CHSH不平等

物理学において、クラウザー・ホーン・シモニー・ホルト（CHSH）不等式は、量子力学におけるエンタングルメントの特定の結果は局所隠れた変数理論では再現できないとするベルの定理の証明に用いられる。不等式の破れが実験的に検証されることは、自然がそのような理論では記述できないことの確証と見なされる。CHSHは、ジョン・クラウザー、マイケル・ホーン、アブナー・シモニー、そしてリチャード・ホルトの頭文字をとったもので、彼らは1969年に発表された引用数の多い論文でこの不等式を記述した。^[1]彼らはCHSH不等式を導出した。これは、ジョン・スチュワート・ベルの元の不等式と同様に、^[2]ベルテストにおける「偶然」の統計的発生に対する制約であり、基礎となる局所隠れた変数理論が存在する場合、必然的に成立する。実際には、この不等式は現代の量子力学実験によって日常的に破られている。^[3]

声明

CHSH不等式の通常の形は

$${\displaystyle |S|\leq 2,}$$

1

どこ

$${\displaystyle S=E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b\right)+E\left(a',b'\right).}$$

2

${\displaystyle a}$ および は、それぞれ側、側における検出器設定であり、4つの組み合わせが別々のサブ実験でテストされています。項等 は粒子対の量子相関です。ここで、量子相関は実験の「結果」の積、すなわち の統計的平均の期待値として定義されます。ここでは、'+' チャネルに +1、'-' チャネルに -1 というコーディングを使用した個別の結果です。Clauser らによる 1969 年^[1]の導出は「2 チャネル」検出器の使用を前提としており、実際、この方法は一般的にこれらの検出器で使用されていますが、彼らの方法では、可能な結果は +1 と -1 だけでした。当時の実際の状況、つまり偏光と単一チャネル偏光子の使用に適応するために、彼らは '-' を「'+' チャネルでの非検出」、つまり '-' または何も検出されないことを意味すると解釈する必要がありました。原著論文では、2チャンネル不等式が実際の不完全な検出器を用いた実験にどのように適用できるかについては議論されていませんでしたが、後に^{[4]、この不等式自体も同様に有効であることが証明されました。しかしながら、ゼロ結果の発生は、実験データから}Eの値をどのように推定するかがもはや自明ではないことを意味します。 ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E(a,b)}$ ${\displaystyle A(a)\times B(b)}$ ${\displaystyle A,B}$

量子力学の数学的形式論によれば、適切なエンタングルメント状態と適切な測定設定（下記参照）のもとで準備された系では、の値は2を超えると予測される。量子力学によって予測される最大の違反は（ツィレルソンの限界）^{[5]であり、最大エンタングル}メントベル状態^[6]から得られる。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

実験

1982年のアラン・アスペクトによる2回目の実験 に続いて行われた多くのベル検定では、CHSH不等式が用いられ、(3)式を用いて項を推定し、公平なサンプリングを仮定している。この不等式に著しく違反する例がいくつか報告されている。^[7]

「2チャンネル」ベルテストの模式図。
光源Sは光子対を生成し、それぞれ反対方向に送られます。各光子は2チャンネルの偏光子（aとb ）に入射します。偏光子の向きは実験者が設定できます。各チャンネルから発生する信号は同時計数計CMによって検出され、同時計数がカウントされます。

実際には、ほとんどの実際の実験では、ベルが当初想定していた電子ではなく、光が用いられてきました。最もよく知られている実験では^{[8] [9] [10]} 、注目する特性は偏光方向ですが、他の特性も用いることができます。図は典型的な光学実験を示しています。同時検出（同時検出）が記録され、結果は「++」、「+−」、「−+」、「−−」のいずれかに分類され、対応するカウントが累積されます。

検定統計量S（上記2 ）の4つの項に対応する4つの独立したサブ実験が実施される。a = 0°、a ′ = 45°、b = 22.5°、b ′ = 67.5°という設定が、実際には一般的に「ベルテスト角」として選択される。これは、量子力学式が不等式に最も大きな違反を生じる角度である。 ${\displaystyle E(a,b)}$

