと区別するために、物理学では、抽象的な複素ベクトル空間の要素をケットと表記し、ベクトルではなく「ケット」と呼び、| A ⟩に対して「ケット-」または「ケット-A」と発音することが一般的かつ有用です。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \phi }$

記号、文字、数字、単語など、便利なラベルとして機能するものは何でも、ケット内のラベルとして使用できます。ただし、ラベルがベクトル空間内のベクトルを示すことを明確にする必要があります。言い換えると、記号「| A ⟩」は、表される変数の種類に関して認識可能な数学的な意味を持ちますが、「A」自体には意味がありません。たとえば、|1⟩ + |2⟩は必ずしも|3⟩に等しくなるわけではありません。ただし、便宜上、ケット内のラベルの背後には、量子力学でエネルギー固有ケットに量子数をリストすることでラベルを付けるという一般的な慣習などの何らかの論理スキームが通常存在します。最も単純な場合、ケット内のラベルは、、、などの 物理演算子の固有値です。${\displaystyle |\ \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$

表記

ケットはエルミートベクトル空間内のベクトルに過ぎないので、線形代数の通常の規則を用いて操作することができます。例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

上記の最後の行には、実数xごとに 1 つずつ、無限に多くの異なるケットが含まれていることに注意してください。

ケットはベクトル空間の元であるため、ブラはその 双対空間の元です。つまり、ブラはベクトル空間から複素数への線型写像である線型汎関数です。したがって、ケットとブラは異なるベクトル空間の元（ただし、下記参照）であり、それぞれ異なる有用な概念であると考えると便利です。 ${\displaystyle \langle A|}$

ブラとケット（つまり関数とベクトル）は、外積を持つランク1の演算子に組み合わせることができる。${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

ヒルベルト空間における内積とブラケット同一視

ブラ・ケット記法は、内積^{[5]を持つヒルベルト空間において特に有用である。内積は}エルミート共役を許し、ベクトルを連続線型関数（すなわち、ケットとブラ）と同一視し、またその逆も可能である（リースの表現定理を参照）。ヒルベルト空間上の内積（物理学者が好むように第一引数が反線型である）は、ブラ・ケット記法におけるケット空間とブラ空間の（反線型）同一視と完全に同値である。ベクトルケットに対して、関数（すなわち、ブラ）を次のように 定義する。${\displaystyle (\ ,\ )}$ ${\displaystyle \psi =|\psi \rangle }$ ${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

行ベクトルと列ベクトルとしてのブラスベクトルとケットベクトル

ベクトル空間 を考える単純なケースでは、ケットは列ベクトルと同一視でき、ブラは行ベクトルと同一視できる。さらに、 上の標準エルミート内積を用いると、ケットに対応するブラ、特に同じラベルを持つブラ⟨ m |と ket | m ⟩は共役転置となる。さらに、慣例により、ブラ、ケット、線形演算子を並べて書くと、単に行列の乗算 を意味することになる。^[6]特に、列ベクトルと行ベクトル ket とブラの外積は、行列の乗算（列ベクトル × 行ベクトル = 行列）と同一視できる。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

有限次元ベクトル空間では、固定された直交基底を使用して、内積は行ベクトルと列ベクトルの行列乗算として表すことができます。 これに基づいて、ブラベクトルとケットベクトルは次のように定義できます。 また、ケットベクトルの隣にブラベクトルがある場合は行列乗算を意味することがわかります。 $${\displaystyle \langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

ブラの共役転置（エルミート共役とも呼ばれる）は対応するケットであり、逆もまた同様である。 なぜなら、ブラから 始めて 複素共役 を実行し、次に行列転置を実行すると、ケットが得られるからである。 $${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}}$$

