カテゴリー（数学）

数学において、圏（具象圏と区別するために抽象圏と呼ばれることもある）とは、「矢印」で結ばれた「対象」の集合である。圏には2つの基本的な性質がある。すなわち、矢印を結合的に構成できることと、各対象に恒等矢印が存在することである。簡単な例として、集合の圏が挙げられる。集合の圏では、対象は集合であり、矢印は関数である。

圏論は、数学のあらゆる分野を、その対象や矢印が何を表すかに関わらず、圏という概念を用いて一般化しようとする数学の一分野です。現代数学のほぼすべての分野は圏論によって記述することができ、そうすることで、一見異なる数学の分野間に見られる深い洞察や類似点が明らかになることがしばしばあります。このように、圏論は集合論やその他の公理的基礎付けに代わる数学の基礎を提供します。一般に、対象や矢印はあらゆる種類の抽象的な実体であり得、圏論の概念は数学的実体とその関係性を記述するための根本的かつ抽象的な方法を提供します。

数学を形式化するだけでなく、カテゴリー理論はプログラミング言語の意味論など、コンピュータサイエンスの他の多くのシステムを形式化するためにも使用されます。

二つの圏は、同じ対象の集合、同じ矢印の集合、そして任意の矢印のペアを構成する結合法が同じである場合、同一である。二つの異なる圏は、たとえ全く同じ構造を持っていなくても、圏論の目的においては「同値」とみなされることがある。

よく知られたカテゴリは、太字またはイタリック体の短い大文字の単語または略語で表されます。例としては、集合と集合関数のカテゴリであるSet、環と環準同型のカテゴリであるRing 、位相空間と連続写像のカテゴリであるTopなどがあります。上記のカテゴリはすべて、恒等写像を恒等射とし、合成を射に対する結合演算としています。

圏論に関する古典的かつ現在でも広く用いられている教科書は、サンダース・マクレーン著『Categories for the Working Mathematician』です。その他の参考文献は下記の参考文献に記載されています。本稿で扱う基本的な定義は、これらの書籍の冒頭数章に記載されています。

任意のモノイドは、特別な種類のカテゴリ（自己同型がモノイドの要素によって表される単一のオブジェクトを持つ）として理解でき、任意の事前順序も同様に理解できます。

意味

グループのような構造
	合計	連想	身元	分割可能
部分的なマグマ	不要	不要	不要	不要
半群体	不要	必須	不要	不要
小規模カテゴリ	不要	必須	必須	不要
群体	不要	必須	必須	必須
マグマ	必須	不要	不要	不要
準群	必須	不要	不要	必須
ユニタルマグマ	必須	不要	必須	不要
ループ	必須	不要	必須	必須
セミグループ	必須	必須	不要	不要
結合準群	必須	必須	不要	必須
モノイド	必須	必須	必須	不要
グループ	必須	必須	必須	必須

カテゴリーには多くの同等の定義がある。^{[ 1 ]}よく使われる定義の一つは以下の通りである。カテゴリー は ${\mathcal {C}}$

オブジェクトのクラス、 $\operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$
射または矢印のクラス、 $\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})$
ドメインまたはソースクラス関数、 $\operatorname {dom} :\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$
共域またはターゲットクラス関数、 $\operatorname {cod} :\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$
3つの対象に対して、射の合成と呼ばれる二項演算が行われます。ここでは、およびとなる射のサブクラスを表します。このサブクラスの射はと表記され、との合成はまたはと表記されることが多いです。 $a,b,c$ $\operatorname {hom} (a,b)\times \operatorname {hom} (b,c)\to \operatorname {hom} (a,c)$ $\operatorname {hom} (a,b)$ $f$ $\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})$ $\operatorname {dom} (f)=a$ $\operatorname {cod} (f)=b$ $f:a\to b$ $f:a\to b$ $g:b\to c$ $g\circ f$ $gf$