の各選択された値について、各カテゴリにおける同時発生回数が記録されます。次に、 の実験推定値は次のように計算されます。 ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle \left\{N_{++},N_{--},N_{+-},N_{-+}\right\}}$ ${\displaystyle E(a,b)}$

$${\displaystyle E(a,b)={\frac {N_{++}-N_{+-}-N_{-+}+N_{--}}{N_{++}+N_{+-}+N_{-+}+N_{--}}}}$$

3

すべてのEが推定されると、Sの実験的推定値（式2）が得られる。もし数値的に2より大きい場合、CHSH不等式に違反しており、実験は量子力学の予測を支持し、すべての局所隠れた変数理論を排除したと宣言される。

CHSH論文では、簡略化された定理と式を導くための多くの前提条件（または「合理的かつ／または推定可能な仮定」）が列挙されています。例えば、この手法が有効であるためには、検出されたペアが放出されたペアの公平なサンプルであると仮定する必要があります。実際の実験では、検出器の効率が100%になることはなく、放出されたペアのサンプルのみが検出されます。関連する微妙な要件として、隠れた変数が検出確率に影響を与えたり決定したりして、実験の各段階で異なるサンプルが生成されるようなことがあってはならない、というものがあります。

CHSH不等式は光子対、ベリリウムイオン対、イッテルビウムイオン対、ルビジウム原子対、ルビジウム原子雲対、ダイヤモンド中の窒素空孔、ジョセフソン位相量子ビットで破れている。^[11]

導出

1969年のオリジナルの導出は、理解が容易ではなく、結果が常に+1または-1であり、決してゼロにならないという仮定を含むため、ここでは示しません。ベルの1971年の導出はより一般的なものです。彼は、後にクラウザーとホーンによって用いられた「客観局所理論」^[12]を事実上前提としています。 検出器自体に関連する隠れた変数は、両側で独立であり、最初から平均化できると仮定しています。興味深いもう一つの導出は、クラウザーとホーンの1974年の論文で示されており、そこではCH74不等式から出発しています。

ベルの1971年の導出

以下はベルの『Speakable and Unspeakable』 [ ^{4]の37ページに基づいています。主な変更点は、量子相関の期待値として「} P 」ではなく「 E 」という記号を使用していることです。これにより、量子相関自体が確率である という示唆を回避しています。

まず、両側の独立性という標準的な仮定から始めます。これにより、個々の確率を掛け合わせることで、任意の「隠れ変数」λの値に対する結果のペアの結合確率を得ることができます。λは、情報源の可能な状態の固定分布から抽出されると仮定します。特定の試行において情報源が状態λにある確率は、密度関数ρ(λ)で与えられ、その隠れ変数空間全体にわたる積分は1です。したがって、次のように書けると仮定します。 ここで、AとBは結果です。AとBの可能な値は-1、0、+1であるため、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle E(a,b)=\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda }$$

${\displaystyle \left|{\underline {A}}\right|\leq 1\quad \left|{\underline {B}}\right|\leq 1}$

4

次に、a、a ′、b、b ′が検出器の代替設定である場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}}$

両辺の絶対値を取り、右辺に 三角不等式を適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$

とが両方とも非負であるという事実を利用して、この右辺を次のように書き直す。 ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )}$ ${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )}$ $${\displaystyle \int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$$

（4）によれば、これは以下でなければならない 。ρ （λ）の積分が1である という事実を用いると、 はに等しく、はに等しい。 $${\displaystyle \int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda }$$ $${\displaystyle 2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \right]}$$ ${\displaystyle 2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$

これを左辺と合わせると、次の式が得られます。 これは、左辺が と の両方以下であることを意味します。つまり、次の式が 得られます。ここから （再び三角不等式により）、CHSH不等式が得られます。 $${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$$ ${\displaystyle 2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$ ${\displaystyle 2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$ $${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$ $${\displaystyle 2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$

クラウザーとホーンの1974年の不等式からの導出

1974年の論文^[12]において、クラウザーとホーンはCHSH不等式がCH74不等式から導出できることを示している。彼らの言うように、2チャネル実験においてもCH74単一チャネル検定は適用可能であり、一致確率pを規定する4組の不等式を与える。

