C*-代数

数学、特に関数解析において、C ∗代数（C ∗ -algebra、発音は「C-star」）は、随伴作用素の性質を満たす反転を伴うバナッハ代数である。具体的な例としては、複素ヒルベルト空間上の連続線型作用素の複素代数Aがあり、さらに以下の2つの性質を満たす。

非ヒルベルト C*-代数のもう一つの重要なクラスには、Xが局所的にコンパクトなハウスドルフ空間 であるときに無限遠で消えるX上の複素数値連続関数の代数が含まれます。C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}

C*-代数は、量子力学において物理的観測量の代数をモデル化するために主に利用されることが当初考えられていました。この研究は、ヴェルナー・ハイゼンベルクの行列力学から始まり、1933年頃にパスクアル・ジョルダンによってより数学的に発展した形で行われました。その後、ジョン・フォン・ノイマンはこれらの代数の一般的な枠組みを確立しようと試み、その成果は作用素環に関する一連の論文に結実しました。これらの論文は、現在フォン・ノイマン代数として知られているC*-代数の特別なクラスを考察していました。

1943 年頃、イスラエル・ゲルファンドとマーク・ナイマークの研究により、ヒルベルト空間上の演算子を参照しない C*-代数の抽象的な特徴付けがもたらされました。

C*-代数は現在、局所コンパクト群のユニタリ表現の理論において重要なツールであり、量子力学の代数的定式化にも用いられています。また、可分単純核C*-代数の分類を得るための、あるいは分類がどの程度可能であるかを決定するためのプログラムも活発に研究されています。

抽象的な特徴づけ

まず、1943 年にゲルファンドとナイマークが発表した論文で示された C* 代数の抽象的な特徴付けから始めます。

AC*-代数Aは、複素数体 上のバナッハ代数であり、に対する写像を持ち 、次の特性を 持ちます。×↦×∗{\textstyle x\mapsto x^{*}}×∈あ{\textstyle x\in A}

  • これはAの任意のxに対して反転です。
×∗∗＝（×∗）∗＝×{\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}
  • Aのすべてのx、yについて:
（×+y）∗＝×∗+y∗{\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}
（×y）∗＝y∗×∗{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
  • あらゆる複素数とA内のすべてのxに対して:λ∈C{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
（λ×）∗＝λ¯×∗。{\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}
  • Aのすべてのxについて:
‖××∗‖＝‖×‖‖×∗‖。{\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}

注意：最初の4つの恒等式は、Aが*-代数であることを示しています。最後の恒等式はC*恒等式と呼ばれ、以下と等価です。

‖××∗‖＝‖×‖2、{\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}

これはB*-恒等式と呼ばれることもあります。C*-代数とB*-代数の名称の由来については、以下の歴史のセクションを参照してください。

C*恒等式は非常に強い要件である。例えば、スペクトル半径の公式と組み合わせることで、C*ノルムは代数構造によって一意に決定されることが示唆される。

‖×‖2＝‖×∗×‖＝すする{|λ|:×∗×−λ1 逆変換できない}。{\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ は逆行列を持たない}}\}}.}

C*-代数AとBの間の有界線型写像π : A → Bは、次の とき*-準同型と呼ばれる。

  • Aのxとyについて
π（×y）＝π（×）π（y）{\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,}
  • Aのxについて
π（×∗）＝π（×）∗{\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,}

C*-代数の場合、C*-代数間の任意の*-準同型πは縮約的、すなわちノルム≤1で有界である。さらに、C*-代数間の入射的*-準同型は等長的である。これらはC*-恒等式の帰結である。

全単射 *-準同型πはC*-同型と呼ばれ、この場合AとBは同型であると言われます。

歴史: B*-代数とC*-代数

B*-代数という用語は、次の条件を満たす バナッハ*-代数を記述するためにCE Rickartによって1946 年に導入されました。

  • ‖××∗‖＝‖×‖2{\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}}与えられたB*-代数内のすべてのxに対して。(B*-条件)

この条件は、*-反転が等長的であること、すなわち を意味する。したがって であり、したがってB*-代数はC*-代数でもある。逆に、C*-条件はB*-条件を意味する。これは自明ではなく、条件 を用いずに証明できる。[ 1 ]これらの理由から、現在の用語ではB*-代数という用語はほとんど使われておらず、「C*-代数」という用語に置き換えられている。 ‖×‖＝‖×∗‖{\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }‖××∗‖＝‖×‖‖×∗‖{\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert }‖×‖＝‖×∗‖{\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }

C*-代数という用語は、 1947年にIEシーガルによって、 B ( H )のノルム閉部分代数、すなわち、あるヒルベルト空間H上の有界作用素の空間を記述するために導入された。「C」は「閉じた」という意味である。[ 2 ] [ 3 ]シーガルは論文の中で、C*-代数を「ヒルベルト空間上の有界作用素の一様閉自己随伴代数」と定義している。[ 4 ]

C*-代数の構造

C*-代数は、技術的に便利な性質を多数有する。これらの性質のいくつかは、連続関数計算、あるいは可換C*-代数への還元によって確立できる。後者の場合、これらの構造がゲルファント同型によって完全に決定されるという事実を利用できる。