以下の公理が成り立つ。

結合法則：ならば、そして、そして $f:a\to b$ $g:b\to c$ $h:c\to d$ $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
(左単位法則と右単位法則) : すべてのオブジェクトに対して、の恒等射と呼ばれる射( と書く人もいます)が存在し、すべての射がを満たし、すべての射がを満たします。 $x$ $1_{x}:x\to x$ $\operatorname {id} _{x}$ $x$ $f:a\to x$ $1_{x}\circ f=f$ $g:x\to b$ $g\circ 1_{x}=g$

と書き、「はからへの射である」と言う。（またはがどのカテゴリを指しているのかが不明瞭な場合はと書く）からへのすべての射のhom-クラスを表す。^[²^] $f:a\to b$ $f$ $a$ $b$ $\operatorname {hom} (a,b)$ $\operatorname {hom} _{\mathcal {C}}(a,b)$ $\operatorname {hom} (a,b)$ $a$ $b$

著者によっては、射の合成を「図式的な順序」で書き、（時には ⨟ ^[³^]と共に）またはの代わりにと書く人もいます。 $f\,;g$ $fg$ $g\circ f$

これらの公理から、あらゆる対象に対して正確に1つの恒等射が存在することを証明できます。各対象に恒等射を割り当てる写像は、しばしば圏の構造の追加部分、すなわち類関数として扱われます。 $i:\operatorname {ob} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})$

一部の著者は、各オブジェクトを対応する恒等射と同一視するという、定義の若干のバリエーションを用いています。これは、カテゴリーの基本データは射であり、オブジェクトではないという考えに基づいています。実際、カテゴリーは、オブジェクトを全く参照することなく、追加のプロパティを持つ部分二項演算を用いて定義することができます。

小規模および大規模カテゴリ

カテゴリCは、 ob( C ) と mor( C ) の両方が実際に集合であり、真クラスではない場合、小さいカテゴリと呼ばれます。そうでない場合は大きいカテゴリと呼ばれます。局所的に小さいカテゴリとは、すべてのオブジェクトaとbに対して、ホムクラス hom( a , b ) が集合であるカテゴリであり、ホムセットと呼ばれます。数学における多くの重要なカテゴリ（集合のカテゴリなど）は、小さくはありませんが、少なくとも局所的には小さいです。小さなカテゴリでは、オブジェクトが集合を形成するため、小さなカテゴリはモノイドに似た代数構造と見なすことができますが、閉包特性は必要ありません。一方、大きなカテゴリは、代数構造の「構造」を作成するために使用できます。

例

すべての集合（オブジェクトとして）と、それらの間のすべての関数（射として）（射の合成は通常の関数合成）を合わせたクラスは、大きなカテゴリSetを形成します。これは数学において最も基本的かつ最も一般的に用いられるカテゴリです。カテゴリRel は、すべての集合（オブジェクトとして）と、それらの間の二項関係（射として）から構成されます。関数ではなく関係から抽象化すると、特別なカテゴリクラスであるallegoryが得られます。

任意の類は、唯一の射が恒等射である圏と見なすことができます。このような圏は離散圏と呼ばれます。任意の集合Iに対して、I 上の離散圏とは、 Iの元を対象とし、射として恒等射のみを持つ小さな圏です。離散圏は最も単純な種類の圏です。

任意の順序付き集合( P , ≤ ) は小カテゴリを形成し、オブジェクトはPの要素であり、射はx ≤ yのときにxからyを指す矢印です。さらに、≤が反対称である場合、任意の2つのオブジェクト間には最大で1つの射が存在します。恒等射の存在と射の合成可能性は、順序の反射性と推移性によって保証されます。同じ議論により、任意の半順序付き集合と任意の同値関係は小カテゴリと見なすことができます。任意の順序数は、順序付き集合として見ればカテゴリと見なすことができます。

任意のモノイド（単一の結合二項演算と単位元を持つ任意の代数構造）は、単一の対象xを持つ小さな圏を形成する。（ここで、xは任意の固定集合である。） xからxへの射はまさにモノイドの元であり、 xの単位元射はモノイドの単位元であり、射の圏論的合成はモノイド演算によって与えられる。モノイドに関するいくつかの定義と定理は、圏論にも一般化できる。

