カイロの五角形のタイル張り
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カイロの五角形のタイル張り
カイロタイルの正三角形
タイプ五角形のタイル張り
タイル不規則な五角形
デュアルスナブスクエアタイル
プロパティ顔推移

幾何学において、カイロ五角形タイル張りは、ユークリッド平面を合同な凸五角形で敷き詰めたものであり、六角形による平面の2つの敷き詰めを重ねることで形成され、カイロの舗装デザインとして用いられたことからその名が付けられた。パーシー・アレクサンダー・マクマホンが1921年に出版した『新数学的娯楽』に描かれたことから、マクマホン・ネット[ 1 ]とも呼ばれる。ジョン・ホートン・コンウェイはこれを4倍ペンティルと呼んだ[ 3 ] 。

このパターンは、平面を敷き詰めることができる15種類の凸五角形ファミリーのうち2つに属する、無限に多くの異なる五角形によって形成されます。これらのタイルは様々な対称性を持ちますが、すべて面対称です。このタイルの1つの形式は、スナブスクエアタイルの双対であり、すべての五角形タイルの中で最小の周囲長を持つタイルで構成されています。もう1つの形式は、2つの平坦化されたタイルを正六角形で重ね合わせたものであり、カイロで使用されています。この形式では、すべての辺が他の無限個の辺と共線的であるという特性があります。

建築においては、カイロ以外にも、 18世紀インドのムガル建築、20世紀初頭のドイツのライスハレ、そして多くの近代建築やインスタレーションにカイロタイルが用いられてきました。また、結晶構造としての研究も行われており、 M.C.エッシャーの作品にも登場しています。

構造と分類

カイロタイルのすべての辺の和は、平面上の2つのタイルを六角形で和するのと同じです。一方のタイルの各六角形は、もう一方のタイルの2つの頂点を囲み、もう一方のタイルの六角形によってカイロタイルの4つの五角形に分割されます。[ 4 ]カイロタイルは、タイル間の隣接パターンと六角形への分解が同じで、辺の長さ、角度、対称性がそれぞれ異なる、無限に多くの異なる五角形から構成されます。これらのタイリングを形成する五角形は、平面をタイリングできる15の凸五角形族[ 5 ]と、1918年にカール・ラインハルトが発見した平面を等面体（すべてのタイルが互いに対称）にタイリングできる5つの五角形族から、2つの異なる無限族に分類できます。[ 6 ]

これら2つのファミリーのうちの1つは、隣接しない2つの直角を持ち、それぞれの直角で長さの等しい2つの辺が交わる五角形から構成されます。これらの要件を満たす五角形は、選択された直角の角において、互いに直角回転したコピーによって平面をタイル状に並べます。これらの2つの直角のいずれかに隣接していない五角形の辺では、2つのタイルが互いに180°回転して交わります。その結果、等面体タイルが実現します。つまり、タイル状の任意の五角形は、タイル状の対称性によって他の任意の五角形に変換できます。これらの五角形とそのタイル状は、タイル状に並べられる五角形の種類の一覧では「タイプ4」として記載されることが多いです。[ 4 ]カイロタイル張りのタイプ4では、同じタイルを12枚使って立方体の表面を覆うこともできます。立方体の各辺にタイルを1枚ずつ折り込み、立方体の各頂点でタイルの直角を3つ合わせると、正十二面体と同じ組み合わせ構造が形成されます。[ 7 ] [ 8 ]

カイロ・タイリングを形成するもう一つの五角形族は、隣接しない頂点に2つの余角を持ち、それぞれの辺の長さが同じである五角形です。これらのタイリングでは、余角を持つ頂点は、次数4の頂点を中心に交互に配置されます。これらの制約を満たす五角形は、通常、タイリングを行う15の五角形族の一つとして挙げられるのではなく、むしろ、異なる方法で平面を等面体的にタイリングする、より大きな五角形族（「タイプ2」五角形）の一部です。[ 4 ]