不等式の不同次バージョンから、次のように記述できます。 ここで、jとkはそれぞれ「+」または「−」であり、どの検出器が考慮されているかを示します。 $${\displaystyle -1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0}$$

CHSH検定統計量S ( 2 )を得るためには、 jがkと異なる不等式に-1を掛け、それをjとkが同じ 不等式に加えるだけでよい。

一般量子状態による最適破れ

実験的には、2つの粒子は理想的なEPR対ではない。2量子ビットの 密度行列 がCHSH不等式を破るためには、式2で定義される最大到達多項式S _maxで表される必要十分条件が存在する。^[13]これは、秘密鍵の速度が測定相関の度合いに依存する、エンタングルメントベースの量子鍵配送において重要である。 ^[14]${\displaystyle \rho }$

要素を持つ3×3実行列を導入する。ここで、 要素はパウリ行列である。次に、実対称行列の固有値と固有ベクトルを求める。 ここで、添え字は でソートされている。そして、最大CHSH多項式は、2つの最大の固有値によって決定される。^[13]${\displaystyle T_{\rho }}$ ${\displaystyle t_{ij}=\operatorname {Tr} [\rho \cdot (\sigma _{i}\otimes \sigma _{j})]}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\displaystyle U_{\rho }=T_{\rho }^{\text{T}}T_{\rho }}$ $${\displaystyle U_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {e}}_{i},\quad |{\boldsymbol {e}}_{i}|=1,\quad i=1,2,3,}$$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$ $${\displaystyle S_{\text{max}}(\rho )=2{\sqrt {\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$$

最適な測定基準

与えられたaに対して、少なくとも1つの自由パラメータを持つSmax_を与える測定基数a、a'、b、b'の最適構成が存在する。 ^{[15] [16]}${\displaystyle \rho }$

2つの直交状態に対してそれぞれ+1または-1を与える射影測定は、演算子 で表すことができます。この測定基底の選択は、実単位ベクトルとパウリベクトルによってパラメータ化され、 と表すことができます。すると、基底a、bにおける期待される相関は となります 。基底ベクトルの数値が求められれば、射影測定の構成に直接変換できます。^[16]${\displaystyle |\alpha \rangle ,|\alpha ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {A} =|\alpha \rangle \langle \alpha |-|\alpha ^{\perp }\rangle \langle \alpha ^{\perp }|}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{3},|{\boldsymbol {a}}|=1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathrm {A} ={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ $${\displaystyle E(a,b)=\operatorname {Tr} [\rho ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\otimes ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})]={\boldsymbol {a}}^{\text{T}}T_{\rho }{\boldsymbol {b}}.}$$

状態の最適な基底集合は、の2つの最大固有値と対応する固有ベクトルを取り、 が自由パラメータ である補助単位ベクトルを求めること によって求められる。また、鋭角を計算して 、式2 を最大化する基底を求める。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda _{1,2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1,2}}$ ${\displaystyle U_{\rho }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {c}}&={\boldsymbol {e}}_{1}\cos \varphi +{\boldsymbol {e}}_{2}\sin \varphi ,\\{\boldsymbol {c}}'&={\boldsymbol {e}}_{1}\sin \varphi -{\boldsymbol {e}}_{2}\cos \varphi ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \theta =\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {\lambda _{2}+\lambda _{1}\tan ^{2}{\varphi }}{\lambda _{1}+\lambda _{2}\tan ^{2}{\varphi }}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'|,\\{\boldsymbol {a}}'&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {c}}\cos \theta +{\boldsymbol {c}}'\sin \theta ,\\{\boldsymbol {b}}'&={\boldsymbol {c}}\cos \theta -{\boldsymbol {c}}'\sin \theta .\end{aligned}}}$$

エンタングルメントに基づく量子鍵配送では、秘密鍵の通信に用いられる別の測定基底が存在する（アリスがA側を利用すると仮定）。これらの基底は、異なる測定結果（一方の粒子で+1、もう一方の粒子で-1）を得る確率である量子ビット誤り率Qを最小化する必要がある。 ^[14]対応する基底は以下の通りである。 ^[16] CHSH多項式Sも最大化する必要があり、これは上記の基底と合わせて制約条件を生成する。^[16]${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0},{\boldsymbol {b}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}_{0}&=T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}/|T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {e}}_{1}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi =\pi /4}$

