コーシーの積分公式

数学において、オーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられたコーシーの積分公式は、複素解析における中心的な主張である。この公式は、円板上に定義された正則関数は円板の境界上の値によって完全に決定されるという事実を表現し、正則関数のすべての導関数の積分公式を与える。コーシーの公式は、複素解析において「微分は積分と等価」であることを示す。つまり、複素微分は積分と同様に、一様極限下では良好に動作するが、これは実解析では成り立たない。

定理

U を複素平面Cの開部分集合とし、閉円板DがU に完全に含まれると する。f : U → C を正則関数とし、γ を反時計回りに向いた円でDの境界を形成するものとする。すると、 Dの内部にある任意のaに対して、 $${\displaystyle D={\bigl \{}z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$$ $${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz.\,}$$

この命題の証明にはコーシーの積分定理が用いられており、その定理と同様に、fが複素微分可能であることのみが要求されます。 は変数⁠ ⁠の冪級数として展開できるため、正則関数は解析的 、つまり 収束冪級数として展開できます。特に、fは実際には無限微分可能であり、 ${\textstyle {\frac {1}{za}}}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {1}{za}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}},}$$ $${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(za\right)^{n+1}}}\,dz.}$$

この式はコーシーの微分公式と呼ばれることもあります。

上記の定理は一般化できる。円γは、 U内の任意の閉曲線（ aの周りの屈曲数が1である曲線）に置き換えることができる。さらに、コーシーの積分定理と同様に、 f が経路で囲まれた開領域において正則であり、その閉包 上で連続であることを条件とすれば十分である。

境界上のすべての連続関数を使用して、境界内で与えられた境界関数に適合する関数を生成できるわけではないことに注意してください。たとえば、 | z | = 1で定義された関数⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ をコーシーの積分公式に代入すると、円内のすべての点で 0 になります。実際、正則関数の境界上の実部を与えるだけで、虚定数までの関数を決定するのに十分です。つまり、定数の追加まで、境界上には与えられた実部に対応する虚部が 1 つだけあります。境界上の実部から正則関数を構築するには、メビウス変換とスティルチェスの反転公式の組み合わせを使用できます。たとえば、関数f ( z ) = i − iz の実部はRe f ( z ) = Im zです。単位円上では、これは⁠ ⁠ と書くことができます。メビウス変換とスティルチェスの公式を使用して、円内の関数を構築します。⁠ ⁠項は寄与せず、関数− izが求められます。これは境界上の実部を正しく持ち、対応する虚部も与えますが、定数iだけずれています。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {i}{z}}-iz\right)}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {i}{z}}}$

証明スケッチ

コーシーの積分定理を用いると、 C（または閉じた可整曲線）上の積分は、a の周りの任意の小さい円上の同じ積分に等しいことが示せます。f ( z )は連続なので、 f ( z )がf ( a )に任意に近くなるような小さい円を選ぶことができます。一方、 aを中心とする 任意の円C上の積分は、パラメータ化（置換積分）z ( t ) = a + εe ^itによって直接計算できます。ここで、 0 ≤ t ≤ 2π であり、εは円の半径です。 $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{za}}\,dz=2\pi i,}$$

ε → 0とすると、望ましい推定値が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}$$

例

関数g ( z ) の実部の表面 = ⁠z ²/z ² + 2 z + 2⁠およびその特異点、およびテキストで説明されている輪郭。

と し、C を| z | = 2 (半径 2 の円) で表された輪郭とします。$${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$$

等高線Cの周りのg ( z )の積分を求めるには、 g ( z )の特異点を知る必要があります。gは次のように 書き直せることに注意してください。 ここで、z ₁ = − 1 + i、z ₂ = − 1 − iです。 $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$$

したがって、g はz ₁とz ₂に極を持つ。これらの点のモジュライは2 未満であるため、積分曲線の内側に位置する。この積分は、コーシー・グルサ定理によって2つの小さな積分に分割できる。つまり、積分曲線の周りの積分は、各極を囲む小さな円であるz ₁とz _2の周りの積分の和として表すことができる。これらの積分曲線を、 z 1 周りの積分曲線C ₁と、z ₂周りの積分曲線C ₂と呼ぶ。

さて、これらの小さな積分はそれぞれコーシーの積分公式で評価できますが、まず定理を適用するために書き直す必要があります。C 1 の周りの積分については_{、 f 1} ( _z ) = ( z − z 1 ) g ( z ) と定義します。_これは解析的です（積分路_にはもう一方の特異点が含まれていないため）。 f _{1 を} 次 のように 簡略化できます。$${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$$ $${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$$

コーシーの積分公式によれば、 次のように積分を評価できます。 $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$$ $${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$$

同様に他の輪郭についても 評価する 。$${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$$ $${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$$

元の輪郭Cの周りの積分は、次の2つの積分の合計になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$$

部分分数分解を使った基本的なトリック： $${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$$

結果

積分公式は幅広い応用を持つ。まず、開集合において正則な関数は、実際にはそこで無限微分可能であることを意味する。さらに、これは解析関数であり、冪級数として表すことができる。この証明には、優勢収束定理と幾何級数を適用した 。$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$$

