連続体の基本特性

数学の分野である集合論において、連続体の基数特性とは、 （自然数の集合の基数）と連続体の基数、すなわちすべての実数の集合の基数との間に厳密に一貫して存在する無限基数である。後者の基数はまたはで表される。このようなさまざまな基数特性が自然に生じ、それらの間のどのような関係が証明可能であるかを判断し、それらのさまざまな一貫した構成に対して集合論のモデルを構築する研究が数多く行われてきた。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

背景

カントールの対角線論証は、が よりも確実に大きいことを示していますが、 がよりも大きい最小の基数（つまり、）であるかどうかは明記していません。実際、 という仮定はよく知られた連続体仮説であり、これはKurt Gödelによって集合論の標準的なZFC 公理と整合し、 Paul Cohenによってそれらとは独立であることが示されました。連続体仮説が成り立たず、したがって が少なくとも である場合、厳密にとの間にある基数、たとえばルベーグ可測性に関する疑問が自然に生じます。ある特性を持つ最小基数を考慮することにより、一貫して よりも小さい非可算基数 の定義を得ることができる場合があります。一般に、 よりも大きく、最大でも である基数の定義のみを連続体の基数特性として考慮するため、連続体仮説が成り立つ場合、それらはすべて に等しくなります。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph_{0}}$ ${\displaystyle \aleph_{0}}$ ${\displaystyle \aleph_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph_{2}}$ ${\displaystyle \aleph_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph_{1}}$

例

集合論の標準に従い、最小の無限順序数を で表します。これは濃度 を持ち、自然数の集合と同一視できます。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph_{0}}$

ルベーグ零集合のイデアルや希薄集合のイデアルなど、実数の構造と密接に関係するイデアルの基数不変量として、いくつかの基数特性が自然に生じます。

非( N )

基数特性は、非測定集合の最小基数です。同様に、ルベーグ空集合ではない集合の最小基数です。 ${\displaystyle {\text{non}}({\mathcal {N}})}$

境界数と支配数

からへの関数の集合を で表す。任意の2つの関数と に対して、有限個を除くすべての に対して となることを で表す。境界数とは、この関係における非有界集合の最小の基数であり、すなわち、${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f:\omega \to \omega }$ ${\displaystyle g:\omega \to \omega }$ ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$ ${\displaystyle n\in \omega ,f(n)\leq g(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall g:\omega \to \omega \,\exists f\in F(f\nleq ^{*}g)\}).}$

支配数とは 、からへの関数の集合の最小の基数であり、そのような関数はすべてその集合の要素によって支配される（つまり、）ようなものである。つまり、 ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \leq ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall g:\omega \to \omega \,\exists f\in F(g\leq ^{*}f)\}).}$

明らかにそのような支配集合は非有界なので、 は最大で であり、対角化の議論から となる。もちろん、これが を意味する場合、 となるが、ヘヒラー^{[ 1 ]}はより厳密に小さい となることも矛盾しないことを示している。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}>\aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {d}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}.}$

分割数と刈り取り数

の無限部分集合全体の集合を と表記する。任意の に対して、 とが無限であるとき、は を分解すると言う。分解数とは、 の部分集合の最小の基数であり、任意の に対して、を分解するようなものが存在する。つまり、${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle a,b\in [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\cap a}$ ${\displaystyle b\setminus a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle b\in [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}=\min(\{|S|:S\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall b\in [\omega ]^{\omega }\exists a\in S(|b\cap a|=\aleph _{0}\land |b\setminus a|=\aleph _{0})\}).}$

刈り取り数 とは、 のどの要素も のどの要素も分割しないような の部分集合の最小の基数である。つまり、${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=\min(\{|R|:R\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall a\in [\omega ]^{\omega }\exists b\in R(|b\cap a|<\aleph _{0}\lor |b\setminus a|<\aleph _{0})\}).}$

