中心キャリア
フォン・ノイマン代数の文脈において、射影Eの中心キャリアとは、フォン・ノイマン代数においてEを支配する最小の中心射影のことです。 中心サポートまたは中心被覆とも呼ばれます
定義
ヒルベルト空間H上の有界作用素をL ( H ) 、フォン・ノイマン代数M⊂L ( H )、M'をMの可換項とする。Mの中心はZ ( M ) = M'∩M = { T∈M | TM = MT（すべてのM∈Mに対して）}である。Mへの射影Eの中心キャリアC ( E )は次のように定義される
- C ( E ) = ∧ { F ∈ Z ( M ) | Fは射影であり、F ≥ E }。
記号∧はZ(M)の射影に対する格子演算を表す。F1∧F2は閉部分空間Ran(F1 ) ∩Ran ( F2 )への射影である。
アーベル代数Z ( M ) は2つのフォン・ノイマン代数の交わりであり、フォン・ノイマン代数でもある。したがって、C ( E ) はZ ( M ) に含まれる。
Mをその因子の直和（より正確には直積分）と考えると、中心射影は、因子（の測定可能な集合）の恒等演算子の直和（直積分）となる射影である。E が単一の因子に限定されている場合、C ( E ) はその因子における恒等演算子である。非公式には、C ( E ) は、 Iが因子であり、I · E ≠ 0である恒等演算子Iの直和であると予想される。
明確な説明
射影C ( E ) はより明確に記述することができる。Ran C ( E ) はM Ran( E )によって生成される閉部分空間であることが示される。
Nがフォン・ノイマン代数であり、Eが必ずしもNに属さない射影で、値域K = Ran( E ) を持つとしよう。N においてEを支配する最小の中心射影は、まさにN' Kによって生成される閉部分空間 [ N' K ]への射影である。記号的に、
- F' = ∧ { F ∈ N | Fは射影であり、F ≥ E }
すると、Ran( F' ) = [ N' K ] となる。[ N' K ] ⊂ Ran( F' ) は可換項の定義から導かれる。一方、[ N' K ] はN'の任意のユニタリUの下で不変である。したがって、[ N' K ]への射影は( N' )' = Nとなる。F 'の最小性から、Ran( F' ) ⊂ [ N' K ] が導かれる。
ここで、 EがMの射影であるとき、上記をフォン・ノイマン代数Z ( M ) に適用すると、
- Ran C ( E ) = [ Z ( M )' Ran( E ) ] = [ ( M' ∩ M )' Ran( E ) ] = [ M Ran( E )]。
関連する結果
上記の説明からいくつかの簡単な帰結を導き出すことができます。Eと Fがフォン・ノイマン代数Mの射影であると仮定します
命題ETF = 0は、C ( E )とC ( F )が直交する場合、つまりC ( E ) C ( F )=0の 場合に限り、 M内のすべてのTに対して成り立ちます。
証明：
- M内のすべてのTについて、ETF = 0です
- ⇔ [ Mラン( F )] ⊂カー( E )。
- 前のセクションの議論により、⇔ C ( F ) ≤ 1 - E （1はMの単位）となります。
- ⇔ E ≤ 1 - C ( F )。
- ⇔ C ( E ) ≤ 1 - C ( F ) 、 1 - C ( F ) はEを支配する中心射影であるため。
- これは主張を証明するものです。
言い換えると、次のことが当てはまります。
系フォン・ノイマン代数Mの2 つの射影EとFには、 C ( E ) C ( F ) ≠ 0 の場合にマレー・フォン・ノイマン等価な 2 つの非ゼロ部分射影が含まれます。
証明：
- C ( E ) C ( F ) ≠ 0
- ⇒ M内のいくつかのTに対してETF ≠ 0 となる。
- ⇒ ETFは、 M内の何らかの部分等長変換Uと正演算子Hに対して極分解UHを持ちます。
- ⇒ Ran ( U ) = Ran ( ETF ) ⊂ Ran ( E )。また、Ker ( U ) = Ran ( H ) ⊥ = Ran ( ETF ) ⊥ = Ker ( ET*F ) ⊃ Ker ( F ) であり、したがってKer ( U )) ⊥ ⊂ Ran ( F ) である。
- ⇒ 2つの同等の射影UU*とU*Uは、UU * ≤EとU*U≤Fを満たします。
特に、Mが因子である場合、UU* ≤ EかつU*U ≤ Fを満たすような部分等長写像U ∈ Mが存在する。この事実と最大性に関する議論を用いると、 Mが因子である場合、Mの射影族上のマレー・フォン・ノイマン半順序 « は全順序になることが推論できる。
命題 (比較可能性) Mが因子であり、E、F ∈ Mが射影である場合、E « FまたはF « Eのいずれかです。
証明：
- ~ をマレー・フォン・ノイマン同値関係とします。族Sの典型元が集合 { ( E i , F i ) } であり、直交集合 { E i } と { F i }がE i ≤ E , F i ≤ F , E i ~ F iを満たすような族 S を考えます。族Sは包含によって部分的に順序付けられ、上記の系はそれが空でないことを示しています。ツォルンの補題は、最大元 { ( E j , F j ) } の存在を保証します。最大性は、 E = Σ E jまたはF = Σ F jのいずれかを保証します。~ の可算加法性は、E j ~ Σ F jを意味します。したがって、命題は成り立ちます
Mが因数である という仮定がなければ、次のようになります。
命題（一般化された比較可能性）Mがフォン・ノイマン代数であり、E、F∈Mが射影である場合、 EP « FPかつF（1- P）« E（1- P ）となる中心射影P∈Z（M）が存在する。
証明：
- Sは前の命題と同じものとし、再び最大元 { ( E j 、 F j ) } を考えます。RとSを「剰余」とします。R = E - Σ E j、S = F - Σ F j。最大性と系により、MのすべてのTについてRTS = 0 となります。したがって、C ( R ) C ( S ) = 0 となります。特に、R · C ( S ) = 0 かつS · C ( S ) = 0 となります。したがって、 C ( S )による乗算により、Eから剰余Rが除去され、 SはFに残ります。より正確には、E · C ( S ) = (Σ E j + R ) · C ( S ) = (Σ E j ) · C ( S ) ~ (Σ F j ) · C ( S ) ≤ (Σ F j + S ) · C ( S ) = F · C ( S ) となります。
参考文献
- B. ブラックアダー著『作用素代数』、シュプリンガー、2006年
- S. Sakai , C*-代数とW*-代数、Springer、1998年。