この公式は、有理型関数の結果である留数定理と、それに関連する結果である引数原理の証明にも用いられます。モレラの定理から、正則関数の一様極限は正則であることが分かっています。これはコーシーの積分公式からも導かれます。実際、この公式は極限においても成り立ち、積分関数、ひいては積分は冪級数として展開できます。さらに、高階微分に対するコーシーの公式は、これらの微分もすべて一様収束することを示しており、

実解析におけるコーシー積分公式の類似は、調和関数のポアソン積分公式である。正則関数に関する多くの結果は、この設定にも引き継がれる。しかし、より一般的な微分可能関数や実解析関数のクラスには、そのような結果は当てはまらない。例えば、実関数の1階微分が存在するからといって、必ずしも高階微分が存在するとは限らず、特にその関数が解析的であることを意味するわけでもない。同様に、 （実）微分可能関数の列の一様極限は、微分不可能となる場合もあれば、微分可能ではあっても、その微分が列の要素の微分極限とは異なる場合もある。

もう一つの帰結は、f ( z ) = Σ a _n z ^{n が}| z | < Rかつ0 < r < Rにおいて正則であれば、係数a _{n は}コーシーの推定値^{[ 1 ]}を満たすということである。$${\displaystyle |a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$$

コーシーの推定から、すべての有界整関数は定数でなければならないことが簡単に推測できます(これはリウヴィルの定理です)。

この式はガウスの平均値定理を導くのにも使える。ガウスの平均値定理は^{[ 2 ]}$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

言い換えれば、zを中心とし半径rを持つ円におけるfの平均値はf ( z )です。これは円のパラメータ化によって直接計算できます。

一般化

スムーズな機能

コーシーの積分公式の一種にコーシー・ポンペイの公式があり^{[ 3 ]} 、これはストークスの定理に基づいているため、滑らかな関数に対しても成り立つ。DをCの円板とし、 fをDの閉包上の複素数値C ¹関数と仮定する。すると^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$$

この表現式は、 Dにおける非同次コーシー・リーマン方程式を解くのに用いることができる。実際、φがDの関数ならば、方程式の特異解fはμの台外の正則関数となる。さらに、開集合Dにおいて、 あるφ ∈ C ^k ( D ) (ただしk  ≥ 1 ) に対して、f ( ζ , ζ )もC ^k ( D )に含まれ、次式を満たす。 $${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}$$

最初の結論は、簡潔に言えば、コンパクトに支えられた測度とコーシー核の畳み込みμ ∗ k ( z )は、 μ のサポートから外れた正則関数であるということです。ここで、pv は主値を表します。2番目の結論は、コーシー核がコーシー・リーマン方程式の基本解であると主張しています。C上のコンパクトに支えられた滑らかな複素数値関数fの場合、一般化コーシー積分公式は に簡略化され 、超関数として考えた場合、(π z ) ⁻¹はコーシー・リーマン演算子⁠ の基本解である という事実の言い換えであることに留意してください。$${\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}}$$ $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},}$$ ∂/∂z̄​⁠ . ^{[ 6 ]}

この結果とXの特性関数χXの分布微分の公式から、C ¹境界∂Xを持つ任意の有界開領域Xに対して一般化されたコーシー積分公式を導くことができる。ここで _、 右側の分布は∂Xに沿った等高線積分^を表す。^[ 7 ^]$${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,}$$

証拠

を計算します。 次に、反時計回りにトラバースします。点を固定し、反時計回りから測った上の弧の長さを とします。そして、 が⁠ ⁠の媒介変数化の長さである場合、 は ⁠ ⁠ の媒介変数化です。導関数は⁠ ⁠の単位接線であり、は⁠ ⁠の単位外向き法線です。発散定理を用いるために、 を と置くと となり、となります。したがって、 ⁠ ⁠ が証明されました。 ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(X)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\varphi \right\rangle &=-\int _{X}{\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {~d} (x,y)\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle p\in \partial X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \partial X,[0,\ell ]\ni s\mapsto (x(s),y(s))}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle \tau =\left(x'(s),y'(s)\right)}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle \nu :=\left(-y'(s),x'(s)\right)}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle V=(\varphi ,\mathrm {i} \varphi )\in {\mathcal {D}}(X)^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} V=\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y)&=-{\frac {1}{2}}\int _{\partial X}V\cdot \nu \mathrm {d} S\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\left(\varphi \nu _{1}+\mathrm {i} \varphi \nu _{2}\right)\mathrm {d} s\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\varphi (x(s),y(s))\left(y'(s)-\mathrm {i} x'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\mathrm {i} \varphi (x(s),y(s))\left(x'(s)+\mathrm {i} y'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}\varphi \mathrm {d} z\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz}$