有限次元（あるいは必要な変更を加えて可算無限次元）ベクトル空間の要素を数値の列ベクトルとして表すには、基底を選ぶ必要がある。量子力学の計算では、異なる基底（位置基底、運動量基底、エネルギー固有基底など）を頻繁に切り替える必要があるため、基底を選ぶことは必ずしも有用ではない。また、特定の基底にこだわらずに「| m ⟩ 」のように書くこともできる。2つの異なる重要な基底ベクトルが関係する状況では、基底ベクトルを明示的に表記することができ、ここでは単に「 | − ⟩」および「| + ⟩ 」と呼ぶ。

正規化不可能な状態と非ヒルベルト空間

ベクトル空間がヒルベルト空間でない場合でも、ブラケット表記法を使用することができます。

量子力学では、無限ノルム、すなわち正規化不可能な波動関数を持つケットを記述するのが一般的です。例としては、波動関数がディラックのデルタ関数や無限平面波である状態が挙げられます。これらは厳密にはヒルベルト空間自体には属しません。しかし、「ヒルベルト空間」の定義はこれらの状態を包含するように拡張することができます（ゲルファント・ナイマーク・シーガル構成またはリグド・ヒルベルト空間を参照）。このより一般的な文脈では、ブラ・ケット記法は同様に機能します。

バナッハ空間はヒルベルト空間の別の一般化である。バナッハ空間Bにおいては、ベクトルをケット、連続線型関数をブラスで表記することができる。位相を持たない任意のベクトル空間上では、ベクトルをケット、線型関数をブラスで表記することができる。このようなより一般的な文脈では、リースの表現定理が適用されない ため、括弧は内積の意味を持たない。

量子力学における使用法

量子力学の数学的構造は主に線形代数に基づいています。

• 波動関数やその他の量子状態は、可分 複素 ヒルベルト空間におけるベクトルとして表すことができます。（このヒルベルト空間の正確な構造は状況によって異なります。）例えば、ブラケット記法では、電子は「状態」| ψ ⟩にある可能性があります。（技術的には、量子状態はヒルベルト空間におけるベクトルの光線であり、 c | ψ ⟩ は任意の非ゼロ複素数cに対して同じ状態に対応します。）
• 量子重ね合わせは、構成状態のベクトル和として記述できます。例えば、状態⁠にある電子は、1/√2⁠ |1⟩ + ⁠私/√2⁠ |2⟩は状態|1⟩と|2⟩の量子重ね合わせ状態にあります。
• 測定は、量子状態のヒルベルト空間上の線形演算子 (観測可能量と呼ばれる) に関連付けられます。
• ダイナミクスはヒルベルト空間上の線形作用素によっても記述されます。例えば、シュレーディンガー描像では、電子が現在状態| ψ ⟩にある場合、後の時点では状態U | ψ ⟩になるという性質を持つ線形時間発展作用素Uが存在します。このU は、あらゆる可能な| ψ ⟩に対して同じです。
• 波動関数の正規化とは、波動関数のノルムが 1 になるようにスケーリングすることです。

量子力学におけるほぼすべての計算はベクトルと線形演算子を伴うため、ブラケット記法が用いられることがあり、実際に用いられることも少なくありません。以下にいくつか例を挙げます。

スピンレス位置空間波動関数

複素ベクトルの成分をインデックス番号に対してプロットしたもの。離散kと連続x。無限に存在する成分のうち、特に2つの成分が強調表示されている。

スピン-0の点粒子のヒルベルト空間は、 「位置基底」{ | r ⟩ }で表すことができ、ここでラベルrは位置空間内のすべての点の集合に渡る。これらの状態は、位置演算子の固有値方程式を満たす。 位置状態は「一般化固有ベクトル」であり、ヒルベルト空間自体の要素ではなく、可算な直交基底を形成しない。しかし、ヒルベルト空間は可分であるため、その波動関数の定義域内に可算な稠密部分集合を許容する。つまり、このヒルベルト空間の任意のケット|Ψ⟩から始めて、 rの複素スカラー関数（波動関数）を定義できる。 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle .}$$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

