円内の円詰め

円内の円詰めは、単位円を可能な限り小さい大きな円に詰めることを目的とした2 次元の詰め込み問題です。

解の表、1 ≤ n ≤ 20

最適解が複数存在する場合はすべて表示される。^{[ 1 ]}

$n$	外接円の半径 $r$	密度 $n\!/r^{2}$	最適性
1	1	1.0	自明に最適。
2	2	0.5000	自明に最適。
3	2.155... $1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$	0.6466...	自明に最適。
4	2.414... $1+{\sqrt {2}}$	0.6864...	自明に最適。
5	2.701... $1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}$	0.6854...	グラハム（1968）によって最適であることが証明された^{[ 2 ]}
6	3	0.6666...	グラハム（1968）によって最適であることが証明された^{[ 2 ]}
7	3	0.7777...	自明に最適。
8	3.304... $1+{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}$	0.7328...	ピルル（1969）によって最適であることが証明された^{[ 3 ]}
9	3.613... $1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}$	0.6895...	ピルル（1969）によって最適であることが証明された^{[ 3 ]}
10	3.813...	0.6878...	ピルル（1969）によって最適であることが証明された^{[ 3 ]}
11	3.923... $1+{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{9}}}$	0.7148...	メリッセン（1994）によって最適であることが証明された^{[ 4 ]}
12	4.029...	0.7392...	Fodor (2000)によって最適であることが証明された^{[ 5 ]}
13	4.236... $2+{\sqrt {5}}$	0.7245...	Fodor (2003)によって最適であることが証明された^{[ 6 ]}
14	4.328...	0.7474...	EkanayakeとLaFountain （2024）によって最適であることが証明された。^{[ 7 ]}
15	4.521... $1\!+\!{\sqrt {6\!+\!{\frac {2}{\sqrt {5}}}\!+\!4{\sqrt {1\!+\!{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}$	0.7339...	Pirl （1969）によって最適と予想された。^{[ 8 ]}
16	4.615...	0.7512...	ゴールドバーグ（1971）によって最適と予想された。^{[ 8 ]}
17	4.792...	0.7403...	Reis (1975)によって最適と推測された。^{[ 8 ]}
18	4.863... $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$	0.7609...	Pirl（1969）によって最適と予想され、Graham、Lubachevsky、Nurmela、Östergård（1998）によってさらに整理された。^{[ 8 ]}
19	4.863... $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$	0.8032...	Fodor (1999)によって最適であることが証明された^{[ 9 ]}
20	5.122...	0.7623...	ゴールドバーグ（1971）によって最適と予想された。^{[ 8 ]}

特殊なケース

最適なパッキングは26個のみで、剛性（つまり「ガタガタ」と音を立てない）であると考えられています。太字の数字は素数です。

n = 1, 2 , 3 , 4, 5 , 6, 7 , 10, 11 , 12, 13 , 14, 19で証明済み
n = 15, 16, 17 , 18, 22, 23 , 27, 30, 31, 33 , 37 , 61 , 91について推測

これらのうち、n = 2、3、4、7、19、37の解は、1より大きいどの数値よりも高いパッキング密度を実現します。（高密度レコードにはすべてラトルがあります。）^[¹⁰^]

参照

参考文献

^フリードマン、エリック、「Circles in Circles」、Erich's Packing Center 、 2020年3月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ ^a ^b R.L. Graham,最小間隔が与えられた点の集合（問題El921の解答） , Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.
^ ^a ^b ^c U. Pirl、Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten、Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124。
^ H. Melissen、円内の 11 個の合同円の最密充填、 Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25。
^ F. Fodor,「12個の同型円を円内に最も密に詰める」 , 「代数と幾何学への貢献」, 「代数と幾何学への貢献」41 (2000) ?, 401–409。
^ F. Fodor,円内の13個の同型円の最密充填, 代数と幾何学への貢献, 代数と幾何学への貢献44 (2003) 2, 431–440.
^エカナヤケ, ディネシュ; ラファウンテン, ダグラス. 「円を円に詰めるためのタイトパーティション」(PDF) .イタリア純粋応用数学ジャーナル. 51 : 115–136 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. 円内の合同円の稠密充填. Discrete Math 1998;181:139–154.
^ F. Fodor、「19個の同型円を円内に最も密に詰める」、Geom. Dedicata 74 (1999)、139–145。
^ Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA084644」 .整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.

外部リンク

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[:0-1] フリードマン、エリック、「Circles in Circles」、Erich's Packing Center 、 2020年3月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[Graham68-2] R.L. Graham,最小間隔が与えられた点の集合（問題El921の解答） , Amer. Math. Monthly 75 (1968) 192-193.

[Pirl-3] U. Pirl、Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten、Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124。

[Melissen-4] H. Melissen、円内の 11 個の合同円の最密充填、 Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25。

[Fodor1-5] F. Fodor,「12個の同型円を円内に最も密に詰める」 , 「代数と幾何学への貢献」, 「代数と幾何学への貢献」41 (2000) ?, 401–409。

[Fodor2-6] F. Fodor,円内の13個の同型円の最密充填, 代数と幾何学への貢献, 代数と幾何学への貢献44 (2003) 2, 431–440.

[7] エカナヤケ, ディネシュ; ラファウンテン, ダグラス. 「円を円に詰めるためのタイトパーティション」(PDF) .イタリア純粋応用数学ジャーナル. 51 : 115–136 .

[Graham98-8] Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. 円内の合同円の稠密充填. Discrete Math 1998;181:139–154.

[Fodor3-9] F. Fodor、「19個の同型円を円内に最も密に詰める」、Geom. Dedicata 74 (1999)、139–145。

[10] Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA084644」 .整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.

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