CHSHゲーム

CHSHゲームは、2つの当事者が（光速での古典的通信が不可能なほど遠く離れた）離れた場所で、それぞれがエンタングルされた2量子ビットペアの片方にアクセスすることによる思考実験です。このゲームの分析により、古典的な局所隠れた変数理論では、エンタングルメントから生じる相関関係を説明できないことが示されました。このゲームは物理的に実現可能であるため、古典物理学は特定の量子現象を、少なくとも「局所的」な形では根本的に説明できないという強力な証拠となります。

CHSHゲームには、協力する2人のプレイヤー、アリスとボブ、そして審判のチャーリーがいます。これらのエージェントはそれぞれ と略記します。ゲーム開始時に、チャーリーは一様ランダムにビットを選択し、アリスとボブに送信します。アリスとボブはそれぞれチャーリーにビットで応答しなければなりません。アリスとボブがチャーリーに応答を返すと、チャーリーは が成立するかどうかを判定します。ここで、 ∧ は論理積演算、 ⊕ は論理排他的論理和演算を表します。この等式が成立する場合、アリスとボブは勝ち、成立しない場合は負けとなります。 ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle x,y\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a,b\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle a\oplus b=x\land y}$

また、アリスとボブの応答は、彼らが見ているビットにのみ依存することが求められます。つまり、アリスの応答はにのみ依存し、ボブも同様です。つまり、アリスとボブは、チャーリーから送られてきたビットの値について直接通信することは禁じられています。ただし、アリスとボブはゲーム開始前に 共通の戦略を決定することは許可されています。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

以下のセクションでは、アリスとボブが局所情報（および場合によってはランダムなコイントス）を用いた古典的な戦略のみを用いた場合、75%を超える確率で勝利することは不可能であることを示します。しかし、アリスとボブが単一のエンタングルされた量子ビットペアを共有できる場合、アリスとボブが約85%の確率で勝利できる戦略が存在します。

最適な古典的戦略

まず、任意の決定論的古典的戦略の成功確率は最大で 75% である（確率はチャーリーの均一ランダムな の選択について取られる）ことを証明します。決定論的戦略とは、関数 のペアを指します。ここで、はアリスがチャーリーから受け取るメッセージの関数としてアリスの応答を決定する関数であり、 はボブが受け取った内容に基づいてボブの応答を決定する関数です。任意の決定論的戦略が少なくとも 25% の確率で失敗することを証明するために、アリスとボブの戦略の可能なすべてのペアを考えればよく、そのペアは最大で 8 個あります（各パーティに 4 つの関数 があります）。これら 8 つの戦略のそれぞれについて、4 つの可能な入力ペアのうち少なくとも 1 つが常にその戦略を失敗させることが検証できます。たとえば、両方のプレーヤーが常に 0 と答える戦略では、 の場合を除き、アリスとボブはすべてのケースで勝ちます。したがって、この戦略を使用すると、彼らの勝率はちょうど 75% になります。 ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f_{A},f_{B}:\{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$ ${\displaystyle f_{A}}$ ${\displaystyle f_{B}}$ ${\displaystyle \{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$ ${\displaystyle (x,y)\in \{0,1\}^{2}}$ ${\displaystyle x=y=1}$

さて、ランダム化された古典的戦略の場合を考えてみましょう。アリスとボブは相関のある乱数にアクセスできます。ゲーム開始前に、アリスとボブがまだ通信可能な状態で、二人でコインを数回投げることで、相関のある乱数を生成することができます。各ラウンドで彼らが返す出力は、チャーリーのメッセージと対応するコイン投げの結果の両方の関数になります。このような戦略は、決定論的戦略の確率分布と見なすことができ、したがって、その成功確率は、決定論的戦略の成功確率の加重和になります。しかし、すべての決定論的戦略の成功確率は最大で75%であるため、この加重和も75%を超えることはできません。

