チェス盤複合体

チェス盤複体とは、抽象的な単体複体の一種であり、位相グラフ理論や代数位相幾何学において様々な応用がある。^{[ 1 ] [ 2 ]}非公式には、( m , n )-チェス盤複体とは、 m行n列のチェス盤上で、ルークが互いに攻撃することなく配置できるすべての位置の集合を包含する。これは、 ( m , n )-完全二部グラフのマッチング複体、あるいはm行n列のルークグラフの独立複体と同義である。

定義

任意の2つの正の整数mとnに対して、( m, n )-チェス盤複体 は、頂点集合Sのすべての部分集合を含み、かつ、と がSの2つの異なる要素である場合、 と が両方ともS であるようなものを含む、抽象単体複体です。頂点集合は2次元のグリッド（「チェス盤」）と見なすことができ、この複体には、同じ行または同じ列に2つのセルを含まないすべての部分集合Sが含まれます。言い換えれば、ルークを互いに取ることなく配置できる すべての部分集合S が含まれます。${\displaystyle \Delta _{m,n}}$ ${\displaystyle [m]\times [n]}$ ${\displaystyle (i_{1},j_{1})}$ ${\displaystyle (i_{2},j_{2})}$ ${\displaystyle i_{1}\neq i_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}\neq j_{2}}$

チェス盤複体は、削除結合を用いて簡潔に定義することもできます。D _{m を}m個の離散点の集合とします。すると、チェス盤複体はD _mのn重 2 方向削除結合であり、 と表記されます。^{[ 3 ] : 176} ${\displaystyle (D_{m})_{\Delta (2)}^{*n}}$

別の定義は、完全二部グラフにおけるすべてのマッチングの集合である。^{[ 1 ]}${\displaystyle K_{m,n}}$

例

任意の ( m , n )-チェス盤複合体において、各頂点の近傍は ( m −1, n −1)-チェス盤複合体の構造を持つ。チェスのルークで言えば、ボード上にルークを1つ置くと同じ行と列の残りのマスがなくなり、追加のルークを配置できる行と列の集合が小さくなる。これにより、チェス盤の位相構造を、その低次元構造に基づいて階層的に研究することができる。この例として、(4,5)-チェス盤複合体と、その中の(3,4)-および(2,3)-チェス盤複合体が挙げられる。^{[ 4 ]}

• (2,3)-チェス盤複合体は、6 つの辺（攻撃しないマス目のペア）で接続された 6 つの頂点（チェス盤の 6 つのマス目）で構成される六角形です。
• (3,4)-チェス盤複合体は、トーラスの三角形分割であり、24個の三角形（攻撃しないマス目の3つ組）、36辺、12個の頂点から構成されます。各頂点には6個の三角形が接しており、(2,3)-チェス盤複合体と同じ六角形のパターンを形成します。
• (4,5)-チェス盤複体は3次元擬似多様体を形成する。各頂点の近傍では、24個の四面体がトーラス状に交わり、多様体に必要な球面パターンとは異なる。この空間から頂点を除去すると、尖端を持つ3次元双曲多様体として幾何学的構造が得られ、これは20成分のリンクのリンク補集合と位相的に等価である。

プロパティ

のすべての面には要素が含まれています。したがって、 の次元はです。 ${\displaystyle \Delta _{m,n}}$ ${\displaystyle \min(m,n)}$ ${\displaystyle \Delta _{m,n}}$ ${\displaystyle \min(m,n)-1}$

チェス盤複体のホモトピー接続は少なくとも（したがって）である。^{[ 1 ]：第1節} ${\displaystyle \min \left(m,n,{\frac {m+n+1}{3}}\right)-2}$ ${\displaystyle \eta \geq \min \left(m,n,{\frac {m+n+1}{3}}\right)}$

チェス盤複体のベッティ数は 、次の場合のみゼロとなる。^{[ 5 ]：200} チェス盤複体の組み合わせラプラシアンの固有値は整数である。 ^{[ 5 ]：193} ${\displaystyle b_{r-1}}$ ${\displaystyle (mr)(nr)>r}$