左側のΨ( r )は、空間内の任意の点を複素数にマッピングする関数です。右側のケットは その関数によって指定された相対係数を持つケットの重ね合わせで構成されるケットです。 $${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$

波動関数に作用する線型作用素はケットに作用する線型作用素を用いて次のように定義するのが通例である。 $${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

例えば、運動量演算子は次の座標表現を持つ。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

のような表現に遭遇することも稀ではないが、これは表記法の乱用と言える。微分演算子はケット関数に作用する抽象演算子であり、位置基底に投影された表現では波動関数を微分する効果を持つと理解する必要がある。 ただし、運動量基底ではこの演算子は単なる乗算演算子（iħ pによる）となる。つまり 、 ${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

州の重複

量子力学において、式⟨ φ | ψ ⟩は、通常、状態ψが状態φに崩壊する確率振幅として解釈されます。数学的には、これはψをφに射影する係数を意味します。これは、状態ψを状態φに射影する係数とも呼ばれます。

スピン1/2粒子の基底の変化

静止したスピン1 ⁄ 2粒子は2次元ヒルベルト空間を持つ。直交基底の一つは以下の通りである。 ここで、|↑ _z ⟩はスピン演算子S _zの値が+ 1 ⁄ 2に等しい状態であり、|↓ _z ⟩はスピン演算子S _zの値が− 1 ⁄ 2に等しい状態である。 $${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

これらは基底なので、粒子の任意の量子状態は、これら 2 つの状態の線形結合 (つまり、量子重ね合わせ) として表現できます。ここ で、 a ψ とb _ψは複素数_です。 $${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

同じヒルベルト空間の異なる基底は、 S _zではなくS _x で定義されます。 $${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

繰り返しますが、粒子の あらゆる状態は、これら 2 つの線形結合として表現できます。$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

ベクトル形式では、 使用する基底に応じて記述することになります。言い換えれば、ベクトルの「座標」は使用する基底によって異なります。 $${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$

、、および の間には数学的な関係があります。基底の変更を参照してください。 ${\displaystyle a_{\psi }}$ ${\displaystyle b_{\psi }}$ ${\displaystyle c_{\psi }}$ ${\displaystyle d_{\psi }}$

落とし穴と曖昧な使用

初心者や初心者の学生にとって、混乱したり曖昧になったりする可能性のある表記法や使用法がいくつかあります。

内積とベクトルの分離

混乱を招く原因の一つは、この表記法が内積演算と（ブラ）ベクトルの表記法を区別していないことです。（双対空間）ブラベクトルが他のブラベクトルの線形結合として構成される場合（例えば、何らかの基底で表現する場合）、この表記法は曖昧さを生じさせ、数学的な詳細を隠蔽します。ブラケット表記法は、、などのベクトルに太字を使用し、内積に を使用するのに似ています。基底 における次の双対空間ブラベクトルを考えてみましょう。ここで、は の複素数係数です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ $${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

複素数が内積の内側にあるか外側にあるかは慣例によって決定する必要があり、慣例ごとに異なる結果が得られます。 ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

シンボルの再利用

ラベルと定数に同じ記号を使用するのが一般的です。例えば、記号 は演算子、その固有ベクトル、および関連する固有値の名前として同時に使用されます。演算子ではハット記号が省略されることもあり、 のような表記が見られます。^[7]${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$

ケットのエルミート共役

という用法がよく見られますが、ここでダガー（）はエルミート共役に対応します。しかし、これは技術的な意味では正しくありません。なぜなら、ケット は複素ヒルベルト空間 のベクトルを表し、ブラ はのベクトル上の線型汎関数だからです。言い換えれば、は単なるベクトルですが、 はベクトルと内積の組み合わせです。 ${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |}$

ブラジャーとケット内部の操作

これは、ベクトルのスケーリング表記を高速化するために行われます。例えば、ベクトルが でスケーリングされている場合、 と表記されることがあります。しかし、 は単に状態のラベルであり、演算を実行できる数学的オブジェクトではないため、この表記法は曖昧になる可能性があります。この用法は、ベクトルをテンソル積として表記する場合によく使用されます。テンソル積の場合、ラベルの一部が指定されたスロットの外側に移動します（例： ）。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$