左右対称のカイロタイルは、タイプ2とタイプ4の両方のファミリーに属する五角形で構成されています。[ 4 ]バスケットウィーブレンガ舗装パターンは、左右対称のカイロタイルの退化したケースと見ることができ、各レンガ（長方形）は4つの直角と1つの180°の角を持つ五角形として解釈されます。[ 9 ]1×2{\displaystyle 1\times 2}

  • タイプ2のカイロタイルは、隣接していない補角を持ち、隣接する2辺の長さは同じである。
    タイプ2のカイロタイルは、隣接していない補角を持ち、隣接する2辺の長さは同じである。
  • タイプ4のタイルは、等しい長さの辺のペアの間に隣接していない直角を持ちます。
    タイプ4のタイルは、等しい長さの辺のペアの間に隣接していない直角を持ちます。
  • 左右対称のタイル張り（両方のタイプに属する）では、隣接していない直角と4つの等しい辺を持つタイルを使用します。
    左右対称のタイル張り（両方のタイプに属する）では、隣接していない直角と4つの等しい辺を持つタイルを使用します。
  • タイプ2のカイロタイル。反射タイルと非反射タイルの色分け表示付き。
    タイプ2のカイロタイル。反射タイルと非反射タイルの色分け表示付き。
  • タイプ4のカイロタイルでは、タイルが左右対称でなくても五角形が左右対称になることがあります。
    タイプ4のカイロタイルでは、タイルが左右対称でなくても五角形が左右対称になることがあります。
  • バスケットウィーブは、退化した左右対称のタイル模様で、その上に非退化タイル模様が重ねられている。
    バスケットウィーブは、退化した左右対称のタイル模様で、その上に非退化タイル模様が重ねられている。

タイル張りの五角形に、6 次元の半整数座標を割り当てることができます。これにより、任意の 2 つの五角形間のエッジからエッジまでのステップ数が、それらの座標間のL 1距離に等しくなります。各五角形の 6 つの座標は、2 つの座標の 3 つにグループ化でき、各 3 つが、重ね合わせた 2 つの六角形タイル張りのそれぞれについて、類似の 3 次元座標系での六角形の座標を示します。[ 10 ]任意のタイルからステップ離れているタイルの数は、最初の 3 つの項の後、各項が、シーケンス内で 3 ステップ前の項と 16 だけ異なるような調整シーケンスで与えられます 。タイルの代わりにタイル張りの頂点に類似の調整シーケンスを定義することもできますが、頂点には 2 つのタイプ (次数 3 と次数 4) があるため、この方法では 2 つの異なる調整シーケンスが発生します。 4次のシーケンスは正方格子の場合と同じです。[ 11 ] [ 12 ]私{\displaystyle i}私＝0、1、2、…{\displaystyle i=0,1,2,\dots }1、5、11、16、21、27、32、37、…{\displaystyle 1,5,11,16,21,27,32,37,\dots }

特殊なケース

カタルーニャタイル

スナブスクエアタイルの対となるカイロタイル
デュアルスナブスクエアタイリングの五角形の幾何学

スナブ正方形タイリングは、2つの正方形と各頂点の周りの3つの正三角形で構成され、そのデュアルタイリングとして左右対称のカイロタイリングがあります。[ 13 ]カイロタイリングは、スナブ正方形タイリングの各正方形または三角形の中心にカイロタイリングの頂点を配置し、隣接するタイルから来る場合はこれらの頂点を辺で接続することによって、スナブ正方形タイリングから形成されます。[ 14 ]その五角形は円に外接できます。それらには4つの長い辺と1つの短い辺があり、長さの比があります。これらの五角形の角度は、120°、120°、90°、120°、90°のシーケンスを形成します。[ 15 ]1:3−1{\displaystyle 1:{\sqrt {3}}-1}

スナブ・スクエア・タイリングはアルキメデス・タイリングの一種であり、アルキメデス・タイリングの双対として、このカイロ五角形タイリングはカタラン・タイリングまたはラベス・タイリングと呼ばれる。[ 14 ]これは、タイルの面積が単位のときにタイルの周囲長を最小化する、2種類の単面五角形タイリングのうちの1つである。もう1つは、2つの直角と3つの120°角を持つ外接五角形によるタイリングであるが、2つの直角は互いに隣接している。また、両方の種類の五角形を組み合わせたタイリングも無数に存在する。[ 15 ]