同様に、任意の群は、単一の対象を持つ圏と見なすことができ、その圏におけるすべての射は可逆である。つまり、すべての射fに対して、合成によってf の左逆と右逆となる射g が存在する。この意味で可逆な射は同型射と呼ばれる。

類群とは、すべての射が同型であるような範疇である。類群は、群、群作用、同値関係の一般化である。実際、範疇の観点から見ると、類群と群の唯一の違いは、類群は複数のオブジェクトを持つことができるが、群は 1 つのオブジェクトしか持たないということである。位相空間Xを考え、 Xの基点を固定すると、は位相空間Xの基本群と基点となり、集合として群の構造を持つ。次に、基点がXのすべての点を通るようにし、すべてのの和集合を取ると、得られる集合は類群の構造のみを持つ（これはXの基本類群と呼ばれる）。2 つのループ（ホモトピーの同値関係の下で）は同じ基点を持たない可能性があるので、互いに乗算できない。カテゴリーの言語では、これは、2 つの射が同じソースオブジェクト (またはターゲットオブジェクト。この場合、どの射でもソースオブジェクトとターゲットオブジェクトは同じ (基点) であるため) を持たない可能性があり、そのため、互いに合成できないことを意味します。 $x_{0}$ $\pi_{1}(X,x_{0})$ $x_{0}$ $x_{0}$ $\pi_{1}(X,x_{0})$

任意の有向グラフは小さな圏を生成する。オブジェクトはグラフの頂点であり、射はグラフ内のパス（必要に応じてループが追加される）である。ここで、射の合成はパスの連結である。このような圏は、グラフによって生成される 自由圏と呼ばれる。

順序保存関数（すなわち単調増加関数）を射として持つすべての順序付き集合のクラスは、カテゴリOrdを形成します。これは具体的なカテゴリ、すなわちSetに何らかの構造を追加し、射がこの追加された構造を尊重する関数であることを条件として得られるカテゴリです。

群準同型を射とし、関数合成を合成演算とする群全体のクラスは、大きな圏Grpを形成する。Ord と同様に、 Grpは具体的な圏である。すべてのアーベル群とその群準同型からなる圏Abは、 Grpの完全な部分圏であり、アーベル圏のプロトタイプである。

すべてのグラフのクラスは別の具体的なカテゴリを形成し、そこでは、モルフィズムはグラフ準同型 (つまり、すべての隣接関係と接続関係を保持する方法で頂点を頂点に、辺を辺に送るグラフ間のマッピング) です。

具体的なカテゴリの他の例は次の表に示されています。

カテゴリ	オブジェクト	モルフィズム
セット	セット	機能
オード	予約セット	単調増加関数
月曜日	モノイド	モノイド準同型
グループ	グループ	群準同型
グラフ	グラフ	グラフ準同型
指輪	リング	環準同型
分野	フィールド	体準同型
R -Mod	Rは環であるR モジュール	R加群準同型
ベクトル_K	K体上のベクトル空間	K -線形写像
メット	距離空間	短い地図
測定	スペースを測定する	測定可能な関数
ストッホ	スペースを測定する	マルコフカーネル
トップ	位相空間	連続関数
マン^p	滑らかな多様体	p回連続微分可能写像

間にバンドルマップがあるファイバーバンドルは具体的なカテゴリを形成します。

カテゴリCat はすべての小さなカテゴリから構成され、それらの間には射としての関数が存在します。

新しいカテゴリーの構築

二重カテゴリー

任意のカテゴリCは、それ自体が別の意味で新しいカテゴリとみなすことができます。つまり、対象は元のカテゴリのものと同じですが、矢印は元のカテゴリの矢印を反転したものになります。これは双対カテゴリまたは反対カテゴリと呼ばれ、 C ^opと表記されます。