これで一般化されたコーシー積分公式を導き出すことができます。

証拠

であり、この分布は局所的には「分布×C∞関数」の形をとる^ので、ライプニッツの定理を適用してその導関数を計算する ことができる。 これを用いると、(π z ) ⁻¹はコーシー・リーマン演算子の基本解である。${\textstyle u={\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}(X)}$ ${\displaystyle z_{0}\in X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)\chi _{X}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)}$$ ∂/∂z̄​⁠、次のようになります: ⁠ ⁠に 適用: 最後の行で が使用されています 。${\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)=\delta _{z_{0}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}=\delta _{z_{0}}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)}$$ ${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(X)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right),\phi \right\rangle &=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\phi \right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),{\frac {\phi }{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\mathrm {d} z\end{aligned}}}$$ ${\textstyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz}$

並べ替えると、希望どおりになります 。 $${\displaystyle \phi (z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)\,dz}{z-z_{0}}}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{X}{\frac {\partial \phi }{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-z_{0}}}.}$$

いくつかの変数

複数の複素変数の場合、コーシーの積分公式は多円板に一般化できる。^{[ 8 ]} Dをn個の開円板D ₁ , ..., D _nの直積として与えられる多円板と する。 $${\displaystyle D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.}$$

fがDの閉包上で連続なDの正則関数であるとする。この場合 、ζ = ( ζ ₁ ,..., ζ _n ) ∈ Dとなる。 $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}}$$

実代数では

コーシーの積分公式は、2次元以上の実ベクトル空間に一般化できる。この性質に関する洞察は、スカラーやベクトル以外の対象（平面2ベクトルや体積3ベクトルなど）を考察する幾何代数と、ストークスの定理の適切な一般化から得られる。

幾何計算では、幾何積の下での微分演算子∇ = ê _i ∂ _iが定義されます。つまり、 kベクトル場ψ ( r )に対して、微分∇ ψ は一般に次数k + 1とk − 1の項を含みます。 たとえば、ベクトル場 ( k = 1 ) は一般に、その微分にスカラー部分である発散( k = 0 ) と双ベクトル部分である回転( k = 2 ) を持ちます。この特定の微分演算子にはグリ​​ーン関数があります。 ここで、 S _nは空間内の単位n球の表面積です(つまり、S ₂ = 2π、半径 1 の円の円周、S ₃ = 4π、半径 1 の球の表面積)。グリーン関数の定義により、 $${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}}$$ $${\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).}$$

この有用な性質は、一般化ストークスの定理と組み合わせて用いることができます。 ここで、n次元ベクトル空間において、d Sは( n − 1)ベクトル、d Vはnベクトルです。関数f ( r )は、原理的には、多重ベクトルの任意の組み合わせで構成できます。高次元空間におけるコーシーの積分定理の証明は、量G ( r , r ′) f ( r ′)に関する一般化ストークスの定理と積の法則を用いています。 $${\displaystyle \oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V} }$$

∇ f = 0のとき、f ( r )は単元関数と呼ばれる。これは、正則関数の高次元空間への一般化である。実際、コーシー・リーマン条件は単元関数条件の2次元表現であることが示される。この条件が満たされると、右辺の積分の第2項は消え、 i _{n が}その代数の単位nベクトルである擬スカラーだけが残る。結果は次の ようになる。$${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}$$

したがって、2 次元 (複素解析) の場合と同様に、ある点における解析 (単関数) の値は、その点を囲む面上の積分によって求めることができ、これはスカラー関数だけでなく、ベクトル関数や一般的なマルチベクトル関数にも有効です。

参照

• コーシー・リーマン方程式
• 輪郭積分法
• ナフビンの定理
• モレラの定理
• ミッタク・レフラーの定理
• グリーン関数はこの考え方を非線形設定に一般化する。
• シュワルツの積分公式
• パーセヴァル・ガッツマー式
• ボクナー・マルティネリ式
• ヘルファー・ショーストランド式

注記

1. ティッチマーシュ 1939、84ページ
2. 「ガウスの平均値定理」。Wolfram Alphaサイト。
3. ポンペイウ 1905
4. ヘルマンダー 1966、定理 1.2.1
5. Lebl 2025、p. 130、定理4.1.1（コーシー-ポンピエ）
6. ヘルマンダー 1983、63、81 ページ
7. ヘルマンダー 1983、62–63 ページ
8. ヘルマンダー 1966、定理 2.2.1

参考文献

• アルフォース、ラース（1979年）『複素解析』（第3版）マグロウヒル社、ISBN 978-0-07-000657-7。
• ドラン、クリス、ラセンビー、アンソニー (2003). 『物理学者のための幾何代数』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-71595-9。
• ヘルマンダー、ラース（1966年）『多変数複素解析入門』ヴァン・ノストランド。
• ヘルマンダー、ラース(1983). 『線形偏微分作用素の解析 I』 シュプリンガー. ISBN 3-540-12104-8。
• Lebl, Jiří (2025年5月20日). 「複数の複雑な変数のおいしい一口 ― テーマを駆け足で巡る旅」 (PDF) .
• ポンペイウ、D. (1905)。"Sur la continuité des fonctions de variables complexes" [複素変数関数の連続性について] (PDF)。Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse [トゥールーズ科学部の年報]。セリエ 2 (フランス語)。7 (3): 265–315 .
• ティッチマーシュ, EC (1939).関数論（第2版）.オックスフォード大学出版局.

外部リンク

• 「コーシー積分」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「コーシー積分公式」。MathWorld 。