最適な量子戦略

ここで、アリスとボブが2量子ビットのエンタングルメント状態（一般にEPRペアと呼ばれる）を共有していると仮定します。アリスとボブは、このエンタングルメントペアを、以下に説明する戦略で使用します。この戦略の最適性は、ツィレルソンの限界から導かれます。 ${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$

チャーリーからビットを受け取ると、アリスは、それぞれ または のどちらかの条件付きで、基底 または の基底 で量子ビットを測定します。そして、測定基底の最初の状態が観測された場合、またはそうでない場合、それぞれの測定結果から得られる2つの可能な出力にラベルを付けます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle a=1}$

ボブはチャーリーから受信したビットを使用して、どの測定を実行するかを決定します。を基底 で測定する場合は 、を基底 で測定する場合は、ここで となります。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle \{|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle \}}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle \{|b_{0}\rangle ,|b_{1}\rangle \}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&|a_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |a_{1}\rangle =-\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\\&|b_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle -\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |b_{1}\rangle =\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta =\pi /8}$

以下の表はゲームの進め方を示しています。状態は、最も類似した2つの状態の間に位置するように並べられています。例えば、0°、22.5°、45°、…180°（180°と0°は同じ状態）の偏光を持つ光子に対応します。

ゲームの遊び方

州	${\displaystyle |1\rangle }$	${\displaystyle |b_{1}\rangle }$	${\displaystyle |+\rangle }$	${\displaystyle |a_{0}\rangle }$	${\displaystyle |0\rangle }$	${\displaystyle |b_{0}\rangle }$	${\displaystyle |-\rangle }$	${\displaystyle |a_{1}\rangle }$	${\displaystyle |1\rangle }$
アリスは x のどの値で状態をテストしますか?	0		1		0		1		0
ボブは y のどの値で状態をテストしますか?		1		0		1		0
アリスは状態を見つけたら何を送信しますか?	1		0		0		1		1
ボブは状態を見つけたら何を送信しますか?		1		0		0		1

成功確率を分析するには、4 つの可能な入力 それぞれに対して、成功する値のペアを出力する確率を分析し、平均を取れば十分です。ここでは、 の場合を分析します。この場合、成功する応答ペアはとです。入力 では、アリスは を基底として測定し、ボブは を基底として測定することが分かっています。すると、両者が 0 を出力する確率は、それぞれの測定値が となる確率と同じなので、正確に となります。同様に、両者が 1 を出力する確率は です。そのため、これらの成功結果のいずれかが発生する確率は です。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x=y=0}$ ${\displaystyle a=b=0}$ ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle x=y=0}$ ${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }$ ${\displaystyle |a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle ,|a_{0}\rangle }$ ${\textstyle |(\langle 0|\otimes \langle a_{0}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\textstyle |(\langle 1|\otimes \langle a_{1}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$

他の3つの入力ペアの場合も、本質的に同一の分析により、アリスとボブの勝率は同じ となり、ランダムに選択された入力の平均勝率は となることが示されます。 であるため、これは従来のケースで可能だったものよりも確実に優れています。 ${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)\approx 85\%}$

一般的な量子戦略のモデリング

CHSHゲームにおける任意の量子戦略は、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)}$

• ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}}$ は、ある人にとっては二部状態である。${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle A_{0}}$ およびはアリスの観測可能量であり、それぞれ審判からの受信に対応し、${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
• ${\displaystyle B_{0}}$ およびはボブの観測可能値であり、それぞれ審判からの受信に対応しています。${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle y\in \{0,1\}}$

上で述べた最適な量子戦略は、次のように表記し直すことができます。はEPRペア、観測量（アリスが基底 で測定することに相当）、観測量（アリスが基底 で測定することに相当）です。ここで、 とはパウリ行列です。観測量と（ボブが基底 で測定することに選択したそれぞれに相当）です。CHSHゲームにおける戦略の成功確率を で表し、戦略のバイアスを と定義します。これは の勝ち確率と負け確率の差です。 ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$ ${\textstyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$ ${\displaystyle A_{0}=Z}$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle A_{1}=X}$ ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle B_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+Z)}$ ${\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(Z-X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}):=2\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