製品カテゴリー

CとDが圏であるとき、積圏C × Dを形成することができる。この場合、対象はCとDからそれぞれ 1 つの対象からなるペアであり、射もCとDからそれぞれ1 つの射からなるペアである。このようなペアは成分ごとに合成することができる。

射の種類

射f : a → bは

左キャンセル可能な場合、すなわちfg ₁ = fg ₂であればすべての射g ₁ , g ₂ : x → aに対してg ₁ = g ₂が成り立つ場合、単射（またはモニック）である。
右キャンセル可能な場合、すなわちg ₁f = g ₂fであればすべての射g ₁ , g ₂ : b → xに対してg ₁ = g ₂が成り立つ場合、エピモーフィズム（またはエピック）である。
単射性とエピモーフィズムの両方である場合は双射性である。
右逆を持つ場合、つまりfg = 1 _bとなる射g : b → aが存在する場合は撤回。
左逆を持つ場合、つまりgf = 1 _aとなる射g : b → aが存在する場合、セクションとなります。
同型とは、逆写像を持つ場合、つまりfg = 1 _bかつgf = 1 _aとなる写像g : b → aが存在する場合である。
a = bならば自己準同型である。a の自己準同型の類はend( a ) と表記される。局所的に小さな圏に対しては、 end( a ) は集合であり、射合成によってモノイドを形成する。
f が自己準同型かつ同型であるとき、自己同型となる。a の自己同型の類はaut( a ) と表記される。局所的に小さな圏に対して、 aは射合成のもとでaの自己同型群と呼ばれる群を形成する。

すべての撤回はエピモーフィズムです。すべてのセクションはモノモーフィズムです。次の3つの文は同等です。

fは単射であり、かつ撤回である。
fはエピモーフィズムとセクションです。
fは同型です。

射の間の関係 ( fg = hなど) は、可換図で最も便利に表現できます。可換図では、オブジェクトは点として、射は矢印として表現されます。

カテゴリーの種類

多くのカテゴリ、例えばAbやVect _Kでは、ホム集合 hom( a , b ) は単なる集合ではなく、実際にアーベル群であり、射の合成はこれらの群の構造と互換性があります。つまり、双線型です。このようなカテゴリは前加法カテゴリと呼ばれます。さらに、カテゴリがすべての有限積と余積を持つ場合、加法カテゴリと呼ばれます。すべての射が核と余核を持ち、すべてのエピモーフィズムが余核で、すべての単射が核である場合、アーベルカテゴリと呼ばれます。アーベルカテゴリの典型的な例は、アーベル群のカテゴリです。
すべての小さな極限がその中に存在するとき、その圏は完全であると言われる。集合、アーベル群、位相空間の圏は完全である。
ある圏が直積を有限個持ち、有限積上に定義された射が常にその因子の1つ上に定義された射で表現できる場合、その圏は直積閉圏と呼ばれます。例としては、 Setや、スコット連続関数を持つ完全半順序圏であるCPO が挙げられます。
トポスとは、ある種のデカルト閉圏であり、その中で数学のすべてが定式化されます（古典的には、すべての数学が集合の圏で定式化されるのと同じです）。トポスは論理理論を表すためにも使用できます。

参照

注記

^ Barr & Wells 2005、第1章
^著者によっては、単にと書いたりも。 $\operatorname {Mor} (a,b)$ ${\mathcal {C}}(a,b)$
^フォン, ブレンダン; スピヴァック, デイヴィッド・I. (2018). 「構成性に関する7つのスケッチ：応用圏理論への招待」p. 12. arXiv : 1803.05316 [ math.CT ].

参考文献

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n ラボのカテゴリ

[1] Barr & Wells 2005、第1章

[2] 著者によっては、単にと書いたりも。 $\operatorname {Mor} (a,b)$ ${\mathcal {C}}(a,b)$

[3] フォン, ブレンダン; スピヴァック, デイヴィッド・I. (2018). 「構成性に関する7つのスケッチ：応用圏理論への招待」p. 12. arXiv : 1803.05316 [ math.CT ].

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