ザッセンハウスの補題

ザッセンハウスの「蝶」補題のハッセ図– 小さな部分群は図の上部に向かっている

数学において、バタフライ補題またはザッセンハウス補題は、ハンス・ザッセンハウスにちなんで名付けられ、群の部分群の格子または加群の部分加群の格子、またはより一般的には任意の加群格子に関する技術的な結果である。^{[ 1 ]}

補題．群 が部分群とを持つとする。と が正規部分群であるとする。このとき、商群の同型性が存在する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\triangleleft A}$ ${\displaystyle D\triangleleft C}$

${\displaystyle {\frac {(A\cap C)B}{(A\cap D)B}}\cong {\frac {(A\cap C)D}{(B\cap C)D}}.}$

これは、安定な部分群とを持つ演算子を持つ群 の場合に一般化できます。上記の記述は、共役によってそれ自体に作用する場合です。 ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega =G}$

ザッセンハウスはこの補題を、シュライアーの細分化定理の最も直接的な証明を与えるために特に証明した。関係する様々な群の ハッセ図を描こうとすると、「バタフライ」現象が明らかになる。

群に対するザッセンハウスの補題は、グールサ多様体（群はその例である）で述べられたグールサの定理として知られるより一般的な結果から導くことができる。しかし、その導出には群固有のモジュラー法則も用いる必要がある。^{[ 2 ]}

参考文献

1. ピアス、RS（1982年）『結合代数』シュプリンガー、p.27、演習1。ISBN 0-387-90693-2。
2. J. Lambek (1996). 「蝶と蛇」. Aldo Ursini, Paulo Agliano (編). Logic and Algebra . CRC Press. pp.  161– 180. ISBN 978-0-8247-9606-8。

リソース

• Goodearl, KR; Warfield, Robert B. (1989), 『非可換ノイザン環入門』ケンブリッジ大学出版局, pp.  51, 62 , ISBN 978-0-521-36925-1。
• ラング、セルジュ（2005年6月21日）、代数学、大学院数学テキスト（改訂第3版）、シュプリンガー・フェアラーク、pp.  20– 21、ISBN 978-0-387-95385-4。
• Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky (2009) Rings, Modules and Representations . p. 6. AMS Bookstore, ISBN 0-8218-4370-2
• Hans Zassenhaus (1934) 「Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier」、ハンブルク大学数学セミナー Abhandlungen aus dem Mathematischen 10:106–8。
• Hans Zassenhaus (1958) Theory of Groups、第 2 英語版、Lemma on Four Elements、p 74、Chelsea Publishing。