自己随伴要素

自己随伴元とは、形式 の元である。形式 のC*-代数Aの元全体の集合は、閉じた凸錐を形成する。この錐は、形式 の元と同一である。この錐の元は非負（または、の元に対する用語法と矛盾するが、正 と呼ばれることもある） と呼ばれる。×＝×∗{\displaystyle x=x^{*}}×∗×{\displaystyle x^{*}x}××∗{\displaystyle xx^{*}}R{\displaystyle \mathbb {R} }

C*-代数Aの自己随伴元の集合は、自然に半順序ベクトル空間の構造を持ちます。順序は通常 と表記されます。この順序において、自己随伴元がを満たす必要十分条件は、のスペクトル が非負であることと、 があるに対してであることと同値です。Aの2つの自己随伴元とがを満たす必要十分条件は、です。 ≥{\displaystyle \geq }×∈あ{\displaystyle x\in A}×≥0{\displaystyle x\geq 0}×{\displaystyle x}×＝s∗s{\displaystyle x=s^{*}s}s∈あ{\displaystyle s\in A}×{\displaystyle x}y{\displaystyle y}×≥y{\displaystyle x\geq y}×−y≥0{\displaystyle xy\geq 0}

この部分的に順序付けられた部分空間により、C*-代数上の正の線形関数の定義が可能になり、これが C*-代数の状態を定義するために使用され、さらにGNS 構成を使用してC*-代数のスペクトルを構築するために使用できます。

商と近似恒等式

任意のC*-代数Aは近似的 な恒等元を持つ。実際、Aの自己随伴元の有向族{ e λ } λ∈Iが存在し、

×eλ→×{\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}
0≤eλ≤eμ≤1 いつでも λ≤μ。{\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ いつでも }}\lambda \leq \mu .}
Aが分離可能な場合、A は逐次近似単位元を持つ。より一般的には、A が逐次近似単位元を持つのは、 A が正元 （すなわち、 AにhAhが稠密となるような正元h ）を含む場合のみである。

近似恒等式を使用すると、自然ノルムを持つ、 閉じた適切な両側イデアルによる C*-代数の代数商が C*-代数であることを示すことができます。

同様に、C*-代数の閉じた二辺イデアルは、それ自体が C*-代数です。

例

有限次元C*-代数

C上のn × n行列の代数 M( n , C ) は、行列をユークリッド空間C n上の作用素とみなし、行列に作用素ノルム||·||を用いるとC*-代数になる。この反転は共役転置によって与えられる。より一般には、行列代数の有限直和を考えることができる。実際、ベクトル空間として有限次元であるすべての C*-代数は、同型性を除き、この形式である。自己随伴要件は有限次元 C*-代数が半単純 であることを意味し、この事実から次のArtin–Wedderburn型 の定理を導くことができる。

定理。 有限次元C*-代数Aは有限直和に 正準同型である。

あ＝⨁e∈分ああe{\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}

ここで、min AはAの最小の非ゼロ自己随伴中心射影の集合です。

各C*-代数Ae は、非標準的な方法で、完全行列代数 M(dim( e ), C ) と同型である。 {dim( e )} eによって与えられる min Aを添え字とする有限族は、 Aの次元ベクトルと呼ばれる。このベクトルは、有限次元C*-代数の同型類を一意に決定する。K理論の言語では、このベクトルはAのK 0群の正錐である。

† -代数（より正確には、†-閉代数）は、物理学において有限次元C*-代数を指すために時折用いられる名称である[ 5 ] 。短剣記号†が名称に用いられるのは、物理学者がエルミート随伴を表すためにこの記号を用いるのが一般的であり、無限次元に伴う微妙な点については気にしないことが多いためである。（数学者は通常、エルミート随伴を表すためにアスタリスク*を用いる。）†-代数は量子力学、特に量子情報科学において重要な位置を占める。

有限次元 C*-代数の直接的な一般化は、近似的に有限次元 C*-代数である。

作用素のC*-代数

C*-代数の典型的な例は、複素ヒルベルト空間H上に定義された有界（同値連続）線型作用素の代数B(H)である。ここでx* は作用素x  : H → Hの随伴作用素を表す。実際、任意の C*-代数Aは、適切なヒルベルト空間Hに対するB ( H )のノルム閉随伴閉部分代数と *-同型である。これはゲルファント・ナイマルクの定理の内容である。

コンパクト作用素のC*-代数

H を可分な無限次元ヒルベルト空間とする。H上のコンパクト作用素の成す代数K ( H )はB ( H )のノルム閉部分代数である。また、これは対合に関して閉じているため、C*-代数である。

コンパクト作用素の具体的なC*-代数は、有限次元C*-代数に対するウェダーバーンの定理に類似した特徴付けが可能である。

定理。AがK ( H )のC*部分代数ならば、ヒルベルト空間{ H i } i ∈ Iが存在し、

あ≅⨁私∈私K（H私）、{\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}

ここで、(C*-)直和は、|| T i || → 0となる直積 Π K ( H i ) の元 ( T i ) から構成されます。

K ( H ) は単位元を持たないが、 K ( H )の近似的な単位元を導出することができる。具体的には、Hは平方和可能列l 2の空間と同型である。つまり、 H = l 2と仮定できる。各自然数nに対し、 H n を添字k ≥ nに対してゼロとなるl 2の列の部分空間とし、e nをH nへの直交射影とする。列 { e n } nはK ( H )の近似的な単位元である。