限外濾過膜番号

超フィルタ数は、上の非主超フィルタのフィルタ基底の最小濃度として定義される。Kunen ^{[ 2 ]}は、 が であり、サックス強制の可算サポート反復を用いる集合論のモデルを与え、Baumgartner と Laver ^{[ 3 ]}は、 およびと なるモデルを構築した。 ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\omega _{1}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{2}}$

ほぼ分離数

が有限であるとき、の２つの部分集合と はほぼ互いに素であるとされ、の部分集合族は、そのメンバーが２つずつほぼ互いに素であるとき、ほぼ互いに素であるとされる。の部分集合の最大ほぼ互いに素（「狂った」）族とは、に含まれないの すべての部分集合に対して、と がほぼ互いに素ではない（つまり、それらの交差が無限である）ような集合が存在するような、ほぼ互いに素な族である。ほぼ互いに素な数は、無限最大ほぼ互いに素な族の最小の基数である。基本的な結果^{[ 4 ]}は である 。Shelah ^{[ 5 ] は}、厳密な不等式 が成り立つことが一貫していることを示した。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |A\cap B|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}<{\mathfrak {a}}}$

チチョンの図

基数特性のよく知られた図はCichoń の図であり、これは 10 個の基数特性間の ZFC で証明可能なすべてのペアワイズ関係を示します。

参考文献

1. スティーブン・ヘクラー。「の特定の終集合の存在について」。T. ジェック編『公理的集合論 第2部』。純粋数学シンポジウム紀要第13巻2号、pp 155–173。アメリカ数学会、1974年${\displaystyle {}^{\omega }\omega }$
2. ケネス・クネン著『集合論：独立性証明入門』論理学と数学の基礎研究第102巻、エルゼビア、1980年
3. ジェームズ・アール・バウムガートナーとリチャード・レーバー. 反復完全集合強制. Annals of Mathematical Logic 17 (1979) pp 271–288.
4. Eric van Douwen . 整数と位相幾何学. K. KunenとJE Vaughan編『集合論的位相幾何学ハンドブック』 . 北ホラント州アムステルダム, 1984年.
5. サハロン・シェラ. 連続体の基数不変量について. J. バウムガートナー、D. マーティン、S. シェラ（編）『公理的集合論』Contemporary Mathematics 31, American Mathematical Society, 1984, pp 183-207.

さらに読む

• トメク・バルトシンスキーとハイム・ジュダ著 『実数直線の構造に関する集合論』AKピーターズ、1995年。
• ヴォーン、ジェリー・E. (1990). 「第11章 小さな非可算基数と位相幾何学」(PDF) . ヴァン・ミル、ヤン、リード、ジョージ・M. (編). 『位相幾何学における未解決問題』 アムステルダム:ノースホランド出版社. pp.  196–218 . ISBN 0-444-88768-7. 2011年12月5日閲覧。
• ブラス、アンドレアス（2010年1月12日）。 「第 6 章: 連続体の組み合わせ基本特性」。フォアマン、マシューで;金森章弘（編）集合論ハンドブック(PDF)。 Vol. 1.スプリンガー。ページ 395–490。ISBN​​ 978-1-4020-4843-2. 2011年12月5日閲覧。
• Bartoszyński, Tomek (2010年1月12日). 「第7章 測度と圏の不変量」. Foreman, Matthew, Kanamori, Akihiro (編).集合論ハンドブック第1巻. Springer. pp.  491– 556. arXiv : math.LO/9910015 . ISBN 978-1-4020-4843-2。
• ジェック、トーマス(2003).集合論. Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002 .
• ハルバイゼン, ロレンツ J. (2012).組合せ集合論：強制法へのやさしい入門. シュプリンガー数学モノグラフ. シュプリンガー数学モノグラフ. ロンドン:シュプリンガー出版. doi : 10.1007/978-1-4471-2173-2 . ISBN 978-1-4471-2172-5。