特に、 上で説明した量子戦略のバイアスは です。 $${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})={\frac {1}{4}}\sum _{x,y\in \{0,1\}}(-1)^{x\wedge y}\cdot \langle \psi |A_{x}\otimes B_{y}|\psi \rangle .}$$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

ツィレルソンの不等式とCHSH剛性

1980年にボリス・ツィレルソンによって発見されたツィレルソンの不等式^[17]は、 CHSHゲームにおける任意の量子戦略について、バイアスが であることを述べている。同様に、これはCHSHゲームにおける 任意の量子戦略の成功確率が であることを述べている 。特に、これはCHSHゲームにおける上記の量子戦略の最適性を示唆している。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\textstyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ $${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

ツィレルソンの不等式は、あらゆる量子戦略の最大成功確率が であることを示しており、この最大成功確率は上述の量子戦略によって達成されることを見ました。実際、この最大成功確率を達成するあらゆる量子戦略は、上述の標準的な量子戦略と（正確な意味で）同型でなければなりません。この性質はCHSHゲームの剛性と呼ばれ、サマーズとワーナーに初めて帰属されました。 ^[18] より正式には、以下の結果が得られます。 ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$

定理（厳密なCHSH剛性）—がCHSHゲームの量子戦略であり、となるとします。すると、等長写像とが存在し、が と同型であり、となるとします。ここで はEPRペアを表し、何らかの純粋状態を表し、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}}$ ${\displaystyle W:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {B}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle |\theta \rangle =(V\otimes W)|\psi \rangle }$ $${\displaystyle |\theta \rangle =|\Phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {B}}_{1}}\otimes |\phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}}$$ ${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(V\otimes W)A_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V\otimes W)B_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}}_{1}}|\theta \rangle ,\\(V\otimes W)A_{1}|\psi \rangle =X_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V\otimes W)B_{1}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}}_{1}}|\theta \rangle .\end{aligned}}}$$

非公式には、上記の定理は、CHSHゲームの任意の最適戦略が与えられた場合、アリスとボブの共有状態がEPRペアのテンソルと追加の補助状態 の因数分解されるような局所的な基底変換（等長変換 によって与えられる）が存在することを述べています。さらに、アリスとボブの観測量と は、ユニタリ変換を除いて、EPRペアからのそれぞれの量子ビット上のおよび観測量のように振舞います。CHSH剛性の近似的または定量的なバージョンは、McKagueら^[19]によって得られ、彼らは、ある に対して となる量子戦略がある場合、その戦略が標準的な量子戦略に -近い等長変換が存在することを証明しました。近似的な剛性の表現理論的証明も知られています。^[20]${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle (A_{0},A_{1})}$ ${\displaystyle (B_{0},B_{1})}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)-\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle O({\sqrt {\epsilon }})}$

アプリケーション

CHSHゲームは量子もつれと量子測定のテストとして捉えることができ、CHSHゲームの剛性により、特定の量子測定だけでなく、特定の量子もつれもテストできるという点に留意すべきである。これは、量子計算全体のテスト、さらには検証にも活用できる。特に、CHSHゲームの剛性は、検証可能な量子委任^{[21] 、 [22]、}証明可能なランダム性拡張^{[23] 、そしてデバイス非依存暗号[24]}のためのプロトコル構築に利用されている。

参照

• 相関関係は因果関係を意味するものではない
• レゲット・ガーグ不等式
• 量子ゲーム理論

参考文献

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外部リンク

• ベル不等式 - Quantum Flytrapによる仮想ラボ、CHSHベル不等式違反のインタラクティブシミュレーション^[1]

1. ミグダウ、ピョートル;ヤンキウィッツ、クレメンティナ。グラバルツ、パヴェウ;デカロリ、キアラ。コーチン、フィリップ (2022)。 「インタラクティブなシミュレーションで量子力学を視覚化 - Quantum Flytrap による仮想ラボ」。光学工学。61 (8) 081808.arXiv : 2203.13300。Bibcode :2022OptEn..61h1808M。土井：10.1117/1.OE.61.8.081808。