線形演算子

ケットに作用する線型作用素

線形演算子は、ケットを入力としてケットを出力する写像です。（「線形」と呼ばれるためには、特定の特性を持つ必要があります。）言い換えると、が線形演算子で がケットベクトルである場合、は別のケットベクトルです。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

次元ヒルベルト空間において、空間に基底を課し、その座標を用いて列ベクトルとして表すことができます。 にも同じ基底を用いると、複素行列で表すことができます。ケットベクトルは行列の乗算によって計算できます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

線形作用素は量子力学の理論において広く用いられている。例えば、観測可能な物理量はエネルギーや運動量といった自己随伴作用素によって表される一方、変換過程は回転や時間の進行といった ユニタリ線形作用素によって表される。

ブラジャーに作用する線形演算子

演算子は、ブラ演算子の右辺から作用すると考えることもできる。具体的には、Aが線型演算子で、⟨ φ |がブラ演算子である場合、⟨ φ | Aは規則によって定義される別のブラ演算子 （つまり、関数合成）である。この式は一般に次のように表記される（エネルギー内積を参照）。 $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$ $${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

N次元ヒルベルト空間において、 ⟨ φ | は1 × N 行ベクトルとして表すことができ、A（前節と同様）はN × N行列です。この場合、ブラ⟨ φ | Aは通常の行列乗算によって計算できます。

同じ状態ベクトルがブラ側とケット側の両方に現れる場合、 この式は、状態| ψ ⟩の物理システムについて、演算子Aによって表される観測可能な値の期待値、つまり平均値を与えます。 $${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$

外積

ヒルベルト空間H上の線型作用素を定義する便利な方法は外積で与えられる。⟨ ϕ | がブラであり、| ψ ⟩ がケットであるとき、外積は階数1の作用素 を 表し、規則は $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$ $${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

有限次元ベクトル空間の場合、外積は単純な行列の乗算として理解できます。 外積は、線形演算子の場合に予想されるように、 N × N行列です。$${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$

外積の用途の一つは、射影演算子を構築することである。ノルム1のケット| ψ ⟩が与えられたとき、 | ψ ⟩が張る部分空間への直交射影は、 これはヒルベルト空間に作用する観測可能量の代数における べき等性である 。$${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$

エルミート共役演算子

ケットとブラが互いに変換できるのと同様に（| ψ ⟩ を⟨ ψ |に変換）、 A | ψ ⟩に対応する双対空間からの元は⟨ ψ | A ^†であり、ここでA ^†は演算子Aのエルミート共役（または随伴）を表す。言い換えれば、 $${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

AがN × N行列として表現される場合、A ^†はその共役転置です。

プロパティ

ブラケット記法は、線形代数式の形式的な操作を容易にするために設計されました。この操作を可能にするいくつかの性質を以下に列挙します。以下では、c ₁とc ₂は任意の複素数、c *はcの複素共役、AとBは任意の線形演算子を表します。これらの性質は、ブラケット記法とケット記法の任意の選択に対して成り立ちます。

直線性

• ブラジャーは線形関数なので、$${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• 双対空間における線形関数の加法とスカラー乗法の定義により、^[8] $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

結合性

複素数、ブラス、ケット、内積、外積、および/または線形演算子（ただし加法は除く）を含む式をブラ・ケット記法で記述する場合、括弧内のグループ化は関係ありません（つまり、結合法則が成り立ちます）。例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

などなど。右辺の式（括弧なし）は、左辺の等式によって、一義的に記述できます。ただし、結合法則は、物理学における反線形時間反転演算子のような非線形演算子を含む式には当てはまらないことに注意してください。

