ブルン・ティッチマーシュ定理

解析的数論において、ヴィゴ・ブランとエドワード・チャールズ・ティッチマーシュにちなんで名付けられたブラン・ティッチマーシュの定理は、等差数列における素数の分布の上限です。

声明

p≤x を 満たす、qを法 としてaと合同な素数pの数を数えるとしよう。すると、 ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}}$

すべてのq  <  xに対して。

歴史

この結果は、モンゴメリーとヴォーンによるふるい法によって証明されました。ブルンとティッチマーシュによる以前の結果では、追加の乗法係数 を持つこの不等式の弱いバージョンが得られました。 ${\displaystyle 1+o(1)}$

改善点

qが比較的小さい場合、例えば、より良い境界が存在します。 ${\displaystyle q\leq x^{9/20}}$

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}}$

これは本橋勇治（1973）によるものです。彼はセルバーグ篩の誤差項に、自ら発見した双線型構造を用いました。後に、篩分け誤差におけるこの構造を利用するというアイデアは、 H. イワニエツによる組合せ篩への拡張 により、解析的整数論における主要な手法へと発展しました。

ディリクレの定理との比較

対照的に、等差数列に関するディリクレの定理は漸近的な結果を与え、それは次のように表現される。

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)}$

しかし、これが成り立つことが証明できるのは、定数cに対してq  < (log  x ) ^cというより制限された範囲だけです。これがシーゲル・ウォルフィスの定理です。

参考文献

• 本橋洋一（1983）『ふるい法と素数論』Tata IFRおよびSpringer-Verlag、ISBN 3-540-12281-8
• フーリー、クリストファー（1976年）、ふるい法の数論への応用、ケンブリッジ大学出版局、p. 10、ISBN 0-521-20915-3
• 三川 秀 (2001) [1994]、「ブルン・ティッチマーシュの定理」、数学百科事典、EMSプレス
• モンゴメリー, HL ;ヴォーン, RC (1973)、「大きなふるい」、Mathematika、20 (2): 119– 134、doi : 10.1112/s0025579300004708、hdl : 2027.42/152543。