同一直線上のエッジを持つタイリング

カイロ五角形タイルの共線形式
カイロタイルの共線形式。整数座標五角形。2つの直交する正六角形タイルを直交方向に平坦化して形成。

整数の頂点座標、、 を持ち、4つの辺が残りの1辺より短い五角形はカイロタイリングを形成し、その2つの六角形タイリングは、垂直な2つのタイリングを垂直方向に正六角形で の比率で平坦化することで形成できます。この形のカイロタイリングは、すべての辺が他の無限個の辺と同一線上にあるという、正六角形によるタイリングの特性（平坦化によって変化しない）を継承しています。[ 9 ] [ 16 ]（±2、0）{\displaystyle (\pm 2,0)}（±3、3）{\displaystyle (\pm 3,3)}（0、4）{\displaystyle (0,4)}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}

等辺長タイル

正五角形は、平面を隙間なく敷き詰めることができないため、カイロタイリングを形成することができません。カイロタイリングのタイプ4を形成できる唯一の正五角形があります。これは5辺が等しいものの、角度が不等であり、タイリングが左右対称です。[ 4 ] [ 13 ]カイロタイリングのタイプ2を形成できる正五角形は無数にあります。[ 4 ]

アプリケーション

カイロの多くの通りは、カイロタイルと同じ直線状の舗装が施されている。[ 9 ] [ 17 ]この施工がタイルの名前の由来である。[ 18 ] [ 19 ] 2019年現在でも、この模様はカスル・エル・ニル橋やエル・ベフース地下鉄駅付近の正方形タイルの表面装飾として見ることができる。また、市内の他の場所でもこのタイルの他のバージョンを見ることができる。[ 20 ]マーティン・ガードナーなど一部の著者は、この模様はイスラム建築でより広く使用されていると書いているが、この主張は誤解に基づいているようであるが、カイロタイルに似た模様は17世紀のインドのイティマード・ウッダウラ廟で見ることができ、カイロタイル自体は17世紀のムガル帝国のジャリで発見されている。[ 16 ]

ペンタグラファン

装飾模様としてのカイロタイルに関する最も古い出版物の一つは、 1906年のテキスタイルデザインに関する本に記載されている。[ 21 ]発明者HCムーアは、1908年にこの模様を形成するタイルの米国特許を申請した。[ 22 ]ほぼ同時期に、ビレロイ＆ボッホはカイロタイル模様のセラミック床タイルのシリーズを開発し、ドイツのハンブルクにあるライスハレの玄関ホールで使用された。カイロタイルは近年の多くの建築デザインの装飾模様として用いられている。例えば、デンマークのホルスホルム市の中心部はこの模様で舗装されており、クロアチアのスポーツホールであるセンター・ザメットでは外壁と舗装タイルの両方にこの模様が用いられている。[ 16 ]

結晶学では、このタイリングは少なくとも 1911 年以来研究されてきました。[ 23 ]これは、層状水和物結晶の構造として提案されており、[ 24 ]ビスマスと鉄の特定の化合物、[ 25 ]および純粋な炭素の仮想化合物であるペンタグラフェンの構造です。ペンタグラフェン構造では、タイリングの次数 4 の頂点に接するエッジは単結合を形成し、残りのエッジは二重結合を形成します。その水素化形であるペンタグラフェンでは、すべての結合が単結合であり、構造の次数 3 の頂点にある炭素原子は、それらを水素原子に結びつける 4 番目の結合を持ちます。[ 26 ]

カイロ・タイルは、M・C・エッシャーの「お気に入りの幾何学模様」の一つとされています。[ 7 ]彼はこのタイルを、素描『貝殻とヒトデ』 （1941年）の土台として、また『変身III』 （1967-1968年）の花に群がる蜂の部分、そして1967-1968年の他のいくつかの素描に使用しました。このタイル模様の画像は、 H・S・M・コクセターの著書『正則複素多面体』（1974年初版）の表紙にも使用されています。[ 4 ] [ 16 ]

参考文献

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