エルミート共役

ブラケット記法は、式のエルミート共役（ダガーとも呼ばれ、†と表記される）の計算を特に容易にします。正式な規則は以下のとおりです。

• ブラのエルミート共役は対応するケットであり、逆もまた同様です。
• 複素数のエルミート共役はその複素共役です。
• あらゆるもの（線型作用素、ブラス、ケット、数）のエルミート共役のエルミート共役はそれ自身である。つまり、$${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• 複素数、ブラス、ケット、内積、外積、線形演算子の任意の組み合わせがブラ・ケット表記法で記述されている場合、そのエルミート共役は、成分の順序を逆にし、それぞれのエルミート共役を取ることで計算できます。

これらの規則は、そのような表現のエルミート共役を正式に記述するのに十分です。次に例をいくつか示します。

• ケッツ：$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• 内積: ⟨ φ | ψ ⟩はスカラーなので、エルミート共役は複素共役、すなわち$${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$ $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• 行列要素:$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• 外積:$${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$

複合ブラジャーとケット

二つのヒルベルト空間VとW は、テンソル積によって第三の空間V ⊗ Wを形成することがある。量子力学では、これは複合系を記述するために用いられる。系がそれぞれVとWで記述される二つの部分系から構成される場合、系全体のヒルベルト空間は二つの空間のテンソル積となる。（ただし、これらの部分系が実際には同一の粒子である場合は例外となる。その場合、状況はもう少し複雑になる。）^[要出典]

| ψ ⟩がVのケットであり、| φ ⟩がWのケットである場合、2つのケットのテンソル積はV ⊗ Wのケットです。これは様々な表記法で表されます。

${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.}$

この製品の応用については、 量子もつれとEPR パラドックスを参照してください。

ユニット演算子

ヒルベルト空間Hに対して、内積⟨·,·⟩からのノルムに関する完全な直交系（基底） を考えます。 $${\displaystyle \{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,}$$

基本的な関数解析から、任意のケットは、ヒルベルト空間上の内積 ⟨·|·⟩ でのように表すこともできる ことが分かっています。${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,}$$

（複素）スカラーを持つケットの可換性から、 は 各ベクトルをそれ自身に送信する 恒等演算子 でなければならないことがわかります。$${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I} }$$

したがって、これは値に影響を与えることなく任意の式に挿入できます。たとえば 、最後の行では、混乱を避けるためにアインシュタインの合計規則が使用されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}}$$

量子力学では、任意の2つの（状態）ケットの内積⟨ ψ | φ ⟩に関する情報はほとんど、あるいは全く存在しないことがしばしばあります。しかし、特定の（直交化された）基底に対するこれらのベクトルの展開係数⟨ ψ | e _i ⟩ = ⟨ e _i | ψ ⟩ *と⟨ e _i | φ ⟩については、何らかのことが言える可能性があります。このような場合、括弧内に単位演算子を1回以上挿入することが特に有用です。

詳細については、恒等式の解決[ ^9] を参照のこと。$${\displaystyle {\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,}$$ $${\displaystyle |p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

⟨ x ′ | x ⟩ = δ ( x − x ′ )なので、平面波は次のように表される。$${\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

ディラックは著書（1958）第3章第20節で、標準ケットを定義している。これは、正規化を除けば、運動量表示における並進不変な運動量固有状態、すなわち である。したがって、対応する波動関数は定数 となり、また となる。${\textstyle |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {p}}|\varpi \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1}$ $${\displaystyle |x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},}$$ $${\displaystyle |p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .}$$

通常、演算子のすべての行列要素が利用可能な場合、この解決は完全な演算子を再構成するのに役立ちます。 $${\displaystyle \langle x|A|y\rangle }$$ $${\displaystyle \int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.}$$

数学者が使用する表記法

物理学者がブラケット表記法を使用する際に考慮する対象は、ヒルベルト空間（完全な内積空間）です。

をヒルベルト空間とし、h ∈ HをH内のベクトルとする。物理学者が| h ⟩と表記するのはベクトルそのものである。つまり、 ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ $${\displaystyle |h\rangle \in {\mathcal {H}}.}$$