チェス盤複体は-連結であり、 である。^{[ 6 ] : 527} ホモロジー群は指数が最大 9 の3 元群であり、のとき 3 元上の巡回群とまったく同じであることが知られている。^{[ 6 ] : 543–555} ${\displaystyle (\nu _{m,n}-1)}$ ${\displaystyle \nu _{m,n}:=\min\{m,n,\lfloor {\frac {m+n+1}{3}}\rfloor \}}$ ${\displaystyle H_{\nu _{m,n}}(M_{m,n})}$ ${\displaystyle m+n\equiv 1{\pmod {3}}}$

チェス盤複体の -スケルトンは、プロヴァンとビレラの意味で頂点分解可能（したがってシェル化可能）であり、 の場合には複体全体が頂点分解可能である。^{[ 7 ] : 3} 系として、 の場合には、mバイn のチェス盤上のk個のルークの任意の位置は、最大で 1 個のルークの移動を使用して他の任意の位置に変換できる（各中間位置もルークを取るものではない）。^{[ 7 ] : 3} ${\displaystyle (\lfloor {\frac {n+m+1}{3}}\rfloor -1)}$ ${\displaystyle n\geq 2m-1}$ ${\displaystyle k\leq \lfloor {\frac {m+n+1}{3}}\rfloor }$ ${\displaystyle mn-k}$

一般化

複体はk次元チェス盤に対して定義される「チェス盤複体」である。これは、 k部完全超グラフにおけるマッチングの集合と同義である。この複体は少なくともk連結である。 ^{[ 1 ]：33} ${\displaystyle \Delta _{n_{1},\ldots ,n_{k}}}$ ${\displaystyle (\nu -2)}$ ${\displaystyle \nu :=\min\{n_{1},\lfloor {\frac {n_{1}+n_{2}+1}{3}}\rfloor ,\dots ,\lfloor {\frac {n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}+1}{2k+1}}\rfloor \}}$

参考文献

1. Björner, A.; Lovász, L.; Vrećica, ST; Živaljević, RT (1994-02-01). 「チェスボード複体とマッチング複体」ロンドン数学会誌49 (1): 25– 39. doi : 10.1112/jlms/49.1.25 .
2. Vrećica、Siniša T.;ジバリェヴィッチ、ラデ T. (2011-10-01)。「不屈のチェス盤コンプレックス」。組み合わせ理論ジャーナル。シリーズ A. 118 (7): 2157–2166 . arXiv : 0911.3512。土井：10.1016/j.jcta.2011.04.007。ISSN 0097-3165。 
3. Matoušek, Jiří (2007). 『ボルスク＝ウラム定理の活用：組合せ論と幾何学における位相的手法の講義』（第2版）ベルリン・ハイデルベルク：Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5アンダース・ビョルナーとギュンター・M・ツィーグラーとの共同執筆
4. Goerner, Matthias Rolf Dietrich (2011). 「1.2.2 4×5チェス盤複体との関係」. Visualizing Regular Tessellations: Principal Congruence Links and Equivariant Morphisms from Surfaces to 3-Manifolds (PDF) (博士論文). カリフォルニア大学バークレー校.
5. フリードマン, ジョエル; ハンロン, フィル (1998-09-01). 「チェス盤複体のベッティ数について」 .代数的組合せ論ジャーナル. 8 (2): 193– 203. doi : 10.1023/A:1008693929682 . hdl : 2027.42/46302 . ISSN 1572-9192 . 
6. Shareshian, John; Wachs, Michelle L. (2007-07-10). 「マッチング複体とチェスボード複体における捩れ」 . Advances in Mathematics . 212 (2): 525– 570. arXiv : math/0409054 . doi : 10.1016/j.aim.2006.10.014 . ISSN 0001-8708 . 
7. Ziegler, Günter M. (1992-09-23). 「チェス盤複合体のシェル化可能性」 .