バーネット方程式

数学の一分野である連続体力学において、バーネット方程式は、非平衡流れとナビエ・ストークス方程式がうまく機能しない遷移領域に対する高次連続体方程式の集合である。 ^{[1] [2] [3]}

これらはイギリスの数学者D.バーネットによって導き出された。^[4]

シリーズ拡張

シリーズ拡張アプローチ

バーネット方程式を導くために使用される級数展開法は、ボルツマン方程式の分布関数をクヌーセン数のべき級数として展開することを伴う。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {Kn} }$

$${\displaystyle f(r,c,t)=f^{(0)}(c|n,u,T)\left[1+\mathrm {Kn} \phi ^{(1)}(c|n,u,T)+\mathrm {Kn} ^{2}\phi ^{(2)}(c|n,u,T)+\cdots \right]}$$

ここで、はマクスウェル・ボルツマン平衡分布関数を表し、数密度、巨視的速度、および温度に依存します。項は非平衡効果を考慮した高次の補正であり、後続の各項にはクヌーセン数の高次の累乗が組み込まれています。 ${\displaystyle f^{(0)}(c|n,u,T)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi ^{(1)},\phi ^{(2)},\dots }$

導出

展開式の一次項はナビエ・ストークス方程式を与え、これには粘性および熱伝導率の項が含まれます。バーネット方程式を得るには、 に相当する二次項までを保持する必要があります。バーネット方程式には、速度、温度、密度の二次微分がさらに含まれており、非平衡気体力学のより微妙な影響を表しています。 ${\displaystyle f^{(1)}}$ ${\displaystyle \phi ^{(2)}}$

バーネット方程式は次のように表すことができます。

$${\displaystyle \mathbf {u} _{t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\nabla \cdot (\nu \nabla \mathbf {u} )+{\text{higher-order terms}}}$$

ここでの「高次項」は、速度と温度の2次勾配を含みますが、これらはナビエ・ストークス方程式には存在しません。これらの項は、クヌーセン数が高い状況で重要になり、ナビエ・ストークス方程式の枠組みの仮定が崩れます。

拡張機能

オンサガー・バーネット方程式（通称OBurnett）はナビエ・ストークス方程式のスーパーセットを形成し、クヌーセン数に対して2次精度である。^{[5] [6]}

$${\displaystyle {\sqrt {\tau }}{\frac {du^{s}}{ds}}-{\frac {9}{8}}\alpha _{1}u^{*}{\left({\frac {du^{*}}{ds}}\right)}^{2}={\frac {\tau }{u^{*}}}-\tau _{0}-1+u^{*}}$$

1

$${\displaystyle {\frac {45}{16}}{\sqrt {\tau }}{\frac {d\tau }{ds}}+{\frac {9}{4}}\gamma _{1}\tau {\left({\frac {du^{*}}{ds}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}\Psi u^{*}{\frac {d\tau }{ds}}{\frac {du^{*}}{ds}}={\frac {3}{2}}(\tau -\tau _{0})-{\frac {1}{2}}{\left(1-u^{*}\right)}^{2}-\tau _{0}(1-u^{*})}$$

2

導出

ボルツマン方程式から始める

$${\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial {t}}}+c_{k}\partial {f}{x_{k}}+F_{k}\partial {f}{c_{k}}=J(f,f_{1})}$$

参照

• 流体力学
• ラース・オンサガー
• ナビエ・ストークス方程式の無次元化とスケーリング
• ストークス方程式
• チャップマン・エンスコグ理論
• ナビエ・ストークス方程式

参考文献

1. 「テキストなし - Big Chemical Encyclopedia」。
2. Singh, Narendra; Agrawal, Amit (2014). 「円筒座標系におけるバーネット方程式とマイクロチューブ内の流れに対するその解」 . Journal of Fluid Mechanics . 751 : 121– 141. Bibcode :2014JFM...751..121S. doi :10.1017/jfm.2014.290.
3. Agrawal, Amit; Kushwaha, Hari Mohan; Jadhav, Ravi Sudam (2020). 「バーネット方程式：導出と解析」.マイクロスケール流れと熱伝達. 機械工学シリーズ. pp.  125– 188. doi :10.1007/978-3-030-10662-1_5. ISBN 978-3-030-10661-4。
4. Burnett, D. (1936). 「非一様気体における分子速度の分布と平均運動」.ロンドン数学会報. s2-40 (1): 382– 435. doi :10.1112/plms/s2-40.1.382.
5. Jadhav, Ravi Sudam; Agrawal, Amit (2021年12月23日). 「ホリアン予想と組み合わせたOBurnett方程式を用いた衝撃波構造」. Fluids . 6 (12): 427. Bibcode :2021Fluid...6..427J. doi : 10.3390/fluids6120427 .
6. Agarwal, Ramesh K.; Yun, Keon-Young; Balakrishnan, Ramesh (2001年10月1日). 「ナビエ・ストークスを超えて：連続体–遷移領域の流れに対するバーネット方程式」 .流体物理学. 13 (10): 3061– 3085. Bibcode :2001PhFl...13.3061A. doi :10.1063/1.1397256.

さらに読む

• García-Colín, LS; Velasco, RM; Uribe, FJ (2008年8月). 「ナビエ・ストークス方程式を超えて：バーネット流体力学」. Physics Reports . 465 (4): 149– 189. Bibcode :2008PhR...465..149G. doi :10.1016/j.physrep.2008.04.010.