円弧
扇形は緑色で示されています。長さLの曲線境界は円弧です。

円弧は、 2 つの異なる点の間にある円弧です。2 点が正反対の場合、一方の弧 (短弧)は円の中心でπラジアン(180度)未満の角度をなし、もう一方の弧(長弧) はπラジアンを超える角度をなします。円弧は、円周の一部またはセグメントとして定義されます。弧の両端を結ぶ直線は、円弦と呼ばれます。弧の長さが円のちょうど半分である場合、その弧は半円弧と呼ばれます。

長さ

半径rで円の中心を角度θ（ラジアンで測定）で囲む円弧の長さ（より正確には弧長）は、中心角であり 、

L＝θr。{\displaystyle L=\theta r.}

これは

Lc私rcあなたメートルference＝θ2π。{\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {円周} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.}

円周での代入

L2πr＝θ2π、{\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},}

そして、αは度で測った同じ角度であり、θ  =  ⁠α/180⁠ π、弧の長さは

L＝απr180。{\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.}

円弧の長さを決定する実用的な方法は、円弧の端点から円の中心まで 2 本の線を描き、その 2 本の線が中心と交わる角度を測定し、次の式を掛け合わせて L を求めることです。

角度の測定値（度/360°）= L /円周。

例えば、角度が60度で円周が24インチの場合、

60360＝L24360L＝1440L＝4.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}}

これは、円の円周と円の度数（常に 360 度）が正比例するためです。

円の上半分は次のようにパラメータ化できる。

y＝r2−×2。{\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}

からまでの弧の長さは ×＝1つの{\displaystyle x=a}×＝b{\displaystyle x=b}

L＝r[アークサイン⁡（×r）]1つのb。{\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}

セクターエリア

円弧と円の中心（円弧とその端点に引かれた2つの半径で囲まれた）によって形成される扇形の面積は

あ＝r2θ2。{\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}

面積A は円の面積に対して、円に対する 角度θと同じ比率を持ちます。

あπr2＝θ2π。{\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}

両辺の πを消去することができます。

あr2＝θ2。{\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta}{2}}.}

両辺にr 2を掛けると、最終結果が得られます。

あ＝12r2θ。{\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}

上記の変換を用いると、度で測定された中心角に対する扇形の面積は、

あ＝α360πr2。{\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}

セグメントエリア

円弧とその両端を結ぶ直線で囲まれた図形の面積は

12r2（θ−罪⁡θ）。{\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).}

円弧の面積を求めるには、円の中心と円弧の両端で決まる三角形の面積を面積から差し引く必要があります。詳細については 「円弧」を参照してください。あ{\displaystyle A}

半径

線分APと線分PBの積は、線分CPと線分PDの積に等しい。弧の幅がAB、高さがCPの場合、円の直径はCD＝あP⋅PBCP+CP{\displaystyle CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP}

交差弦定理（点のべき乗または正接定理とも呼ばれる）を使用すると、円弧の 高さHと幅Wが与えられたときに円の半径r を計算できます。

円弧と同じ端点を持つ弦を考えてみましょう。その垂直二等分線は別の弦であり、円の直径です。最初の弦の長さはWで、二等分線によって2つの等しい半分に分けられ、それぞれの長さは⁠W/2⁠。直径の全長は2 rで、最初の弦によって2つの部分に分けられます。一方の長さは円弧の矢状面Hであり、もう一方は直径の残りの部分で、長さは2 r  −  Hです。交差弦定理をこれらの2つの弦に適用すると、次の式が得られます。

H（2r−H）＝（W2）2、{\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}

どこから

2r−H＝W24H、{\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}

それで

r＝W28H+H2。{\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}

アーク、コード、サジッタは、それぞれラテン語で弓、弓弦、矢を意味する言葉に由来しています。

参照

ウィキメディア コモンズには、円弧に関連するメディアがあります。
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