H *をHの双対空間とする。これはH上の線型関数の空間である。埋め込みは で定義され、任意のh ∈ Hに対して線型関数は任意のg ∈ Hに対して関数方程式を満たす。φ hとg をそれぞれ⟨ _h |と| g ⟩と同一視すると表記上の混乱が生じる。これは文字どおりの記号置換によるものである。 とし、g = G = | g ⟩とする。これは以下の式を与える。 ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi (h)=\varphi _{h}}$ ${\displaystyle \varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\langle h\mid g\rangle }$ ${\displaystyle \varphi _{h}=H=\langle h\mid }$ $${\displaystyle \varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.}$$

括弧は無視され、二重バーは削除されます。

さらに、数学者は通常、物理学者のように双対実体を最初の場所に書くのではなく、2番目の場所に書き、複素共役数を表すためにアスタリスクではなく上線（物理学者は平均とディラックのスピノル随伴のために取っておく）を使用する。つまり、スカラー積について数学者は通常 と書く が、物理学者は同じ量について と書く。 $${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x){\overline {\psi (x)}}\,dx\,,}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.}$$

参照

• 数学ポータル
• 物理学ポータル

• 角運動量図（量子力学）
• nスリット干渉方程式
• 量子状態
• 内積空間

注記

1. ディラック 1939
2. シャンカール 1994、第1章
3. グラスマン 1862
4. レクチャー 2 | 量子エンタングルメント、パート 1 (スタンフォード)、複素数、複素共役、ブラ、ケットに関する Leonard Susskind。2006 年 10 月 2 日。
5. 講義 2 | 量子もつれ、パート 1 (スタンフォード)、内積に関する Leonard Susskind、2006 年 10 月 2 日。
6. 「Gidney, Craig (2017). Bra–Ket 表記法による行列乗算の単純化」
7. 桜井＆ナポリターノ 2021 第1.2節、1.3節
8. ロバート・リトルジョンの講義ノート Archived 2012-06-17 at the Wayback Machine、式12と13
9. 桜井＆ナポリターノ 2021 第1.2節、1.3節

参考文献

• ディラック, PAM (1939). 「量子力学のための新しい表記法」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 35 (3): 416– 418.書誌コード:1939PCPS...35..416D. doi :10.1017/S0305004100021162. S2CID  121466183.また、彼の標準的なテキストである「量子力学の原理」第4版、クラレンドン・プレス（1958年）、ISBNも参照のこと。 978-0198520115
• グラスマン, H. (1862).拡張理論. 数学史資料集. 2000年ロイド・C・カンネンバーグ訳. アメリカ数学会, ロンドン数学会.
• カヨリ、フロリアン（1929年）『数学記法の歴史』第2巻、オープンコート出版、134頁、ISBN 978-0-486-67766-8。
• シャンカール, R. (1994).量子力学の原理（第2版）. ISBN 0-306-44790-8。
• ファインマン, リチャード・P.; レイトン, ロバート・B.; サンズ, マシュー (1965). 『ファインマン物理学講義』第3巻. マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-02118-8。
• 桜井, JJ; ナポリターノ, J (2021).現代量子力学（第3版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-108-42241-3。

外部リンク

• リチャード・フィッツパトリック、「量子力学：大学院レベルのコース」、テキサス大学オースティン校。内容：
  • 1. ケット空間
  • 2. ブラジャーのスペース
  • 3. オペレーター
  • 4. 外積
  • 5. 固有値と固有ベクトル
• ロバート・リトルジョン、「量子力学の数学的形式主義」に関する講義ノート（ブラケット記法を含む）。カリフォルニア大学バークレー校。
• Gieres, F. (2000). 「量子力学における数学的驚きとディラックの形式主義」. Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893– 1931. arXiv : quant-ph/9907069 . Bibcode :2000RPPh...63.1893G. doi :10.1088/0034-4885/63/12/201. S2CID  10854218.