K ( H ) はB ( H )の両側閉イデアルである。可分ヒルベルト空間に対しては、 K ( H )は唯一のイデアルである。B ( H )をK ( H )で割った商はカルキン代数である。

可換C*-代数

X を局所コンパクトハウスドルフ空間とする。X上の複素数値連続関数の空間で、無限大で消滅する空間 (局所コンパクト性に関する記事で定義)は、点ごとの乗算および加算に関して可換 C*-代数を形成する。この反転は点ごとの共役である。 が乗法単位元を持つのは、がコンパクトである場合に限ります。任意の C*-代数と同様に、は近似単位元を持つ。 の場合、これは即時である。 のコンパクト部分集合の有向集合を考え、各コンパクト に対して が上で恒等的に 1 であるコンパクト台の関数であるとする。このような関数は、局所コンパクト ハウスドルフ空間に適用されるTietze 拡張定理によって存在する。このような関数の任意のシーケンスは近似単位元である。 C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}X{\displaystyle X}C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}X{\displaystyle X}K{\displaystyle K}fK{\displaystyle f_{K}}K{\displaystyle K}{fK}{\displaystyle \{f_{K}\}}

ゲルファンド表現によれば、すべての可換C*-代数は代数 と*-同型であり、ここで は弱*位相を備えた指標の空間である。さらに、がC*-代数として と同型である場合、とは同相となる。この特徴付けは、非可換位相幾何学および非可換幾何学プログラムの動機の一つである。 C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}X{\displaystyle X}C0（X）{\displaystyle C_{0}(X)}C0（はい）{\displaystyle C_{0}(Y)}X{\displaystyle X}はい{\displaystyle Y}

C*包絡代数

近似恒等写像を持つバナッハ*-代数Aが与えられたとき、C*-同型を除いて一意のC*-代数E ( A ) と、 AからE ( A )への普遍的な*-射 πが存在する。すなわち、他のすべての連続した*-射π ' : A → Bはπを介して一意に因数分解される。代数E ( A ) はバナッハ*-代数AのC*-包絡代数と呼ばれる。

特に重要なのは、局所コンパクト群Gの C*-代数である。これは、Gの群代数の包絡 C*-代数として定義される。G の C*-代数は、Gが非可換群である場合のGの 一般調和解析の文脈を提供する。特に、局所コンパクト群の双対は、群 C*-代数の原始イデアル空間として定義される。C *-代数のスペクトルを参照。

フォン・ノイマン代数

フォン・ノイマン代数（1960年代以前はW*代数として知られていた）は、C*代数の特別な種類である。これらは、ノルム位相よりも弱い弱作用素位相において閉じていることが求められる。

シャーマン-武田定理は、任意の C*-代数には普遍包絡 W*-代数があり、W*-代数への任意の準同型はそれを因数分解できることを意味します。

C*-代数の型

AC*-代数Aが I 型であるための必要十分条件は、 Aのすべての非退化表現 π に対して、フォン・ノイマン代数 π( A ) ″（すなわち、π( A ) の二交換語）が I 型フォン・ノイマン代数となることである。実際には、因子表現、すなわち π( A ) ″ が因子となる 表現 π のみを考えれば十分である。

局所コンパクト群は、その群の C*-代数がタイプ I で ある場合に限り、タイプ I であると言われます。

しかしながら、C*-代数が非タイプI表現を持つ場合、ジェームズ・グリムの結果によれば、タイプIIとタイプIIIの表現も持つ。したがって、C*-代数と局所コンパクト群については、タイプIと非タイプIの性質についてのみ言及することが意味を持つ。

C*-代数と量子場の理論

量子力学では、通常、物理系は単位元を持つC*代数Aで記述されます。Aの自己随伴元（ x * = xとなる元x ）は、系の観測可能量、すなわち測定可能な量と考えられます。系の状態は、A上の正関数（C線型写像φ: A → Cで、すべてのu∈Aに対してφ( u*u )≥0となるもの）として定義され、φ(1) = 1となります。系が状態φにある場合、観測可能量xの期待値はφ( x )です。

この C*-代数アプローチは、ミンコフスキー時空のすべての開集合がC*-代数に関連付けられている 局所量子場理論のハーグ-カストラー公理化で使用されます。

参照

注記

  1. ^ Doran & Belfi 1986、pp.5-6、 Googleブックス。
  2. ^ Doran & Belfi 1986、p.6、 Google ブックス。
  3. ^シーガル 1947
  4. ^シーガル 1947、75ページ
  5. ^ John A. Holbrook、David W. Kribs、Raymond Laflamme. 「ノイズレスサブシステムと量子誤り訂正におけるコミュタントの構造」『量子情報処理』第2巻第5号、381～419頁、2003年10月。

参考文献

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